MATLAB 第3章 Z变换ppt课件

第3章Z变换,第三章学习目标,掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Fourier变换的关系掌握离散系统的系统函数和频率响应，因果/稳定系统的收敛域,3.1Z变换的定义和收敛域,一.Z变换的定义,双边z变换,其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面称为z平面。,单边z变换,二Z变换的收敛域,1收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。,2.收敛条件：,的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求,要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。,z平面上的收敛域一般可用环状域表示，即,Rx-|z|Rx+,收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域，Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。,图3-1环形收敛域,由于,，收敛域总是用极点限定其边界。,3z变换的零极点,（1）有限长序列:,三几种序列的收敛域,其z变换为,收敛域为,图3-2有限长序列及其收敛域,（除外）,另外，由,可见，0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关，如果n10，则收敛域不包括|z|=0；如果n20，则收敛域不包括|z|=。具体有限长序列的收敛域表示如下：,（1）求矩形序列的z变换,例题3-1,（2）求序列的z变换,（2）右边序列:,其z变换为,其中：Rx-为收敛域的最小半径。,右边序列的收敛域,图3-3右边序列及其收敛域（n1|a|,这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|a|处收敛如图3-4所示。,解这是一个因果序列，其z变换为,由于，故在z=a处有一极点(用“”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。,图3-4的收敛域,收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，注意：右边序列的z变换如果有N个有限极点存在，那么收敛域一定在模值最大的有限极点所在圆以外，也即但在处是否收敛，则需视序列存在的范围另外加以讨论。对于因果序列，处也不能有极点。,例题3-3,求的Z变换及其收敛域。,（3）左边序列:,其z变换为,左边序列的收敛域,0|z|,0|z|Rx+,0|z|Rx+,其中：Rx+为收敛域的最大半径。注意：若n20，收敛域包括|z|=0，即|z|0，故z=0除外）,例3-4：x(n)=-anu(-n-1),求其z变换及收敛域。解：这是一个左边序列。其z变换为,此等比级数在|a-1z|1，即|z|a|处收敛。因此,序列z变换的收敛域如图2-6所示。函数在z=a处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。,图2-6的收敛域,注意1：左边序列的z变换如果有N个有限极点存在，,注意2：z变换后，只给出z变换的闭合表达式是不够的,必须同时给出收敛域,才能唯一地确定一个序列。,那么收敛域一定在模值最小的有限极点所在圆之内，即,但在处是否收敛,需视序列存在的范围另外加以讨论。,例题3-5,求的z变换及其收敛域。,双边序列指n为任意值时，x(n)皆有值的序列，可以把它看作一个左边序列和一个右边序列之和，即,（4）双边序列:,如果Rx-Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域,故不存在z变换的解析式。,|z|Rx+,Rx-|z|Rx-,图2-7双边序列及收敛域,例题3-6,（1），a为实数，求的z变换及其收敛域。,（2）求序列的z变换及其收敛域。,归纳,右序列的收敛域是：,左序列的收敛域是：,有限长序列的收敛域是：,双边序列的收敛域:,Z平面的全平面；,Z平面内某个圆的外部；,Z平面内某个圆的内部；,如果存在，是Z平面内环形区域。,定义:已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为z反变换，表示为,则,3.2z反变换,一、z反变换的定义,2.z反变换的一般公式,若,图2-8围线积分路径,积分路径c为环形解析域（即收敛域）内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。,围线积分法（留数法）;部分分式展开法;幂级数展开法（长除法）.,二z反变换方法,直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上,求z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求z反变换的常用方法有三种：,根据留数定理，若函数X(z)zn-1在围线c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有,留数法,其中：表示函数X(z)zn-1在极点z=zk（c以内极点）上的留数。表示函数X(z)zn-1在极点z=zm（c以外极点）上的留数。,如何求X(z)zn-1在任一极点zk处的留数？1.设zk是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有,2.如果zk是X(z)zn-1的多重极点，如N阶极点，则有,(3-1),(3-2),注意：以上两式都可以用于计算z反变换，应根据具体情况来选择。例如，如果当n大于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，而通常选c的内部极点求留数则较简单。如果当n小于某一值时，函数X(z)zn-1在围线的内部可能有多重极点，这时选用c外部的极点求留数就方便得多。,例3-7：已知,求z反变换。,解：,当n0时,在围线c以内有一个单极点z=a；如图2-9所示。应用公式(3-1)，则,当n|a|,注意：在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n0时出现的极点了，因为它们的留数和一定总是零。,因此,即,例3-8已知,求z反变换。,解,由于极点a处在围线c以外(见图2-13），当n0时围线c内无极点，因此；,而n2,收敛域为|z|3,收敛域为2|z|3,幂级数展开法（长除法）,把X(z)展开成幂级数,级数的系数就是序列x(n),根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的右边序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,结论：在Z平面中单位圆上定义的序列Z变换即为序列的傅,3.3Z变换与傅里叶变换的关系,Z变换表达式：,令,，代入上式得到：,当,时，,即,里叶变换。,Z在单位圆上取值,即z变换等效成序列的傅里叶变换,3.4z变换的基本性质和定理,1.线性Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有:,ZTx(n)=X(z)Rx-|z|Rx+ZTy(n)=Y(z)Ry-|z|Ry+那么对于任意常数a、b，z变换都能满足以下等式：ZTax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)R-|z|R+,注意：1）通常两序列和的z变换的收敛域为它们各自收敛域的公共区域，即R-=max(Rx-,Ry-)R+=min(Rx+,Ry+)2）如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，则收敛域可能扩大。,2.序列的移位(),式中：m为正为延迟(右移)，m为负为超前(左移)。,若序列x(n)的z变换为,则有,证明：,例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,解：,3.乘以指数序列（z域尺度变换）,若,则,4.序列的线性加权（z域求导数）,若已知,则,5.共轭序列,式中，符号“*”表示取共轭复数。,若,则,6.翻褶序列,若,则,对于因果序列x(n)，即x(n)=0,n0,有,7.初值定理,8.终值定理,设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1处外，其余都在单位圆内，则,9.序列的卷积和（时域卷积和定理）(),则,设,注意：1）若时域为卷积和，则z变换域是相乘的关系；2）乘积Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。若有极点被抵消，收敛域可扩大。,在线性移不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积;利用时域卷积和定理，通过求出X(z)和H(z)，然后求出乘积X(z)H(z)的z反变换，从而可得y(n)。具体步骤如下：,时域卷积和定理的应用求线性移不变系统输出响应,例3-12：设x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求y(n)=x(n)*h(n)。,解：,所以,其z反变换为,显然，在z=a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果|b|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大。,图2-14Y(z)的零极点及收敛域,例题,1.已知，的z变换，求及的z变换。2.已知某因果序列的z变换求的初值和及终值。,3.5离散系统的系统函数，系统的频率响应,在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示，即,一、系统函数,取z变换,线性移不变系统的系统函数，单位冲激响应的z变换,1.因果系统,二、因果稳定系统,单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统是因果系统，因果系统的系统函数H(z)具有包括z=点的收敛域，即,线性移不变系统是因果系统的充要条件是:,即因果系统的收敛域是半径为的圆的外部，且必须包括|z|=在内。,z变换的收敛域由满足的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1的系统是稳定的。,2.稳定系统,线性移不变系统稳定的充要条件是单位冲激响应h(n)绝对可和:,因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个z域内收敛，即收敛域必须包括,也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。,3.因果稳定系统,注意：1）同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以给出系统函数时必须同时给定系统的收敛域才行。2）对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。,例已知系统函数为,21/2