结构动力学PPT课件

精选,1,结构动力学基础,精选,2,结构动力学基础目录,绪论体系的运动方程建立单自由度体系的振动多自由度体系的振动频率和振型的实用计算方法随机振动初步结构地震反应分析结构的振动控制,精选,3,一、绪论,1.1阪神地震录像1.2动力荷载及其分类1.3结构动力学的研究内容和任务1.4结构动力分析中体系的自由度1.5结构的动力特性1.6建立结构运动方程的一般方法,精选,4,一、绪论1.1阪神地震,首先请大家看日本阪神地震录像，希望能从中体会到学习结构动力学的重要性。更希望大家能学好结构动力学！,精选,5,1.2动荷载及其分类,所谓动荷载是指：随时间变化（三要素），且作用结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不可忽视，这种荷载称动力荷载，简称动荷。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。,精选,6,1.2动荷载及其分类,动荷载可有多种分类方法，常见的是：,动荷载,确定,不确定,风荷载,地震荷载,其他无法确定变化规律的荷载,周期,非周期,简谐荷载,非简谐荷载,冲击荷载,突加荷载,其他确定规律的动荷载,精选,7,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,输入（动力荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,控制系统（装置、能量）,第一类问题：反应分析正问题,精选,8,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,控制系统（装置、能量）,输入（动力荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,第二类问题：参数（或称系统）识别,精选,9,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,控制系统（装置、能量）,输入（动力荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,第三类问题：荷载识别。二、三为反问题,精选,10,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,输入（动力荷载）,结构（系统）,输出（动力反应）,控制系统（装置、能量）,第四类问题：控制问题,精选,11,1.3结构动力学的研究内容和任务,1.3.2结构动力学的任务结构动力学的任务是:讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。,1.3.3与其它课程间的关系首先，结构动力学要求较熟练掌握已学过的力学知识。其次，要求较好地掌握已学的数学知识（数学中未学的，在学习过程中将会介绍）。结构动力学为工程结构的抗震、抗风设计等提供依据。结构动力学基本原理、方法适用于一切工程。,精选,12,1.4结构动力分析中的自由度,1.4.1自由度的定义确定体系中质量位置的独立坐标数，称作体系的自由度数。应注意：自由度数和质量点个数有关，但没有确定关系。,1.4.2实际结构自由度的简化方法实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：1)集中质量法将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。,精选,13,1.4结构动力分析中的自由度,2)广义坐标法以简支梁无限自由度体系为例，设梁上任意一点的位移可分离变量成y(x,t)=Y(x)T(t)，而Y(x)和里兹法一样可用满足位移边界条件的“基函数”（例如正弦级数）线性组合来逼近，组合系数就是广义坐标，从而将无限自由度系统变成有限个广义坐标的系统。因此，简化系统的自由度就是广义坐标数。,如果不考虑轴向变形，则图示平面集中质量系统的自由度分别为：,如果不考虑轴向变形，则图示空间集中质量系统的自由度分别为：,请考虑计轴向变形结果如何？,2,2,2,3,3,4,6,4,精选,14,1.4结构动力分析中的自由度,3)有限单元法和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。由于将专门介绍，这里不再赘述。,虽将简单介绍有限单元法，但本部分主要讨论集中质量法。对集中质量而言，自由度并不难理解，但如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知量个数一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。因此，必须熟练地掌握自由度的确定。,精选,15,1.5结构的动力特性,结构受动荷载作用，它的反应不仅和动荷载有关，而且还和结构本身固有的特性（包括结构阻尼、频率谱和振型等）有关。设有单自由度的刚架和桁架，如果它们具有相同的阻尼、频率，在相同动荷载下将具有相同的反应。可见结构的固有特性能确定动荷下的反应程度，因此将他们称作结构的动力特性。,1.5.1自振频率和频率谱外界干扰消除後，系统在平衡位置附近所产生的振动，称作自由振动（无外荷作用的振动）。自由振动的频率称自振频率，简称自频。,精选,16,1.5结构的动力特性,实际结构有小于等于（一般等于）自由度数的自振频率，将其按从小到达依次排列，此排列称作频率谱。频率谱中最小的频率称作基本频率，简称基频。其后依次称为第二、三等等频率。他们可以通过计算和试验得到。不同结构频率谱的分布是不同的。象单跨梁、不计扭转振动的房屋等，相邻两频率间隔较大，这样的频谱称稀疏型的。对于空间结构、考虑扭转振动的房屋等，频谱中存在密集区，这样的频谱称密集型的。结构的动力反应和它的频谱有密切关系。,精选,17,1.5结构的动力特性,1.5.2结构的振型当在一定条件下结构按频谱中某一频率振动时，在任意时刻各质量的位移都保持同一比例，也即变形形状是固定的。这一变形形式称作此频率对应的振型。与基频对应的振型称第一振型或基本振型，其他依次称第二、第三振型等等。振型也可通过计算或实验得到，在多自由度体系分析时，它是重要的工具。,1.5.3结构的阻尼实际结构的自由振动都是衰减的，经一定时间后将仍处于平衡。这说明振动过程有能量耗散，这种能量耗散作用称作阻尼。,精选,18,1.5结构的动力特性,产生能量耗散的原因很多，如材料的内摩擦、周围介质对能量的吸收等等。至今为止，对阻尼机理仍然是没有解决的问题。为了在动力分析中考虑阻尼的影响，使分析更符合实际，人们提出了种种关于阻尼的假定。这些假定统称作阻尼理论。限于学时，这里只介绍一种常用的“等效粘滞”阻尼理论。所谓等效粘滞阻尼是假设：导致能量耗散是由于存在阻尼力，它和运动的速度成正比，方向和速度方向相反。这比例系数称阻尼系数，其数值由试验确定。根据这一理论，单自由度的阻尼力为。,精选,19,1.6建立结构运动方程的一般方法,要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方法很多，择常用的简单介绍如下：1)应用达朗泊尔原理，通过列瞬时“动平衡”方程来建立。由于下一章将专门介绍，这里不赘述。2)虚功法根据达朗泊尔原理和所假设的阻尼理论，在质量上考虑惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该处于“动平衡”状态，因此根据虚位移原理，外力（动荷载、惯性力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚变形功。也即通过列虚功方程象1)一样来获得运动方程。由于是用虚功方程来建立平衡条件，称虚功法。,精选,20,1.6建立结构运动方程的一般方法,3)利用哈密顿原理来建立运动方程变分法分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、势能和耗能（分别记作T、EP、V），获得如下哈密顿泛函,根据哈密顿原理，可由令哈密顿泛函的一阶变分等于零来建立“动平衡方程”运动方程。当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则，是有阻尼情况。用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、阻尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。,精选,21,二、体系的运动方程建立,2.1建立运动方程的基本步骤2.2运动方程建立举例2.3体系运动方程的一般形式2.4应注意的几个问题2.5刚度法、柔度法列方程的步骤2.6运动方程建立总结,精选,22,2.1建立运动方程的基本步骤,作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。直接平衡法列方程的一般步骤为：1)确定体系的自由度质量独立位移数；2)建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；3)根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；4)根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；5)取质量为隔离体并作受力图；6)根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方程，此方程就是运动（微分）方程。,列平衡方程称刚度法,精选,23,2.1建立运动方程的基本步骤,作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。直接平衡法列方程的一般步骤为：1)确定体系的自由度质量独立位移数；2)建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；3)根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；4)根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；,列位移方程称柔度法,5)将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“外力”，按位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。,精选,24,2.2运动方程建立举例,2.2.1单自由度体系运动方程例-1)试建立图示结构的运动方程。,h,m,EI,P(t),解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设x坐标向右（右手系）。,又设横梁（质量m）位移为u，以它为隔离体，受力如图所示。,P(t),h,列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运动方程为,图中Fs1和Fs2可由图是有位移法（实际直接可由形常数）得到,精选,25,2.2运动方程建立举例,2.2.1单自由度体系运动方程,解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。,将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定,l/2,l/2,m,例-2)试建立图示抗弯刚度为EI简支梁的运动方程。（不计轴向变形）,l/2,l/2,fI,fd,P(t),P(t),由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为,因此在所示“外力”下，质量的位移为,精选,26,2.2运动方程建立举例,2.2.1单自由度体系运动方程例-3)试建立图示结构的运动方程。,h,m,EI,P(t),解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设质量m位移为u，向右为正。根据达朗泊尔原理和假设的阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受力如图。,P(t),h,由超静定位移计算可得（如图示意）,h,1,因此，外力下位移为,显然，整理後结果和例-1）相同，k=-1,精选,27,2.2运动方程建立举例,2.2.1单自由度体系运动方程,解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。,l/2,l/2,m,例-4)试建立图示抗弯刚度为EI简支梁的运动方程。（不计轴向变形）,P(t),因此由所示“外力”平衡可得,1,R,利用对称性由（形常数）可得质量点处所加支杆单位位移时的R（=？）。以m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定,显然,整理後结果和例-2)相同，k=-1,精选,28,2.2运动方程建立举例,2.2.1单自由度体系运动方程,解：将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定,仅在P(t)作用下m的位移由位移计算得,l/2,l/2,m,例-5)若例-2)简支梁动荷载作用在3l/4处,试建立其运动方程,l/2,l/2,fI,fd,P(t),P(t),由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为,作业：P-1的物理意义是什麽？,因此在所示“外力”下，质量的位移为,精选,29,2.2运动方程建立举例,2.2.1单自由度体系运动方程,解：设质量水平位移为u，向右为正。,例-6)试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽象化模型的运动方程。,因此由所示“外力”平衡可得,m,k,以m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力fe。根据达朗泊尔原理和阻尼假定,c,m,P(t),由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运动方程的最终形式都是一样的。,精选,30,2.2运动方程建立举例,单自由度体系运动方程建立小结,任何单自由度结构，运动方程都可写为,式中：m质量；c阻尼系数；k刚度系数；Peq为等效动荷载。当动荷载直接作用在质量上时，Peq为动荷载的合力在运动方向的投影；当动荷载不作用在质量上时，Peq为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力。,用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。,没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动,精选,31,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,解：结构为两自由度体系。设水平、竖向位移为u、v，分别向右、向下为正。,例-7)试建立图示结构的运动方程。各杆长度为l，抗弯刚度为EI。,式中cij为j方向单位速度引起的i方向的阻尼力。,m,根据达朗泊尔原理和阻尼假定,Px(t),为用柔度法建方程，沿位移正向加单位力的单位弯矩图如图所示。,精选,32,m,Px(t),2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,由图示单位弯矩图可求得,因此，在所示“外力”下u、v分别为,精选,33,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,以矩阵方程表示，整理後可得,记作d称位移阵,记作P称荷载阵,记作f称柔度阵,记作M称质量阵,记作C称阻尼阵,精选,34,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,解：为用刚度法建方程，沿位移正向加限制位移的支座如图所示。,例-8)试用刚度法建立结构的运动方程。,图中,由位移法或弯矩分配法可做出支座单位位移的弯矩图如图示。,1,1,M1,M2,M3,M4,精选,35,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,图中,1,1,k11,k22,M1,M2,M3,M4,由此可求得图示反力(刚度)系数kij,精选,36,取质量为隔离体，加惯性力fIx、fIy，阻尼力fdx、fdy和弹性恢复力fex、fey。,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述结果可得,列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下,记作k称刚度阵,由两例系数结果可证k=f-1,精选,37,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,解：为用刚度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座产生图示单位位移。,例-9)试用刚度法建立图示剪切型结构的运动方程。k1和k2为层侧移刚度。,由层刚度定义可得,1,k11,k21,k22,k12,加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体,精选,38,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,图中各项和前面例子相仿，分别为,列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下,记作k称刚度阵,精选,39,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,解：本例除荷载作用位置外，其他和例-7完全相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度系数等直接可以利用,例-10)试建立图示结构的运动方程。各杆长度为l、刚度为EI。荷载在杆中间。,m,P(t),P(t),精选,40,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,由图示荷载和单位弯矩图可求得,因此，在所示“外力”下u、v分别为,精选,41,2.2运动方程建立举例,2.2.2两自由度体系运动方程,以矩阵方程表示，整理後可得,记作d称位移阵,记作f称柔度阵,记作M称质量阵,记作C称阻尼阵,记作P称荷载位移,精选,42,2.2运动方程建立举例,两自由度体系运动方程建立小结,任何两自由度结构，运动方程都可写为,式中：m为质量、c为阻尼、k为刚度、Peq为等效动荷载矩阵。当动荷载直接作用在质量上时，Peq为动荷载的合力在运动方向的投影所组成的矩阵；当动荷载不作用在质量上时，Peq为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力所组成的矩阵。,用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。,没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动,精选,43,2.3体系运动方程的一般形式,在单自由度和两自由度的基础上，不难推广得到n个自由度体系的情况。在记M质量阵、C阻尼阵、K刚度阵、Peq等效荷载阵；d、v、a为位移、速度、加速度阵；f柔度阵；P荷载位移阵情况下刚度法列式结果Ma+Cv+Kd=Peq柔度法列式结果d=f(-Ma-Cv)+P由此可见，两种列式间的关系为K=f-1；Peq=KP在集中质量时M为对角阵，由互等定理可知K和f为对称矩阵。,精选,44,2.4应注意的几个问题,1）在单自由度情况下，刚度（反力）系数和柔度系数互为倒数。2）在两和多自由度情况下，刚度（反力）矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵，但其元素之间不存在倒数关系。3）Peq并不一定等于外荷载排成的列阵。在动外荷下它由各自由度均被约束时，动荷引起的约束反力所组成。或者由Peq=KP=f-1P来计算。4）具体结构究竟用什麽方法列运动方程，要对比求什麽系数工作量少来定。一般静定结构用柔度法、由无穷刚梁的剪切型结构用刚度法。5）虽然从原理上C=Cij，但实际两和多自由度分析时阻尼矩阵并非由阻尼系数组成，这将在第四章多自由度分析中再讨论。,精选,45,2.5刚度法、柔度法列方程的步骤,刚度法（无阻尼）1）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立（集中）质量矩阵M。2）加约束限制全部质点自由度方向的位移，求动力外荷载引起的支座约束反力。按自由度顺序排列这些反力，得到等效荷载矩阵Peq。3）对全部质点自由度方向的位移被约束的结构，令j自由度发生单位位移，求第i个约束的反力，它就是刚度系数Kij。由此建立刚度矩阵K。4）由上述结果即可建立运动方程Ma+Kd=Peq,精选,46,2.5刚度法、柔度法列方程的步骤,柔度法（无阻尼）1）确定自由度，确定自由度方向的质量，从而建立（集中）质量矩阵M。2）在质点自由度方向加单位例，作单位弯矩图。3）在动例外荷作用下，作荷载弯矩图。4）根据单位弯矩图求柔度系数ij。由此建立柔度矩阵f。5）由单位和荷载弯矩图求荷载位移iP，由此建立荷载位移矩阵P。6）由上述结果即可建立运动方程d=f(-Ma)+P,精选,47,2.6运动方程建立总结,根据达朗泊尔原理和所假定的阻尼理论，确定自由度後可确定惯性力和阻尼力。由具体结构情况，视那类系数求取方便，确定列方程的方法。所有问题都可用两种方法建立方程，两种方程间可以相互转换。外界“荷载”是支座（例如地震时的地面运动）运动时，支座为牵连运动，惯性力对应绝对加速度，弹性恢复力对应相对位移。经推导得Peq=-M1ag。其中1为元素均为1的向量。请自行验证。,精选,48,三、单自由度体系振动分析,3.1单自由度体系自由振动3.2单自由度体系受迫振动3.3非线性反应分析3.4几点结论和讨论,精选,49,3.1单自由度体系自由振动,本章部分内容在理论力学振动这一章学过，但除回顾外，也有所扩展。它是后面分析的基础，请下功夫学好！,3.1.1自由振动方程的通解,上一章已指出，不管什麽结构、用什麽方法建立方程，单自由度体系最终运动方程均可写为,自由振动分析时，P(t)=0。上式可改为,精选,50,3.1单自由度体系自由振动,由此可得特征方程：s2+2s+2=0。根据判别式有三种可能情况：,式中,由常系数常微分方程理论可设,1)1，特征方程有两个实根，称作超阻尼情况。这时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。,2)=1，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体系也不发生振荡，这时阻尼系数为,，称作临界,阻尼系数。,阻尼比,固有频率,精选,51,3.1单自由度体系自由振动,式中,由此可得,3)1，特征方程有一对共轭复根，称作小阻尼情况。此时,积分常数C1、C2由初始位移、速度确定，可得,有阻尼频率,精选,52,3.1单自由度体系自由振动,可见有阻尼自由振动的解答是按指数规律衰减的简谐运动。衰减的速度随、增大而加快。,如果记振幅为A，初相位为，也即,则运动方程解答也可写为,3.1.2无阻尼自由振动它可作为特例，令上述结果中等于零得到。它是由初位移、初速度引起的简谐运动，运动全过程能量守恒。,精选,53,3.1单自由度体系自由振动,3.1.3结构阻尼比的一种确定方法,设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然的冲击（如放一小火箭），由试验获得了阻尼振动的记录如教材的图2-9。由此可量测得t时刻和n周后的振幅（一般测峰值位移，记T为有阻尼周期）分别为ut和ut+nT。记ut/ut+nT的自然对数为n（1称为对数衰减率），由阻尼振动解答可得,由于之后为仅有初速度I/m的自由振动。,精选,56,3.2单自由度体系受迫振动,根据上一节可得仅初位移引起的解答u2为,记u2/I=h(t-)，称作单位脉冲函数（单位冲量引起的位移）。则上式可改写作,再将任意荷载看成一系列独立的冲量（脉冲），则由叠加原理可得,精选,57,3.2单自由度体系受迫振动,或者,上式是运动方程特解（可代入运动微分方程证明），也可看成零初始条件的解答（因为u2(0)=0）。将其和齐次方程解合在一起，即可得通解为,上式也可由代入单位脉冲函数来改写，这里从略。,称作Duhamel积分,精选,58,3.2单自由度体系受迫振动,有了有阻尼的通解，无阻尼情况的Duhamel积分和通解可作为特例得到（当然也可经类似推导得到）,3.2.2典型荷载的反应(主要讨论有阻尼,无阻尼为特例),有了通解，对给定的荷载情况，代入并积分即可得到各种具体荷载下的解答。,1)简谐荷载,将荷载代入通解，积分后可得其解答。也可用带待定常数的齐次解和特解asint+bcost来求。结果如下,精选,59,3.2单自由度体系受迫振动,精选,60,3.2单自由度体系受迫振动,这解答中的第一项为初始条件引起的自由振动，第二项为荷载（干扰）引起的自由振动（称作伴随振动）。它们的频率都是d，都按指数规律衰减。因此一段时间后，都将逐渐消失。自由振动消失前的运动称瞬态阶段。第三项是以干扰频率进行的等幅振动，称“纯受迫振动（或稳态阶段）”，工程中只关心它,记,精选,61,3.2单自由度体系受迫振动,则纯受迫振动的解可写为,ust为荷载幅值作用下的静位移，称位移放大系数（也称动力系数）。无阻尼情况可令=0得到（当然也可类似地直接推得）。,动力系数取决于、/（频率比），各种下-曲线如P.23的图示意。可见对影响十分显著，增大将使减小，也即使反应减小。在1时1/2，当无阻尼共振时趋于无穷，可见阻尼对共振影响显著，必须考虑。,精选,62,3.2单自由度体系受迫振动,0.751.25的范围称共振区，为了简化，在共振区外可不计阻尼影响。有阻尼时的最大值并不在=1处，而在=1-221/2处。由于阻尼很小，可近似认为在=1处。阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位：趋于0，滞后趋于0。体系弹性恢复力趋于和动荷载平衡，位移和荷载同向。趋于1，滞后趋于90度。体系阻尼力趋于和动荷载平衡。再次看到共振时阻尼的作用不可忽视。趋于无穷，滞后趋于180度。体系惯性力趋于和动荷载平衡，位移和荷载反向。,2)突加荷载,将荷载代入Duhamel积分，可得反应为,精选,63,3.2单自由度体系受迫振动,其u-dt曲线如(龙P.21)图，可见开始时接近2，也即突加荷载所产生的最大位移接近静位移的2倍。无阻尼情况等于2。,3)周期荷载P(t)（设周期为TP）下的稳态反应周期荷载的Fourier展开为,精选,64,3.2单自由度体系受迫振动,这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。在a0作用下产生ust=a0/k的静位移。在aicosit和bisinit简谐荷载下（稳态解）,精选,65,3.2单自由度体系受迫振动,由此两部分综合即可得周期荷载下的稳态解答。无阻尼情况可令=0得到（当然也可类似地直接推得）。教材上还介绍了矩形脉冲、三角形脉冲等荷载下的反应，这里只说明以下几点：1)这种荷载都是短时作用荷载。2)用Duhamel积分求t时刻反应时，应该区分t在无荷载阶段荷还是有荷载阶段。3)动力系数和“持续作用时间t1和体系周期的比值有关”。其结果可看教材上的表。4)其他解析荷载，均可由Duhamel积分获得位移反应。当荷载规律用一系列离散数据表示时，可经编程用数值积分来求Duhamel积分。有关内容可参考RayW.Clough等的教材。,精选,66,3.2单自由度体系受迫振动,3.2.3受迫振动举例,荷载幅值下的静位移ust=F/k=Fh3/24EI，因此稳态反应为,例1：试求图示结构在F(t)=Fsin0.6t作用下的稳态反应。为固有频率。,解：结构的k=24EI/h3，=k/m由题目可知频率比为0.6，代入动力系数和相位角公式可得,精选,67,3.2单自由度体系受迫振动,在荷载幅值作用下的弯矩图如图所示，杆端弯矩Mst值为0.25Fh，由于静位移被放大倍，由此得,因此，最大动弯矩为0.389Fh。作业题：如果本例中荷载作用在左柱h/2处，试求：1）最大静位移等于多少？2）最大动位移等于多少？3）最大静弯矩等于多少？4）最大动弯矩等于多少？由此能总结什麽结论？,精选,68,3.3非线性反应分析,当系统的阻尼、刚度随速度、位移变化时，运动方程是非线性的，这时Duhamel积分不再适用。但不管线性还是非线性，“动平衡”方程都是,3.3.1非线性问题的增量方程设阻尼力、弹性恢复力和荷载曲线如图所示。,精选,69,3.3非线性反应分析,又设m不随时间变化。并记c(t)=fd，k(t)u=fs。则由t+t时刻和t时刻方程相减可得,当t很小时c(t)、k(t)可取t时刻曲线的斜率，这个增量方程形式和线性系统一样。如果已知t时刻c(t)、k(t)、位移、速度、加速度（称状态向量），设法从增量方程求得位移、速度、加速度的增量，则显然可以求得t+t时刻状态向量，重复这一过程即可求得非线性问题的数值解答。,3.3.2增量方程的逐步积分法增量方程的逐步积分方法很多，这里先介绍一种“线加速度法”。,精选,70,3.3非线性反应分析,设0t，在t时间间隔内加速度线性变化，也即,则积分一次可得速度，积分两次可得位移,令=t，由位移方程可将加速度增量用位移增量表示，代回速度方程可得以下结果,精选,71,3.3非线性反应分析,将上述、代回增量方程,整理后可得,等效刚度,等效荷载,精选,72,3.3非线性反应分析,如果已知t时刻c(t)、k(t)、状态向量，则可求得等效刚度、等效荷载，从而求得位移增量。将位移增量代回速度(、加速度)增量的公式，由位移增量和t时刻状态向量可求得速度(、加速度)增量。将t时刻状态向量和位移、速度增量相加，即可求得t+t时刻位移、速度。(也可求加速度)由t+t时刻位移、速度求fd(t+t)和fs(t+t)。最后，由t+t时刻的“动平衡”方程求t+t时刻加速度，即可得到t+t时刻状态向量。重复这一过程即可求得非线性问题的数值解答。上述即为逐步积分的步骤。计算和理论分析表明，为使计算有足够的精度，积分步长应小于系统周期的十分之一。,精选,73,3.3非线性反应分析,根据上述逐步积分步骤，编制计算程序即可用于计算非线性结构的动力反应。由于它是求每一时刻的反应，因此通常称作时程分析。,弹塑性分析演示程序,查看计算结果,精选,74,3.4几点结论与讨论,单自由度的固有频率平方等于k/m。阻尼比可由实验测得，一般结构阻尼比为0.05。由于阻尼的存在，自由振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）是减少振动的有效措施。对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可忽略阻尼影响。不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（m、k、），在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。动力系数取决于、频率比，当荷载作用在质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。,精选,75,对于线性体系，利用叠加原理可用Duhamel积分来求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法称为时域分析法。突加荷载的最大位移反应接近或等于2倍静位移。周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综合得到。非线性问题叠加原理不适用，Duhamel积分不能用，要进行时程分析来求数值解。利用三角函数和指数函数的关系，将荷载Fourier级数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。,3.4几点结论与讨论,精选,76,四、多自由度体系的振动,多自由度无阻尼自由振动振型的正交性多自由度的受迫振动杆系结构有限元动力分析多自由度时程分析方法结论与讨论,精选,77,虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但为了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度进行分析。在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体系的运动方程，理论上阻尼矩阵C=Cij，Cij表示j自由度单位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但实际上Cij一般是确定不了的。目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型分解化为单自由度问题的组合来解决。再一次体现了，化未知问题为已知问题的研究方法和思想。对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。因此，首先介绍无阻尼自由振动。,精选,78,4.1多自由度无阻尼自由振动,多自由度运动方程为,无阻尼自由振动运动方程为,设其解为Asint，代入运动方程可得(-2M+K)Asint=0为使系统有非零的振动解答，必须-2M+K=0（1）或者(-2M+K)A=0（2）上述两式分别称为频率和特征方程。由式（1）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统的频率。但一般更多是从式（2）出发。,精选,79,4.1多自由度无阻尼自由振动,式（2）可改写为2MA=KA（3）数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对称矩阵特征值问题，需作如下改造：设M=(M1/2)TM1/2（4）M1/2A=X则A=(M1/2)-1X（5）代回式（3）得2(M1/2)TX=K(M1/2)-1X（6）方程两边再左乘(M1/2)T-1，则2X=(M1/2)-1TK(M1/2)-1X（7）记(M1/2)-1TK(M1/2)-1=D（8）由于K是对称矩阵，从式（8）可见D是对称矩阵。将式（8）代入式（7）可得2X=DX（9）,精选,80,4.1多自由度无阻尼自由振动,式2X=DX（9）就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代数所介绍的特征值问题解法就可求得D矩阵的特征对2，X，再由式（5）可求得广义特征问题的振型矩阵A。由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特征方程（3）可求得n个特征对，也即有n个频率i以及和i对应的振型Ai。按i从小到大排列可得结构的频谱，1和A1分别称为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。有了任意n自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。,精选,81,4.1多自由度无阻尼自由振动,对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以用刚度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频率、振型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、质量的关系。这些公式能记住更好，但我认为不记也没关系，关键是记住如下一些基本概念。1）在无阻尼自由振动下-M=Ku，也即惯性力和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅为A，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方程得到。2）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立A=2fMA（10）3）拿上具体问题后，关键是正确确定M、K或f，有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（3）或式（10）。,精选,82,4.1多自由度无阻尼自由振动,4）两自由度问题n=2。展开特征方程将得到双二次频率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率方程即可得频率1和2。5）将频率1和2代回特征方程只能得到和某频率对应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以进行“规格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n个自由度有2n个初始条件）来确定。综上可见，有了M、K或f，剩余工作主要是数学运算了。但要达到熟练掌握，必须到SMCAI里多看一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例了。,精选,83,4.2振型的正交性,因为i2MAi=KAi、j2MAj=KAj前一式左乘AjT、后一式左乘AiT，再将两式相减，由于质量、刚度的对称性，可得(i2-j2)AjTMAi=0(11)由此可得AjTMAi=0(12)上式乘j2，考虑到j2MAj物理意义是第j振型对应的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性力在第i振型位移上不做功。从式（12）和特征方程立即可证AjTKAi=0(13)它表明第j振型对应的弹性恢复力在第i振型位移上不做功。,精选,84,4.2振型的正交性,式(12)和式(13)从数学上说，是不同振型对质量、刚度加权正交。也即振型具有正交性。从第i振型幅值方程，立即可得i2AiTMAi=AiTKAi(14)记Mi*=AiTMAi(15)称作第i振型广义质量，记Ki*=AiTKAi(16)称作第i振型广义刚度。则i2=Ki*/Mi*(17)也即第i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量来求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交关系。,精选,85,4.2振型的正交性,因为i2MAi=KAi(a)两边同时左乘AjTKM-1，则i2AjTKM-1MAi=i2AjTKAi=i2AjTKM-1KAi=0(b)式(a)两边同时左乘AjTKM-1KM-1，则可证i2AjTKM-1KAi=i2AjTK(M-1K)2Ai=0(c)按此思路继续左乘,即可证明AjTK(M-1K)nAi=0(18)类似地，请自行证明AjTM(K-1M)nAi=0(19)式(18)和式(19)中n是正整数。它们还可合并为一个式子，请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。,精选,86,4.2振型的正交性,式(12)和(13)或式(18)和(19)正交性在多自由度分析中有极重要的作用，应该深刻理解。利用正交性可作如下工作：1）在正确确定K、M前提下，可用它校核振型计算的正确性。2）已知振型、K、M的条件下，可用它求振型对应的频率。3）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如有位移y，可设y=ciAi，ci为组合系数。等式两边同时左乘AjTM，根据正交性则有AjTMy=cjMj*(d)由此可求出组合系数cj，代回y=ciAi即可得按振型分解的结果。,精选,87,4.2振型的正交性,4）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实际上，只要设u(t)=yi(t)Ai，代入运动方程可得Mi(t)Ai+Kyi(t)Ai=0(e)方程两边同时左乘AjT，根据正交性则有Mj*j(t)+Kj*yi(t)=0(20)从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由度所假设的解，即可得u(t)=aisin(it+ci)Ai(21)5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何确定请自行考虑。6）正交性还是受迫振动分析的基础。,精选,88,4.3多自由度的受迫振动,4.3.1多自由度受迫振动的振型分解法多自由度任意荷载下运动方程为,象上节4）一样，设u=yi(t)Ai，也即位移分解成各振型的组合，组合系数yi(t)称广义坐标。则Mi(t)Ai+Ci(t)Ai+Kyi(t)Ai=P(t)(a)如果阻尼矩阵对振型不正交，也即AjTCAi0(b)则式(a)将是联列的微分方程组，求解将是很困难的。为此，通常引入正交阻尼假设，也称Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下C=0M+1K(22)也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比，0比1可用振型正交性由阻尼比i，j和频率i，j确定(作业)。,精选,89,4.3多自由度的受迫振动,在正交阻尼假设下，AiTCAi=Ci*(23)式(a)两边同时左乘AiT，则可得Mi*i(t)+Ci*i(t)+Ki*yi(t)=AiTP(t)(24)其中Mi*、Ci*、Ki*分别称为第i振型广义质量、广义阻尼、广义刚度。再记第i振型广义荷载为AiTP(t)=Pi*(t)(25)则式(24)是广义坐标yi(t)的单自由度方程Mi*i(t)+Ci*i(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel积分可求出式(26)的解答为,代回u=yi(t)Ai，即可得多自由度受迫振动解答。,精选,90,4.3多自由度的受迫振动,如果P(t)=Pf(t)(27)则Pi*(t)=AiTPf(t)=Pi*f(t)(c)记i=AiTP/Mi*=Pi*/Mi*(28)称为第i振型的振型参与系数。则可得Mi*i(t)+Ci*i(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或i(t)+2iii(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始条件下，广义坐标为,代回u=yi(t)Ai，即可得u=ii(t)Ai。i(t)称为第i振型的广义位移。,(31),(32),精选,91,4.3多自由度的受迫振动,4.3.2简谐荷载下的受迫振动反应设动荷载（转动机器引起）为P(t)=Psint(33)则由式(28)可求得各振型的振型参与系数i，当只讨论稳态振动，并且认为i=i,d(忽略阻尼对频率的影响)时，根据单自由度所得结果，广义位移为i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i为第i振型动力系数i=(1-i2)2+4i2i2-1/2(35)其中i为第i振型频率比(i=/i)，i为第i振型相位角tgi=2i/i(1-i2)(36)将式(34)代回u=ii(t)Ai，得u(t)=iisin(it-i)/i2Ai(37)无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上述结果中令i=0得到。,精选,92,4.3多自由度的受迫振动,4.3.3简谐荷载受迫振动反应分析步骤当动荷载为Psint或Pcost时，多自由度系统稳态反应分析，可按如下步骤进行1）确定系统质量M、刚度K（或柔度f）矩阵。2）求无阻尼自由振动的振型Ai、频率i。3）用阻尼比1,2和频率1,2求瑞利阻尼的0和1。4）求i振型振型参与系数i=AiTP/AiTMAi。5）求i振型阻尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型动力系数i=(1-i2)2+4i2i2-1/2。7）求i振型相位角i=arctg2i/i(1-i2)。8）求i振型广义位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）将各振型广义位移代回u=ii(t)Ai，则得最终结果u(t)=iisin(it-i)/i2Ai(37),精选,93,4.4杆系结构有限元动力分析,4.4.1基本原理对动力问题，设单元位移场仍表示成d=Nde，只是现在d=d(x,t)，de=d(t)。设杆单元的密度为，将微段惯性力-aAdx作为体积力，则这一单元荷载的总虚功为,(38),引入单元一致质量矩阵me,(39),精选,94,4.4杆系结构有限元动力分析,由式(39)代入形函数并积分，对质量均匀分布的平面弯曲单元，其单元一致质量矩阵