高等数学——不定积分ppt课件.ppt

第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,1,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,机动目录上页下页返回结束,不定积分的概念与性质,2,一、原函数与不定积分的概念,机动目录上页下页返回结束,3,机动目录上页下页返回结束,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表示?,4,定理.,存在原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动目录上页下页返回结束,5,定理.,原函数都在函数族,(C为任意常数)内.,机动目录上页下页返回结束,6,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动目录上页下页返回结束,的积分曲线.,7,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,机动目录上页下页返回结束,8,第二节,不定积分的概念与性质,9,二、基本积分表p170-171,从不定积分定义可知:,或,或,机动目录上页下页返回结束,10,例2.求,例3.求,机动目录上页下页返回结束,11,三、不定积分的性质,机动目录上页下页返回结束,12,例4.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,13,例5.求,解:原式=,例6.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,14,例7.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,15,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法:,利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,机动目录上页下页返回结束,16,思考与练习,1.若,提示:,机动目录上页下页返回结束,17,2.若,是,的原函数,则,提示:,已知,机动目录上页下页返回结束,18,3.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,机动目录上页下页返回结束,19,4.求下列积分:,提示:,机动目录上页下页返回结束,20,5.求不定积分,解：,机动目录上页下页返回结束,21,6.已知,求A,B.,解:等式两边对x求导,得,机动目录上页下页返回结束,22,二、第二类换元法,第三节,一、第一类换元法,机动目录上页下页返回结束,换元积分法,第四章,23,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动目录上页下页返回结束,设,可导,则有,24,一、第一类换元法,机动目录上页下页返回结束,25,例1.求,解:令,则,故,原式=,机动目录上页下页返回结束,26,例2.求,解:,令,则,机动目录上页下页返回结束,27,例3.求,解:,机动目录上页下页返回结束,28,例4.求,解:,机动目录上页下页返回结束,类似,29,例5.求,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,30,31,例6.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,32,例7.求,解:原式=,例8.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,33,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动目录上页下页返回结束,34,例10.求,机动目录上页下页返回结束,35,例11.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,36,例12.求,解:,机动目录上页下页返回结束,37,例13.求,解:,原式=,机动目录上页下页返回结束,38,例14.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,分析:,39,1.求,提示:,法1,法2,法3,作业目录上页下页返回结束,思考与练习,40,二、第二类换元法,机动目录上页下页返回结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,41,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,机动目录上页下页返回结束,则有换元公式,42,例16.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,43,例17.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,44,例18.求,解:,令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,45,令,于是,机动目录上页下页返回结束,46,原式,例19.求,解:令,则,原式,当x0时,类似可得同样结果.,机动目录上页下页返回结束,47,解:原式,机动目录上页下页返回结束,例20.求,48,例21.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,49,例22.求,解:令,得,原式,机动目录上页下页返回结束,50,思考与练习,下列积分应如何换元才使积分简便?,令,令,令,机动目录上页下页返回结束,51,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,机动目录上页下页返回结束,分部积分法,第四章,52,例1.求,解:令,则,原式,思考:如何求,提示:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,53,例2.求,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,54,例3.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,55,例4.求,解:令,则,原式,再令,则,故原式=,机动目录上页下页返回结束,56,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,例5.求,解:令,则,原式=,机动目录上页下页返回结束,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,57,例6.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,令,58,例7.已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,机动目录上页下页返回结束,59,60,思考与练习,下述运算错在哪里?应如何改正?,得0=1,答:不定积分是原函数族,相减不应为0.,求此积分的正确作法是用换元法.,机动目录上页下页返回结束,61,第四节,机动目录上页下页返回结束,有理函数的积分,第四章,62,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,机动目录上页下页返回结束,63,例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,机动目录上页下页返回结束,64,(2)用赋值法,故,机动目录上页下页返回结束,65,(3)混合法,机动目录上页下页返回结束,原式=,66,四种典型部分分式的积分:,机动目录上页下页返回结束,变分子为,再分项积分,67,例2.求,解:已知,例1(3)目录上页下页返回结束,68,例3.求,解:原式,机动目录上页下页返回结束,69,例4.求,解:,机动目录上页下页返回结束,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,70,例5.求,解:原式,机动目录上页下页返回结束,71,二.简单无理函数的积分,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动目录上页下页返回结束,72,例6.求,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,73,例7.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的,最小公倍数6,则有,原式,