2015年考研数学一模拟练习题及答案

2015年考研数学一模拟练习题及答案（三）一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设函数则的零点个数（ ）（A）0（B）1 （C）2（D）3（2）设有两个数列，若，则（ ）（A）当收敛时，收敛. （B）当发散时，发散. （C）当收敛时，收敛.（D）当发散时，发散.（3）已知函数对一切非零满足（ ）（A）是的极大值（B）是的极小值（C）是曲线的拐点（D）是的极值，但也不是曲线的拐点（4）设在区间a,b上 （ ）（A） （B）（C） （D）（5）设矩阵，则于（ ）（A） 合同，且相似（B）合同，但不相似（C） 不合同，但相似（D）既不合同，也不相似（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）（A）（B） （C）（D）（7）设是三个相互独立随机事件，且，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）（A）与 （B）与 （C）与 （D）与（8）设随机变量独立同分布，且其方差，令，则（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 在处连续，则 （10）.（11）设函数由方程确定，则 （12）曲线与轴所围成的图形的面积A为 .（13）若4维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 （14）设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则 。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限（16） （本题满分10分）求微分方程的解（17）（本题满分12分）设函数在闭区间上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足，又曲线与所围的图形S的面积值为2，求函数并问为何值时，图形一周所得的旋转体的体积最小.（18）（本题满分10分）就的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分10分）已知向量组向量组与向量组 具有相同的秩，且可由线性表示求a,b的值. （21）（本题满分10分）设二次型的正负惯指数都是1，试计算的值并用正交变换将二次型化为标准型（22（本题满分10分）已知随机变量的联合概率密度为，求的联合分布函数（23）（本题满分12分）设总体的概率密度为 其中是未知参数.从总体中抽取简单随机样本，记，（1）求总体的分布函数；（2）求统计量的分布函数；（3）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.2015年考研数学一模拟练习题及答案（三）一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A二、填空题（9） （10） （11） （12） （13）3 （14） 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）求极限【解】：（16）求微分方程的解【解】：令得到 令, 得到为关于y的一阶线性方程. 且解得 所以 , .于是 , , , , 得到, 得解 （17）设函数在闭区间上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足，又曲线与所围的图形S的面积值为2，求函数并问为何值时，图形一周所得的旋转体的体积最小.【解】由题设知，当即根据此并由处的连续性，得又由已知条件得即因此旋转体的体积为得又因故时，旋转体体积最小.（18）就的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论.【解】设则在上连续.由得在内的由于当时，所以在上单调减少，在上单调增加，因此是在内的唯一的最小值点，最小值为又因，故在的取值范围为时，原方程在内没有根；当时，原方程在内有唯一根；当时，原方程在内各恰有一根，即原方程在内恰有两个不同的根。（19）求幂级数的收敛域及和函数.解：因为 ，所以当, 即时，原幂级数绝对收敛.当时，级数为，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为.又 令 则 由于，所以 . 从而幂级数的收敛域为，和函数为 .（20）已知向量组向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表示求a,b的值. 【解】方法一：因为线性无关，所以向量组线性相关，且秩为为它的一个极大线性无关组.由于向量组与具有相同的秩，故线性相关.从而行列式由此解得又可由线性表示，从而可由，于是线性相关.因此有化简得于是方法二：因可由线性表示，故线性方程组有解，对增广矩阵施行初等行变换：由非齐次线性方程有解的条件知解得又因为线性无关，所以向量组的秩为2，而题设与同秩，从而有由此解得（21）设二次型的正负惯指数都是1，试计算的值并用正交变换将二次型化为标准型。【解】：二次型的矩阵为由二次型的正负惯性指数都是1，可知，所以，或又时，显然，故只取此时所以的特征值是当时，解方程组，得基础解系为当时，解方程组，得基础解系为当时，解方程组，得基础解系为将单位化得,因此所求的正交变换为所求的标准型为（22）已知随机变量的联合概率密度为，求的联合分布函数【解】：由分布函数的定义可知，由于只在区域上取值。因此，当时，当时，。当时，当时，当时，则（23）设总体的概率密度为 其中是未知参