1996考研数四真题及解析

Born to win1996年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设方程确定是的函数,则 .(2) 设,则 .(3) 设,则 .(4) 五阶行列式 .(5) 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件,第个零件是不合格品的概率,以表示3个零件中合格品的个数,则 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设,则下列选项正确的是 ( )(A) 是的极大值(B) 是的极大值(C) 是极小值(D) 是曲线的拐点(2) 设处处可导,则 ( )(A) 当时,必有(B) 当时,必有 (C) 当时,必有(D) 当时,必有(3) 设阶矩阵非奇异(),是矩阵的伴随矩阵,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (4) 设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零的数 和,使,则 ( )(A) 和都线性相关(B) 和都线性无关(C) 线性无关(D) 线性相关(5) 设为任意两个事件且,则下列选项必然成立的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)设其中有二阶连续导数,且.(1) 求；(2) 讨论在上的连续性.四、(本题满分7分)设,求.五、(本题满分6分)计算.六、(本题满分7分)设某种商品的单价为时,售出的商品数量可以表示成,其中均为正数,且.(1) 求在何范围变化时,使相应销售额增加或减少；(2) 要使销售额最大,商品单价应取何值？最大销售额是多少？七、(本题满分9分)已知一抛物线通过轴上的两点,.(1) 求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于轴与该抛物线所围图形的面积；(2) 计算上述两个平面图形绕轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.八、(本题满分5分)设在上连续,在内可导,且.求证：在内至少存在一点,使.九、(本题满分9分)已知线性方程组讨论参数取何值时,方程组有解、无解；当有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.十、(本题满分7分)设为阶矩阵,满足条件,其中是阶单位矩阵.求方阵的伴随矩阵的一个特征值.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,求一周内期望利润是多少？十二、(本题满分7分)假设一电路装有三个同种电器元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为的指数分布.当三个元件都无故障工作时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间的概率分布.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】【解析】方法一：方程两边取对数得,由此两边再求微分,即得.方法二：把改写成,然后将恒等式两边求微分,可得,由此可得 .(2)【答案】【解析】由,两边求导有,.于是 .(3)【答案】【解析】,于是 .【相关知识点】复合函数求导法则：的导数为.(4)【答案】【解析】对于型行列式,主要用递推法.对于本题,可把第至列均加到第列,得到,即 .类似地, .把这三个等式相加,并把代入,得.(5)【答案】【解析】设事件“实习生制造的第个零件是合格品”,依题意,相互独立.由概率的基本公式,加法公式和乘法公式得.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】本题主要考查极值点和拐点的概念及判定方法.方法一：排除法.例如,显然显然不是的极大值点,而是极小值点,则(A)不正确；而既不是的极大值点也不是极小值点,则(B)和(C)也不正确,故应选(D).方法二：直接说明(D)正确.事实上,由导数定义知.由极限的保号性可知,存在的某去心邻域,在此去心邻域内,由此可见在的左半邻域,曲线是凸的；在的右半邻域,曲线是凹的.因此为曲线的拐点.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】方法一：排除法.例如取,则有,.但,则(B)和(D)不正确；若取,则,但,所以(C)也不正确.故应选(A).方法二：直接用拉格朗日中值定理证明(A)正确.由题设在连续且可导,由,对于,存在,使得当时,.由此,由微分中值定理,对,使得.由此可得 ,即.故应选择(A).(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为 .现将视为关系矩阵中的矩阵,则有 .那么,由及为阶矩阵,可得另外,由及,可得故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.对维向量组,如果存在不全为零的数使得,则称向量组线性相关.否则,称向量组线性无关(也就是说,当且仅当时,才能成立.或者说,只要不全为零,那么必不为零.)若向量组线性无关,即若,必有.既然与不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于不能保证必有及故(A)不正确.由已知条件,有,又与不全为零,故线性相关.故选(D).(5)【答案】(B)【解析】因,故,又,于是由条件概率公式,有,应选(B).三、(本题满分6分)【解析】由于有二阶连续导数,故时,也具有二阶连续导数,此时,可直接求,且连续；当时,须用导数定义求,在点的连续性要用定义来判定.(1) 当时,.当时,由导数定义,有所以 (2) 因为在处,有而在处是连续函数,所以在上为连续函数.四、(本题满分7分)【解析】由于要求的三个二阶偏导数,因此先求全微分,以便同时得到两个偏导数.首先求的一阶全微分.用一阶全微分形式不变性和对积分上限的函数的求导公式可得.由此即得 .再分别求的偏导数,得 ,.于是, 【相关知识点】已知对积分上限的函数的求导公式为：若,均一阶可导,则.五、(本题满分6分)【解析】本题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,则应该用分部积分法.方法一： .所以, .而 故原式.方法二： 六、(本题满分7分)【解析】(1)设售出商品的销售额为,则,令,得 .当时,所以随单价的增加,相应销售额也将增加.由于,故.因此,当时,有.所以随单价的增加,相应的销售额将减少.(2)由(1)可知,当时,销售额取得最大值,最大销售额为.七、(本题满分9分)【解析】(1)设过、两点的抛物线方程为,则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为.抛物线与轴所围图形的面积为.所以 .(2)抛物线与两坐标轴所围图形绕轴旋转所得旋转体体积为,.所以 .八、(本题满分5分)【解析】由要证的结论可看出,只要能说明在上满足罗尔定理条件,问题就得到解决.由积分中值定理知,又由已知,可得.因此,在上满足罗尔定理条件,则存在,.【相关知识点】积分中值定理：如果函数在积分区间上连续,则在上至少存在一个点,使下式成立：.这个公式叫做积分中值公式.九、(本题满分9分)【解析】对增广矩阵作初等变换,有.当时,故方程组无解；当时,无论取何值,恒有,故方程组有解.若,则,得通解,其中为任意常数.若,则,得通解,其中为任意常数.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,则（1） 有唯一解 （2） 有无穷多解 （3） 无解 不能由的列向量线表出.十、(本题满分7分)【解析】对,两边取行列式有,又因,故 .由于,故,所以是正交矩阵,那么的特征值取或.又因为,现在,故必是的特征值,所以必是的特征值；而,从而必是的一个特征值.注：若是正交矩阵,则的实特征值是或,的复特征值的模为.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为,则服从二项分布即.由二项分布的概率计算公式,有设一周内所获利润(万元),则是的函数,且由离散型随机变量数学期望计算公式,(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若,则, .2.离散型随机变量数学期望计算公式：.十二、(本题满分7分)【解析】以表示第个电气元件无故障工作的时间,则相互独立且同分布,服从参数为的指数分布.所以其分布函数为依题意,电路正常工作的时间.当时,的分布函数；当时,(因为相互独立)由分布函数的定义,所以.综上分析计算,可得的分布函数为即电路正常工作的时间服从参数为的指数分布.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】【解析】方法一：方程两边取对数得,由此两边再求微分,即得.方法二：把改写成,然后将恒等式两边求微分,可得,由此可得 .(2)【答案】【解析】由,两边求导有,.于是 .(3)【答案】【解析】,于是 .【相关知识点】复合函数求导法则：的导数为.(4)【答案】【解析】对于型行列式,主要用递推法.对于本题,可把第至列均加到第列,得到,即 .类似地, .把这三个等式相加,并把代入,得.(5)【答案】【解析】设事件“实习生制造的第个零件是合格品”,依题意,相互独立.由概率的基本公式,加法公式和乘法公式得.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】本题主要考查极值点和拐点的概念及判定方法.方法一：排除法.例如,显然显然不是的极大值点,而是极小值点,则(A)不正确；而既不是的极大值点也不是极小值点,则(B)和(C)也不正确,故应选(D).方法二：直接说明(D)正确.事实上,由导数定义知.由极限的保号性可知,存在的某去心邻域,在此去心邻域内,由此可见在的左半邻域,曲线是凸的；在的右半邻域,曲线是凹的.因此为曲线的拐点.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】方法一：排除法.例如取,则有,.但,则(B)和(D)不正确；若取,则,但,所以(C)也不正确.故应选(A).方法二：直接用拉格朗日中值定理证明(A)正确.由题设在连续且可导,由,对于,存在,使得当时,.由此,由微分中值定理,对,使得.由此可得 ,即.故应选择(A).(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为 .现将视为关系矩阵中的矩阵,则有 .那么,由及为阶矩阵,可得另外,由及,可得故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.对维向量组,如果存在不全为零的数使得,则称向量组线性相关.否则,称向量组线性无关(也就是说,当且仅当时,才能成立.或者说,只要不全为零,那么必不为零.)若向量组线性无关,即若,必有.既然与不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).一般情况下,对于不能保证必有及故(A)不正确.由已知条件,有,又与不全为零,故线性相关.故选(D).(5)【答案】(B)【解析】因,故,又,于是由条件概率公式,有,应选(B).三、(本题满分6分)【解析】由于有二阶连续导数,故时,也具有二阶连续导数,此时,可直接求,且连续；当时,须用导数定义求,在点的连续性要用定义来判定.(1) 当时,.当时,由导数定义,有所以 (2) 因为在处,有而在处是连续函数,所以在上为连续函数.四、(本题满分7分)【解析】由于要求的三个二阶偏导数,因此先求全微分,以便同时得到两个偏导数.首先求的一阶全微分.用一阶全微分形式不变性和对积分上限的函数的求导公式可得.由此即得 .再分别求的偏导数,得 ,.于是, 【相关知识点】已知对积分上限的函数的求导公式为：若,均一阶可导,则.五、(本题满分6分)【解析】本题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,则应该用分部积分法.方法一： .所以, .而 故原式.方法二： 六、(本题满分7分)【解析】(1)设售出商品的销售额为,则,令,得 .当时,所以随单价的增加,相应销售额也将增加.由于,故.因此,当时,有.所以随单价的增加,相应的销售额将减少.(2)由(1)可知,当时,销售额取得最大值,最大销售额为.七、(本题满分9分)【解析】(1)设过、两点的抛物线方程为,则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为.抛物线与轴所围图形的面积为.所以 .(2)抛物线与两坐标轴所围图形绕轴旋转所得旋转体体积为,.所以 .八、(本题满分5分)【解析】由要证的结论可看出,只要能说明在上满足罗尔定理条件,问题就得到解决.由积分中值定理知,又由已知,可得.因此,在上满足罗尔定理条件,则存在,.【相关知识点】积分中值定理：如果函数在积分区间上连续,则在上至少存在一个点,使下式成立：.这个公式叫做积分中值公式.九、(本题满分9分)【解析】对增广矩阵作初等变换,有.当时,故方程组无解；当时,无论取何值,恒有,故方程组有解.若,则,得通解,其中为任意常数.若,则,得通解,其中为任意常数.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,则（4） 有唯一解 （5） 有无穷多解 （6） 无解 不能由的列向量线表出.十、(本题满分7分)【解析】对,两边取行列式有,又因,故 .由于,故,所以是正交矩阵,那么的特征值取或.又因为,现在,故必是的特征值,所以必是的特征值；而,从而必是的一个特征值.注：若是正交矩阵,则的实特征值是或,的复特征值的模为