解析函数的孤立奇点

第五章教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4、充分理解关于本性奇点的两大定理。教学重点：孤立奇点的三种类型教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。教学过程：1、解析函数的孤立奇点：设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式其中是圆。为f(z)的正则部分，为f(z)的主要部分。例如，0是的孤立奇点。一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：2、可去奇点 如果当时n=-1,-2,-3,，那么我们说是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在有可去奇点。这是因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)。例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。定理5.3函数f(z)在内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，其中是一个复数。证明：（必要性）。由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是由假设，存在着两个正数M及，使得在内，那么取，使得，我们有当n=-1,-2,-3,时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。推论5.3设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。3.席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数在单位圆内解析，并且满足条件则在单位圆内恒有如果上述等式成立或在圆内一点出前一式等号成立则当且仅当4.极点 下面研究极点的特征。如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么我们说是f(z)的极点。设对于正整数m，而当n1，我们也称是f(z)的单极点或m重极点。设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：在这里。于是在内在这里是一个在内解析的函数，并且。反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。定理5.4设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的极点的必要与充分条件是：。证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：我们有。由于在内，由定理5.1，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等于零。于是在内，在这里，在内解析，。因此是f(z)的m阶极点。推论5.4设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数，是一个不等于0的复数。5.本性奇点 关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：如果有无限个整数n0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。定理5.6函数f(z)在内解析，那么是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。例0是函数的本性奇点，不难看出不存在。解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于；当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；当z沿虚轴趋近于0时，没有极限