第七章数值积分与数值微分ppt课件

1,第七章数值积分与数值微分,数值分析,基本概念,2,数值积分,微积分基本公式：,3,几个简单公式,矩形公式,梯形公式,基本思想：,4,一般形式,数值积分公式的一般形式,将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现,一般地，用f(x)在a,b上的一些离散点ax0x1xnb上的函数值的加权平均作为f()的近似值，可得,5,代数精度,定义：如果对于所有次数不超过m的多项式f(x)，公式,精确成立，但对某个次数为m+1的多项式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度,6,举例,例：试确定Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,所以求积公式为：,具有至少n阶代数精度,7,举例,例：试确定系数Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。,易验证该公式对f(x)x3也精确成立，但对f(x)x4不精确成立，所以此求积公式具有3次代数精度。,8,举例,例：试确定下面求积公式中的系数，使其具有尽可能高的代数精度。,将f(x)x3代入，等号不成立，故公式具有2次代数精度。,9,代数精度,容易验证：,左矩形公式和右矩形公式具有零次代数精度,中矩形公式和梯形公式具有一次代数精度,特别地，任意具有m(0)次代数精度的求积公式一定满足：,10,插值型求积公式,设求积节点为：ax0x1xnb若f(xi)已知，则可做n次多项式插值：,其中,插值型求积公式,nn=1:梯形公式,代数精度=1,n=2:Simpon公式,Simpon公式的代数精度为3,13,插值型求积公式,当f(x)1,x,x2,xn时，有,即公式精确成立,14,插值型求积公式,15,求积公式余项,性质：若求积公式的代数精度为m，则余项为,其中K为待定系数，但与f(x)无关,16,举例,例：试确定梯形公式的余项表达式,所以梯形公式的余项为,17,举例,例：试确定下面的求积公式的余项表达式,18,收敛性,定义：如果求积公式满足,则称该求积公式是收敛的。,设求积节点为：ax0x10，使得当(i=0,1,n)时，有,则称该求积公式是稳定的。,20,第七章数值积分与数值微分,数值分析,Newton-Cotes公式复合求积公式,21,本讲内容,公式介绍代数精度余项表达式,Newton-Cotes公式,复合求积公式,复合梯形公式复合Simpson公式,22,Newton-Cotes公式,基于等分点的插值型求积公式,积分区间：a,b求积节点：xi=a+ih,求积公式：,Cotes系数,Newton-Cotes求积公式,23,Newton-Cotes公式,n=1:,代数精度=1,梯形公式,n=2:,代数精度=3,抛物线公式Simpson公式,n=4:,科特斯(Cotes)公式,代数精度=5,24,Cotes系数表,Cotes系数与被积函数f(x)及积分区间a,b无关可通过查表获得,25,N-C公式,Cotes系数具有以下特点：,(1),(2),(3)当n8时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当n较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。,当n7时，Newton-Cotes公式是稳定的,一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式,26,N-C公式代数精度,定理：当n为偶数时，Newton-Cotes公式至少有n+1阶代数精度,定理：n阶Newton-Cotes公式至少有n阶代数精度,证：只要证明当n为偶数时，公式对f(x)xn+1精确成立。,x=a+th,t=n-s,即,27,N-C公式余项,梯形公式(n=1)的余项,Simpson公式(n=2)的余项,Cotes公式(n=4)的余项,28,复合求积公式,提高积分计算精度的常用两种方法,用复合公式用非等距节点,将积分区间分割成多个小区间在每个小区间上使用低次牛顿科特斯求积公式,复合求积公式,29,复合梯形公式,将a,b分成n等分xi,xi+1，其中,(i=0,1,n),复合梯形公式,余项,30,复合Simpson公式,余项,性质：复合梯形公式和复合Simpson公式都是收敛的，也都是稳定的。,31,举例,解：,例：设，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分，并估计误差。,32,举例,误差估计,34,举例,解：,例：计算定积分用复合梯形公式和复合simpson公式时，n分别取多大时才能使得误差不超过0.510-5,要使误差不超过0.510-5，需要,故取n=213,213等分,复合梯形公式,35,举例,复合simpson公式,要使误差不超过0.510-5，需要,故取n=4,8等分,第七章数值积分与数值微分,第四节变步长算法,太大,利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式等计算定积分时，如何选取步长h,？,解决办法：采用变步长算法,变步长算法,通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k，反复使用复合求积公式，直到相邻两次计算结果之差的绝对值小于指定的精度为止。,变步长梯形法,步长折半：xi,xi+1/2，xi+1/2,xi+1,将a,b分成n等分xi,xi+1，,n=20,21,22,xi,xi+1,xi+1/2,举例（一）,解：,例：用变步长梯形公式计算积分，要求计算精度满足,梯形法的加速,变步长梯形法算法简单，编程方便,梯形法的加速龙贝格(Romberg)算法,变步长梯形法中止依据,但收敛速度较慢。,梯形法的加速（续）,由来计算效果是否会更好些？,=(4*0.945690864-0.944513522)/3=0.94608331,精确值：0.946083070367,事实上,龙贝格公式,同理可得,一般地，有,龙贝格公式,注：(1)上述加速技巧称为龙贝格求积算法；(2)每加速一次，计算精度提高二阶；(3)该技巧可以不断继续下去，但通常最多用到龙贝格公式。,Romberg算法,?,?,?,记:,举例（二）,例：用龙贝格算法计算，要求精度,45,第七章数值积分与数值微分,数值分析,Gauss求积公式,46,Gauss型求积公式,考虑求积公式,含2n+2个参数(节点与系数),为了使该公式具有尽可能高的代数精度,可将f(x)=1,x,x2,x2n+1代入公式,使其精确成立,则可构造出代数精度至少为2n+1的求积公式!,47,举例,例：试确定节点xi和系数Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。,解：,将f(x)1,x,x2,x3代入求积公式，使其精确成立，可得,易验证该公式对f(x)x4不精确成立，所以此求积公式具有3次代数精度。,非线性方程组求解较困难,48,第七章数值积分与数值微分,数值分析,数值微分,49,数值微分,数值微分,已知f(x)在节点ax0x1xnb上的函数值，对于a,b中的任意一点，如何计算其导数,插值型求导公式,构造出f(x)的插值多项式pn(x)用pn(x)的导数来近似f(x)的导数,50,插值型求导公式,插值型求导公式的余项,在节点处的余项,插值型求导公式,51,两点公式,两点公式,节点x0,x1，步长h=x1-x0,52,三点公式,三点等距公式,步长h，节点