第4章 连续系统模拟PPT课件

精选,1,管理系统模拟,华中科技大学肖人彬等电子工业出版社，2008,高等学校信息管理示范教材,精选,2,第4章连续系统模拟,4.1引言4.2连续系统数学模型的求解4.3系统动力学方法4.4系统动力学模拟工具VensimPle4.5系统动力学模拟的实例,精选,3,4.1引言,本章重点讨论系统动力学建模和模拟方法。如果将连续型系统作为研究对象，那么系统状态按照一定规律随时间连续地变化，往往可用一些数学方程来描述，这些方程就是系统的数学模型，通常以微分方程、代数方程为多见。模拟推算过程需要将连续系统模型转变为能在数字计算机上运行的离散模型。这种算法可分为两大类：一类是数值积分法，如欧拉法、龙格库塔法、阿达姆斯法等；另一类是离散相似法，如离散状态法、屠斯丁法等。,精选,4,4.1引言,连续系统模拟的基本步骤：(1)首先将连续系统的动态特性用微分方程、状态方程或传递函数等形式来描述；(2)然后将将数学模型转换成能被数字计算机接受的离散化模型；(3)最后是模型的计算机实现。,精选,5,4.1引言,连续系统模拟的实现工具：(1)Matlab(2)Vensim(3)Powersim(4)Anylogic(5)Ithink(6)Stella,精选,6,4.2连续系统数学模型的求解,连续系统数学模型求解思想连续模型由整个时间内系统状态的变化关系组成。如果用x表示系统的状态，则目标就是找到这样的一个函数f：(4.1)式中，t为时间，为模型的参数，x0为系统的初始条件。此关系称为“状态方程”。在大多数情况下，对于直接为系统建立状态方程而言，人们洞察系统元素间复杂的交互作用的能力是不够的，但建立x对时间的变化率的这种关系是可能的。,精选,7,4.2连续系统数学模型的求解,连续系统数学模型求解举例例：钢锭在均热炉中达到2000oF的温度，取出冷却至70oF。在此情况下，状态变量为钢锭的温度，以T表示。解：根据牛顿热力学定律，物体冷却的速度与外界媒介和物体本身的温度差成正比，因此，钢锭温度的变化率与温度(T70)成正比。由于钢锭的温度是下降的，记比例常数为K，可列出微分方程为解出微分方程为式中，常数K称为冷却系数，为钢锭的物理常数。,精选,8,4.2连续系统数学模型的求解,一般来说，连续模型由辅助方程和微分方程构成，通常连续模型至少包含一个微分方程，所以，为了确定整个时间内系统的状态，还必须解微分方程。但是，除了特殊的某几类问题（如前面给出的例子）之外，微分方程很难精确地求解。在这样的情况下，可以用数值积分法对离散t积分得到x(t)近似数值解。,精选,9,4.2连续系统数学模型的求解,一、数值积分法1.基本概念(1)单步积分法与多步积分法(2)显式公式与隐式公式(3)截断误差(4)舍入误差(5)数值解的稳定性,精选,10,4.2连续系统数学模型的求解,2.欧拉法有一阶常微分方程，且满足初始解在区间上对微分方程进行积分，则有上式中积分的几何意义就是图4.1中曲线在区间上所围成的面积。,精选,11,4.2连续系统数学模型的求解,如果积分区域间隔足够小，也即步长足够小，则积分的值就可以利用矩形的面积来近似（如图4.1中阴影部分所示），于是得到(4.2)上式即为欧拉公式。用欧拉公式进行数值求解的方法称为欧拉法，也称为矩形法。在用欧拉公式计算tn+1时刻的近似值yn+1时，只用到了前一步的结果yn。这样，当给定了t0时刻的值y0时就可以求出各个时刻t0，t1，t2，处的近似值y0，y1，y2，。故欧拉公式属于单步积分法。,精选,12,4.2连续系统数学模型的求解,在图4.1中，通过点(t0,y0)作积分曲线的切线，其斜率为f(t0,y0)，此切线与过t1平行于y轴直线的交点即为y1。再过(t1,y1)点作积分曲线的切线，它与过t2平行于y轴的直线的交点为y2。这样过(t0,y0)，(t1,y1)，(t2,y2)，(tn,yn)得到一条折线，称为欧拉折线。欧拉法精度较低。故欧拉法一般用于仿真精度要求不高的地方，而且在现实工作中也很少使用，下面要讲的预估校正法是对欧拉法进行改进所得到的一种算法。,精选,13,4.2连续系统数学模型的求解,3.预估校正法欧拉法是用矩形的面积来近似积分的值，下面用梯形的面积来近似积分的值，如图4.2所示。即可得到改进后的计算公式,精选,14,4.2连续系统数学模型的求解,在操作上，常用欧拉法启动求出一个初值，算出y(tn+1)的近似值yn+1，然后将其代入原微分方程，计算f(tn+1,yn+1)的近似值，最后再利用梯形公式求出修正后的y(tn+1)。为了提高计算精度，可用梯形公式反复迭代。如下所示,精选,15,4.2连续系统数学模型的求解,每迭代一次，判断yn+1相邻两次近似值之差的是不是小于给定的误差，若不等式成立，停止迭代过程，将作为yn+1的近似值，即作为所求得的解；否则，继续迭代过程，直到得到满足不等式的值。一般为了简化计算，只迭代一次。这样，就有了预估校正法，有了如下改进的欧拉公式上式中第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。欧拉法每计算一步只要调用函数f(t,y(t)一次，改进的欧拉法由于增加了校正过程，使计算量增加了一倍，但是精度也大大的增加了。,精选,16,4.2连续系统数学模型的求解,4.龙格库塔法对于一阶微分方程，且满足初始解在一个步长h的区间tn,tn+1上，根据中值定理，有：于是记，称之为区间tn,tn+1上的平均斜率。,精选,17,4.2连续系统数学模型的求解,如果设法在区间上多预报几个点的斜率值Ki，然后将它们的加权平均值作为平均斜率的近似值，代入上式，再用待定系数法就可以构造出精度更高的计算公式。这就是龙格库塔法的基本思想，是由德国数学家C.Runge和M.W.Kutta先后提出的。下面以二阶龙格库塔公式的计算为例来进行说明。假设y(t1)y1，且步长ht1t0，则对此式在t0处用泰勒级数展开，只保留到h2项，则可得(4.6),精选,18,4.2连续系统数学模型的求解,在区间tn,tn+1上取两个点tn，tn+p，其斜率值分别为K1，K2，将它们的加权平均值作为平均斜率的近似值。首先假设(4.7)式中，对K2右端函数在t0处用泰勒级数展开，只保留到h项，则可得将K1，K2代入(4.7)式，即(4.8),精选,19,4.2连续系统数学模型的求解,将(4.6)式和(4.8)式进行比较，由待定系数法可知对于这三方程，由四个未知数，因此由无穷多组解，若限定a1a2，则可得出一组解将这一组值代入(4.7)式，则式中，,精选,20,4.2连续系统数学模型的求解,将其写成一般递推式，即式中，这里，由于在(4.6)式中进行泰勒级数得展开时，只保留到h2项，它的截断误差是O(h3)，故此公式就称为二阶龙格库塔公式，其实也就是梯形公式。容易看出，梯形公式是取区间tn,tn+1上tn和tn+1的两点斜率的算术平均值作为区间的平均斜率的近似值。若对(4.6)式中进行泰勒级数展开时，只保留到h项，即截断误差为O(h2)时，就可以得到一阶的龙格库塔公式，也就是欧拉公式。可以看出，欧拉公式是只取了一点tn的斜率作为区间的平均斜率的近似值。,精选,21,4.2连续系统数学模型的求解,同样，若在(4.6)式中进行泰勒级数得展开时，保留到h4项，截断误差为O(h5)时，就可以得到四阶的龙格库塔公式四阶龙格库塔公式取了4个点，只是第2点和第3点重合在一点tn+k/2上。四阶龙格库塔公式已具有较高的精度，可满足大部分实际问题计算的要求。但是每推进一步，都要计算4个点的k值，即对一阶微分方程对应的函数f(t,y)要进行4次计算，增加了计算次数。,精选,22,4.2连续系统数学模型的求解,根据上述的基本思想及计算原理，可推出更高阶的龙格库塔公式。龙格库塔法的一般形式为式中，这里，公式中的ci和rij均为加权系数。各种龙格库塔公式在计算yn+1时只用到前一点yn的值，而不直接用到前几点的值，所以龙格库塔法是单步法，只要给定了初始值，就可依次计算下去。,精选,23,4.2连续系统数学模型的求解,二、用Excel进行模拟求解以市场扩散为例经过调查，19841994年的Microsoft和Intel市场分额百分比（整个市场有Microsoft、Intel、IBM和Digital）如表4.1所示。表4.119841994年的Microsoft和Intel市场分额百分比,精选,24,4.2连续系统数学模型的求解,假定在单位时间内(1)单位市场分额百分比单位时间内带来的新的市场分额百分比与潜在市场分额百分比呈现线性关系。(2)潜在市场的转化率与当前潜在市场的市场分额百分比呈线性关系。模型建立Microsoft和Intel实际市场分额百分比增加的速率可以用如下方程表示：式中，n(t)表示t时刻Microsoft和Intel市场分额百分比，M表示整体市场分额百分比，Mn(t)为Microsoft和Intel潜在市场分额百分比。c为整体市场分额百分比为M时，单位市场分额百分比所带来的新的市场分额百分比。,精选,25,4.2连续系统数学模型的求解,用Excel实现模拟求解先假定已知整体市场分额百分比M，转换常数c以及t0时，Microsoft和Intel初始市场分额百分比n0，即对M，c，n0给定一个初始值，初始值的来源可根据历史数据分析得来。将模型的参数(c,M,n0)设置一个初始的值。它们的初始取值暂时只需要不偏离实际意义太远即可。这里暂时取M的值为1994年的市场份额49.5，n0的值为1984年的市场份额0.42，c按照1985年和1986年是市场份额的变化除以1985年的市场份额，即(42.5)/2.50.6。,精选,26,4.2连续系统数学模型的求解,图4.3中的电子表区域D1：D3分别表示参数(c,M,n0)，即转换常数、市场总容量和初始网民量。取1984年为时间原点，一年为一个时间单位，如图4.3中电子表区域B5：B15。然后将这组初始值代入到模型中，在Excel中进行模型模拟求解。具体求解过程见电子表格如图4.3所示。图4.3用Excel优化解析模型相关参数的电子表格,精选,27,4.2连续系统数学模型的求解,图4.3中，电子表区域A5：A15为实际的调查数据，电子表区域D5：D15为通过市场成长的Logistic曲线公式计算得到的。具体的Excel公式见图4.4。图4.4电子表格区域的计算公式,精选,28,4.2连续系统数学模型的求解,点击Excel的工具菜单中的“规划求解（V）.”项目，打开规划求解参数对话框，其具体设置如图4.5所示。图4.5模拟计算时规划求解参数对话框,精选,29,4.2连续系统数学模型的求解,图4.5中规划求解的选项按照上一次规划求解的选项要求即可。求解得到的最优参数值分别为：转换常数0.32，市场总容量1447.09，初始网民数量105.19，如图4.6所示。最优参数值情况下，平均误差平方为5.84，较优化前的42.24优化了许多。,图4.6模拟计算时最优参数值与模拟情况,精选,30,4.3系统动力学方法,一、概述1.系统动力学的背景与发展系统动力学(SystemDynamics，SD)是由美国麻省理工学院斯隆管理学院福瑞斯特教授研究和创立的。系统动力学的发展过程(1)稳态动力学：19561961(2)增长的动力学和一般系统理论：19621966(3)理论与应用的桥梁：19671975(4)渐趋成熟：20世纪70年代中期至今(5)发展现状,精选,31,4.3系统动力学方法,2.系统动力学的几个基本观点(1)结构决定功能观念(2)内生观点(3)主导结构和敏感因子观念(4)开放系统观念,精选,32,4.3系统动力学方法,3.系统动力学的特点系统动力学是一门分析研究信息反馈系统的学科，是一门认识与解决系统问题、沟通自然科学与社会科学的边缘学科，是系统科学的一个分支。系统动力学方法具有下列特点：(1)系统动力学的模型模拟是一种“结构功能”模拟。(2)适用于对数据不足的问题进行研究。(3)可作为实际系统，尤其是复杂社会、经济、生态系统等开放动态复杂系统的“实验室”，进行问题剖析和虚拟实验，从而探求系统的较优结构与参数，以获取较优的系统功能。(4)SD的模型适合于中长期决策。,精选,33,4.3系统动力学方法,二、系统动力学的基本概念1.复杂系统复杂系统是具有高阶数、多回路和非线性信息反馈结构的系统。不论在自然界还是在社会经济范畴里，复杂系统比比皆是。一切社会经济系统，是复杂系统；一个企业的管理结构具有复杂系统的全部特性；人口系统、城市与农村系统、能源系统、交通系统、贸易系统、金融系统和政府组织系统也都是复杂系统。,精选,34,4.3系统动力学方法,复杂系统的主要特性：(1)反直觉性(2)对大多数变动参数的不敏感性(3)长短期效果的矛盾性(4)存在杠杆作用点(5)对改变政策的顽强抵制性(6)全局与局部利益的矛盾(7)向低效益发展的倾向,精选,35,4.3系统动力学方法,2.反馈与反馈回路(1)反馈反馈的概念系统内同一单元或同一子块其输出与输入间的关系就称为反馈。正反馈通过自身运动，会使已有趋势不断加强，结果一般趋于发散，也即正反馈能够产生自我强化的作用机制；负反馈通过自身运动，自动寻求给定的目标，结果趋于收敛，即负反馈能够产生自我抑制的作用机制。,精选,36,4.3系统动力学方法,开环系统和反馈系统如果系统的输出对输入没有影响，则该系统称为开环系统；如果系统的输出影响着系统的输入，这样的系统就称为反馈系统（又称闭环系统）正反馈系统和负反馈系统从系统的行为来看，正反馈系统会产生增长过程，在此过程中行动所产生的结果将引起更大的行动；而负反馈系统会自动寻找目标，在达不到该目标时会产生偏差响应。一个系统是开环系统还是反馈系统在于对系统边界的划定，而后者又取决于定义系统目标时观察者的着眼点。,精选,37,4.3系统动力学方法,(2)反馈回路在反馈系统中一定有闭环回路结构，它把过去行动的结果带回给系统，以控制系统未来的行动，此回路也就是反馈回路。反馈回路是系统动力学模型的基本单元，系统结构的研究正是基于反馈的因果关系。反馈回路是由一系列的因果与相互作用链组成的闭合回路。它由流位（系统状态），流率，物质流和信息流组成。,精选,38,4.3系统动力学方法,正反馈回路和负反馈回路具有正反馈特性的回路称为正反馈回路；具有负反馈特性的回路称为负反馈回路。正反馈回路倾向于使系统指数式地离开某些非稳定平衡点，使系统产生增长行为；而负反馈回路恰与之相反。它具有寻的特性，力图调节系统使之趋于一特定目标。复杂系统包含有多条反馈回路，其中有正反馈回路，也有负反馈回路。这些回路相互作用、相互耦合形成了系统的总体功能，而正负反馈回路的交叉作用也决定了系统的复杂行为。,精选,39,4.3系统动力学方法,3.状态与状态空间(1)状态状态是完整地描述系统的时域行为的一组变量。若给定了t=t0时刻该组变量的值和tt0时输入函数，则系统在tt0的任何瞬时的行为就完全确定。这样一组变量称之为状态变量，以状态变量为元组成的向量称为状态向量。设是系统的一组状态变量，则其相应的状态向量为：,精选,40,4.3系统动力学方法,3.状态与状态空间(2)状态空间以为坐标轴所构成的欧氏空间称为状态空间。当坐标轴数为有限时，此状态空间为有限维。状态空间的每个点都代表了状态变量的唯一和特定的一组值，即系统的特定状态，而tt0各瞬间系统的状态则构成状态空间中的一条轨迹。此轨迹的形状完全由t0时刻的初始状态与tt0时的输入，以及系统固有的动力学特征所唯一确定。,精选,41,4.3系统动力学方法,(3)系统状态空间一般而言，系统包含状态变量，控制变量，及输出变量，系统的动力学特征可用n个一阶微分方程来描述，即：而其输出特性可表达为：,精选,42,4.3系统动力学方法,4.延迟延迟是一种接受给定的输入变化和提供在瞬间上可能不同的输出的转换过程或作用，也即决策的实施需要时间。当输入速率大于输出速率时使延迟增加，反之则延迟减小。转换过程可用延迟函数描述，而能实现上述转换过程的环节则称为延迟环节。延迟包括物质延迟和信息延迟。延迟的基本特征包括：由平均延迟时间和瞬态响应模式决定。瞬态响应模式描述了输出速率随时间的变化特征。一阶和二阶为指数形式，三阶及三阶以上为S形。在传递过程中储留在延迟环节中的数量等于速率和平均延迟的乘积。,精选,43,4.3系统动力学方法,5.流图和方程以一个简单的产销规模与工人规模模拟模型为例说明系统流图和方程图4.8产销规模与工人规模模拟模型流图图4.8中，Inventory为库存量，Workforce为工人数量，production为生产量，sales为销售量，productivity为生产率，targetproduction为生产目标，nethirerate为净解雇率，targetworkforce为工人数量目标，timetoadjustworkforce为调整工人数量时间。,精选,44,4.3系统动力学方法,(1)系统流图系统流图就是系统动力学用来沟通系统因果关系图和系统数学模型之间的联系。基本构成元素流位(level)：是系统内部流的积累，是系统的状态变量。流率(rate)：它表示单位时间内在流位之间流过的流，即流位的变化率。辅助变量(auxiliary)：是设置在流位(level)变量和流率(rate)变量之间的信息通道中的变量。源和漏：流从我们所研究的系统的外部流入系统，并由系统再流向外部世界，按时间先后把外部世界表示为源和漏。,精选,45,4.3系统动力学方法,(2)系统方程系统动力学的数学模型由流位方程、流率方程、辅助方程、常量方程等方程式组成。流位方程流位方程称为L方程、流量方程或水平方程。在Vensim中，流位方程是用函数INTEG描述。本模型中，流量Inventory对应的流位方程为InventoryINTEG(productionsales,300)式中，Production是流进速率，sales是流出速率，productionsales表示积累速率，300是初始值。流量Workforce对应的流位方程为WorkforceINTEG(nethirerate,targetworkforce)式中，nethirerate是积累速率，targetworkforce是初始值。,精选,46,4.3系统动力学方法,流率方程流率方程称为R方程或率量方程。流率方程具有政策性控制作用，它描述系统如何产生决策流或控制流，R方程涉及到目标、已观察到的状态、偏差和控制4个概念。如本模型中，率量nethirerate、production、sales对应的流率方程如下nethirerate(targetworkforceWorkforce)/timetoadjustworkforceproductionWorkforce*productivitysales100STEP(50,20)辅助方程辅助方程称为A方程。当流率方程非常复杂时，可引入辅助方程来描述流率方程的细节，将流率方程简化为较简单的几个辅助方程。如本模型中，targetworkforce之值由下列方程确定targetworkforcetargetproduction/productivity常量方程常量方程称为C方程，用于定义模型中的参数值。如本模型中，调整工人数量的时间（timetoadjustworkforce）为3个时间单位，常量方程为timetoadjustworkforce3,精选,47,4.3系统动力学方法,三、系统动力学建模建模是一个去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里的过程。系统动力学建模步骤：1.问题识别，2.确定边界，3.建立因果关系图，4.建立系统流图，5.建立方程，6.模型实验，7.模型检验和优化。,精选,48,4.3系统动力学方法,1.问题识别这里所说的问题是指现实情况与我们的目的和期望的差距。识别的问题：现实的情况是怎么样的？我们的期望和目的是怎样的？它们之间存在怎样的差距？对系统建模是为了解决系统存在的问题而建模，并不是为了系统而建模。建模之前，必须对所研究的问题正确地进行定量或定性的描述，明确规定系统模型的目的。,精选,49,4.3系统动力学方法,2.确定边界确定边界是找出问题的范围，即确定问题的边界，也即明确哪些因素是要考虑的，那些因素是根本不需要考虑或是没能力考虑或是可以忽略的。两个重要的观点：任何系统都与外界有联系，是开放的系统；问题是系统内部作用的产物，即系统行为主要是系统结构的产物。问题边界的确定过程。,精选,50,4.3系统动力学方法,3.建立因果关系图(1)步骤首先，对边界内的要素进行因果关系分析，即找出相互联系，相互影响的要素以及它们之间的联系，并将这种联系以带符号的箭头联结成链，即为因果链。如果A变化使B产生同方向的变化，则称A到B的因果链为正；用如下符号表示：反之，如果A变化使B产生反方向的变化，则称A到B的因果链为负。用如下符号表示：然后对具有因果关系的要素，进一步分析它们之间的反馈关系，即顺着因果链寻找反馈因果关系结构，直到它们相连成环为止，形成系统的反馈环路。,精选,51,4.3系统动力学方法,(2)判断因果链的正负反馈性准则反馈环上如果有偶数个负因果链，则为正反馈环；反馈环上如果有奇数个负因果链，则为负反馈环。即反馈环的极性实际上是环中负因果链的代数积。一般，正反馈会导致偏差加大，增强系统不稳定性；而负反馈则起着控制和稳定系统的作用。(3)应注意的问题因果环图中的变量应设想成能增减，升降的量；这些量要采用名词或名词短语，不用动词；变量之间的影响用带箭头的因果链表示。不用因果链去代表：“然后”的语气。标出因果环图中变量的单位，有助于反映变量的意义，有助于突出因果关系图种的文字叙述的涵义。如果环上的某一链需要解释，则将其分为一系列的链。环具有方向性。,精选,52,4.3系统动力学方法,4.建立系统流图建立系统流图的原因因果关系图表达了系统发生变化的原因（即反馈结构），是一种定性的描述。这种定性的描述没有明确表示不同变量的性质的区别以及它们之间的关系。为了能清晰的反映反馈系统的动态性能的积累效应，需要对因果关系图需要进一步的进行量化，也就是建立系统流图。系统流图是系统模型更完整的定量描述。建立系统流图过程确定流位变量。根据流位变量找流率变量添加辅助变量,精选,53,4.3系统动力学方法,5.建立方程模型的流图只是直观地表示了各个变量之间的关系的显示，而要在计算机上进行模拟必须写出流图的方程。这里着重要说的是参数的选取。参数可以通过统计，预估和分析得来，要注意的是，参数应该对应实际的量，不应仅仅为统一量纲而制造出没有意义的参数。最重要的一点，对于方程的合理性判断，量纲一致性检查是重要手段。6.模型实验进行参数估计运行模型，进行实验,精选,54,4.3系统动力学方法,7.模型检验和优化为了反映模型的有效性，必须对模型实验结果进行检验，以此来验证建立的模型所获得的信息与行为是否反映了所研究系统的特征和变化规律。分析是否正确的认识和理解了所要解决的问题。模型检验方法(1)直观检验(2)运行检验(3)历史检验(4)灵敏性分析模型检验注意问题所建立的模型所反映的信息与行为能反映出系统的基本行为趋势，与历史记录相近或是达到了研究目的。模型检验是建模者在最开始建模的时候就应该时刻关注所建立的模型所获得的信息和行为与系统的行为一致。,精选,55,4.3系统动力学方法,四、基模分析1.概念基模就是系统动力学中的基本的因果关系图。在系统结构中，由反馈环构成的有典型意义的连通子结构称为此系统的反馈基模（简称基模）。在建立因果关系图时，利用基模，能更快的分析系统要素之间的关系以及系统的特点，能更快的画出系统的因果关系图，也能帮我们更快的找到解决问题的策略。,精选,56,4.3系统动力学方法,基模种类1.滞延的调节环路基模结构图4.11滞延的调节环路基模结构,精选,57,4.3系统动力学方法,2.成长上限基模结构图4.13成长上限基模结构,精选,58,4.3系统动力学方法,3.舍本逐末基模结构图4.15舍本逐末基模结构,精选,59,4.3系统动力学方法,4.目标侵蚀基模结构图4.17目标侵蚀基模结构,精选,60,4.3系统动力学方法,5.恶性竞争基模结构图4.19恶性竞争基模结构,精选,61,4.3系统动力学方法,6.富者愈富基模结构图4.21富者愈富基模结构,精选,62,4.3系统动力学方法,7.共同悲剧基模结构图4.23共同悲剧基模结构,精选,63,4.3系统动力学方法,8.饮鸩止渴基模结构图4.25饮鸩止渴基模结构,精选,64,4.3系统动力学方法,9.成长与投资不足基模结构图4.27成长与投资不足基模结构,精选,65,4.4系统动力学模拟工具VensimPle,具体操作步骤详见管理系统模拟教材。,精选,66,4.5系统动力学模拟的实例,一、总体市场的系统动力学本节讨论利用系统动力学对新产品的市场传播动力学进行建模。模型着重强调了只能被顾客购买一次的新商品的市场扩散。口碑模型模型对顾客购买产品的过程采用传播的基本观点潜在的顾客购买意愿的产生取决于已购买了产品的顾客，即潜在顾客对新产品的关注程度取决于新产品的实际购买顾客数和潜在的顾客数。,精选,67,4.5系统动力学模拟的实例,1.无限的潜在顾客已经购买了新产品的顾客称为实际顾客，有可能购买新产品的的消费者称为潜在顾客。首先，考虑新产品的潜在顾客数比实际顾客大得多的情形，也即当实际顾客数增长的时候，潜在顾客的人数可以看作不变。对模型有如下假定：在比较短的时间内，每个实际顾客单位时间内带来的新的实际顾客为c（转换常数），它反映了实际顾客转变潜在顾客为实际顾客的能力。,精选,68,4.5系统动力学模拟的实例,用Vensim对模型进行建模，研究10年后实际顾客的数量，这里步长取0.125。模型的输出不仅反映了实际顾客数目增长的形式，也反映出潜在顾客向实际顾客的转变形式，它们都类似于指数增长。其反馈流图如图4.54所示。图4.54无限潜在顾客的市场扩散模型的反馈流图,精选,69,4.5系统动力学模拟的实例,模型模拟的实际顾客增长曲线如图4.55所示。图4.55实际顾客增长曲线图,精选,70,4.5系统动力学模拟的实例,2.有限的潜在顾客在现实的市场中，无限潜在顾客的增长模型不会永远有效，产品所有的潜在顾客最终都会转变为实际顾客，那么关于潜在顾客不变的假定就存在问题。对模型做如下假定：新产品的总体市场容量为M,t时刻实际顾客的人数为n(t)，那么t时刻潜在顾客的人数为Mn(t)。c表示市场容量为M时，每个实际顾客单位时间内带来的新顾客数。当潜在顾客转变为实际顾客，潜在顾客数减少时，每个实际顾客单位时间内带来的实际顾客数与当前潜在顾客数呈线性关系，潜在顾客的转换速率与当前潜在顾客数呈线性关系。,精选,71,4.5系统动力学模拟的实例,模型模拟的实际顾客增长曲线如图4.57所示。图4.57实际顾客增长曲线图,精选,72,4.5系统动力学模拟的实例,可以看出，实际顾客的增长呈现出S形，符合逻辑增长曲线的情形。推导得到实际顾客人数(4.16)对于(4.16)式，当t无穷小以及（或是）M无穷大的时候，分母的前一部分远远小于1，因此，分母可以看作接近于1；在分子中，M/(Mn0)的值接近1。由该方程可知，在实际情况中，当实际顾客的人数大大小于潜在顾客人数的时候，实际顾客的增长曲线类似于指数增长，当然，这种情况不可能持续存在，随着潜在顾客不断转变为实际顾客，实际顾客的人数就开始接近甚至是大于潜在顾客的人数，此时，实际顾客的增长曲线就并非指数增长曲线。,精选,73,4.5系统动力学模拟的实例,3.确定模型参数要运行逻辑模型，首先，确定模型的3个参数：M，c，n0。用标准的经验数据来分析逻辑模型很简单直接，但是，模型多是用来预测一个新产品未来的销售数据，在这些情形下，模型参数就不是完整的时间序列数据。在没有完整的销售资料数据的情况下，要建立新产品市场扩散模型，对于模型的3个参数都有一些说明：参数M表示产品的总体市场容量；参数c是实际顾客人数相对于潜在顾客人数较少时，每个实际顾客单位时间内所带来的新的顾客人数；参数n0是初始的实际顾客人数。因此，早期的销售数据可以直接用来估计c和n0。,精选,74,4.5系统动力学模拟的实例,以表4.1为例，表中数据是Microsoft和Intel从1984年至1994你的市场分额百分比，这里用Excel获取相关参数。其基本思路是：采用平均误差平方和(MSE,MeanSquareError)表示按照给定的参数计算的Logistic曲线与调查数据的差异程度，利用规划求解来拟合曲线获得参数值。规划求解的基本过程是将推算出来这组数据与实际数据进行比较，求出平均误差平方和，最后利用Excel中的规划求解功能中的非线性规划求解功能，求出平均误差平方和最小时整体市场分额百分比M，转换常数c以及t0时，Microsoft和Intel市场分额百分比n0，即得到模型的参数。具体求解过程见图4.58图4.60所示。,精选,75,4.5系统动力学模拟的实例,图4.58调查情况与理论计算的平均误差平方和情况,图4.59理论计算与平均误差平方和公式,精选,76,4.5系统动力学模拟的实例,图4.60非线性规划寻优结果,精选,77,4.5系统动力学模拟的实例,有了参数，就可以用Vensim进行建模来对未来的产品市场扩散的情形进行预测。图4.61是Excel中模拟出的数据拟合曲线图。图4.61数据拟合曲线图,精选,78,4.5系统动力学模拟的实例,二、竞争性市场的系统动力学分析竞争性市场考虑的是不同的竞争者努力把同一种新产品销售给同一群潜在顾客的情形。假设假设潜在顾客仅购买这种新产品一次。即如果一位潜在顾客从一位竞争者那购买了产品，就永远不会从其他厂商那购买产品。对于每一位竞争者来说，潜在顾客向实际顾客转变速率与该竞争者实际顾客的人数成正比。两种情况,精选,79,4.5系统动力学模拟的实例,1.无限的潜在顾客首先，考虑潜在顾客人数无限的大于实际顾客人数的情形。假设在比较短t的时间内，第i位竞争者的每位实际顾客会为第i位竞争者带来cit新的顾客（即转变cit位潜在顾客为实际顾客），这里，ci反映了第i位竞争者的每位实际顾客单位时间内带来的实际顾客人数，也反映了第i位竞争者的实际顾客转变潜在顾客为是实际顾客的效率。假设在t时刻,ni(t)表示第i位竞争者实际顾客的人数。在t时间内，他们会带来citni(t)新的顾客，因此，在时刻tt，第i位竞争者实际顾客的人数为ni(tt)citni(t)ni(t)。即有如下两个方程,精选,80,4.5系统动力学模拟的实例,在0,t对方程积分，即有这里，ni0表示t0时刻第i位竞争者实际顾客的人数。因为上述两方程相互独立，所以，n1(t)，n2(t)相互独立，故因此，在潜在顾客人数无限时，竞争者之间相互独立，可以不受限制的各自发展新的顾客。,精选,81,4.5系统动力学模拟的实例,2.有限的潜在顾客有限的潜在顾客考虑的是市场容量为M的情形首先，对于潜在顾客是如何转变为是实际顾客要做假设：在时间t内，当市场容量为M时，第i位竞争者的每位实际顾客为第i位竞争者转变潜在顾客为cit新的实际顾客，且转变人数与剩余的潜在顾客人数所占总市场容量的百分比Mn1(t)n2(t)/M呈线性关系（因为n1(t)，n2(t)都来自同一市场，故潜在顾客数要除去两位竞争者的实际顾客人数）。,精选,82,4.5系统动力学模拟的实例,在t时间内，第i位竞争者的每位实际顾客为第i位竞争者转变潜在顾客为新的实际顾客人数为Mn1(t)n2(t)/Mcit，因此，第i位竞争者的ni(t)位实际顾客转变的潜在顾客人数为ni(t)*Mn1(t)n2(t)/Mcit。因此有如下方程：,精选,83,4.5系统动力学模拟的实例,在0,t对方程积分，即有：这两个方程是经济学经常研究的Lotka-Volterra竞争公式的特例。这两个方程没有具体的解，但是，在求解之前，把以上方程写成如下形式：即假设第2位竞争者在tt0时刻才开始出售产品。,精选,84,4.5系统动力学模拟的实例,用Vensim进行建模，为了便于分析，取定参数c1c2，n10n20。其反馈流图如图4.