《解n阶微分方程》PPT课件

一、二阶线性微分方程解的结构,第四模块微积分学的应用,第十三节二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y+p(x)y+q(x)y=f(x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f(x)称为自由项，当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或y或y，,且每项均为y或y或y的一次项，,例如y+xy+y=x2就是二阶线性非齐次方程.,而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.,定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，,y=C1y1+C2y2,仍为该方程的解，,证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，,与,所以有,其中C1，C2是任意常数.,则函数,于是有,y+p(x)y+q(x)y,=0,所以y=C1y1+C2y2是y+p(x)y+q(x)y=0的解.,定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，,k1y1(x)+k2y2(x)=0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，,其中k1,k2不全为0，,如果存在两个不全为0的常数k1和k2，,使,在区间I上恒成立.,则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.,即y1与y2之比为常数.,反之，若y1与y2之比为常数，,则y1=ly2，即y1-ly2=0.,所以y1与y2线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数y1=ex，y2=e-x，,所以，它们是线性无关的.,如果不是常数，则它们线性无关.,定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，,y=C1y1+C2y2,是该方程的通解，,证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，,所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.,又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，,故C1与C2不能合并为一个任意常数，,因此y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.,则,其中C1,C2为任意常数.,所以它们中任一个都不能用另一个(形如y1=ky2或y2=k1y)来表示.,定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，,y=Y+y*，,是线性非齐次方程的通解.,证因为y*与Y分别是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x),和线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，,所以有,y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，,Y+p(x)Y+q(x)Y=0.,Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,又因为y=Y+y*，,y=Y+y*，,所以,y+p(x)y+q(x)y,=(Y+y*)+p(x)(Y+y*)+q(x)(Y+y*),=(Y+p(x)Y+q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*),=f(x).,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，,得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.,(2)求线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解y*.,那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.,又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，,故y=Y+y*中含有两个任意常数.,即y=Y+y*是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.,这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，,和,y+p(x)y+q(x)y=f2(x),定理4设二阶线性非齐次方程为,的特解，,证因为y1*与y2*分别是与的特解，,y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f1(x)，,与,y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f2(x).,于是有,=f1(x)+f2(x)，,所以有,=y1*+p(x)y1*+q(x)y1*,+y2*+p(x)y2*+q(x)y2*,即y1*+y2*满足方程，,二、二阶常系数线性微分方程的解法,如果二阶线性微分方程为,y+py+qy=f(x)，,其中p、q均为常数，,则称该方程为二阶常系数线性微分方程.,设二阶常系数线性齐次方程为,y+py+qy=0.,考虑到左边p，q均为常数，,我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.,将y=rerx,y=r2erx及y=erx代入上式，,erx(r2+pr+q)=0.,1.二阶常系数线性齐次方程的解法,由于erx0，因此，只要r满足方程,r2+pr+q=0，,即r是上述一元二次方程的根时，,y=erx就是式的解.,方程称为方程的特征方程.,特征方程根称为特征根.,得,1特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，,2特征方程具有两个相等的实根，,这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解y1=erx.,还需再找一个与y1线性无关的特解y2，,为此，设y2=u(x)y1，,其中u(x)为待定函数.,将y2及其一阶、二阶导数y2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x)，,y2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x)，代入方程y+py+qy=0中，得,因而它的通解为,所以y1与y2线性无关，,都是的解，,即r1r2.,那么，这时函数,即,注意到是特征方程的重根，,所以有r2+pr+q=0,及2r+p=0.,且erx0，,因此只要u(x)满足,则y2=uerx就是式的解，,为简便起见，取方程u(x)=0的一个解u=x，,于是得到方程且与y1=erx线性无关的解y2=xerx.,因此，式的通解为,3特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=aib.,这时有两个线性无关的特解y1=e(a+ib)x与y2=e(a-ib)x.,这是两个复数解，,为了便于在实数范围内讨论问题，,我们再找两个线性无关的实数解.,由欧拉公式,(这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得,于是有,由定理1知，以上两个函数eaxcosbx与eaxsinbx均为式的解，,且它们线性无关.,因此，这时方程的通解为,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：,(1)写出所给方程的特征方程；,(2)求出特征根；,(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.,例1求方程y-2y-3y=0的通解.,解该方程的特征方程为r2-2r3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无关的特解为y1=e-x与y2=e3x,所以方程的通解为,例2求方程y-4y+4y=0的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.,解该方程的特征方程为r2-4r+4=0，,求得,将y(0)=1，y(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，,y=(1+2x)e2x.,其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根r=2.,例3求方程2y+2y+3y=0的通解.,解该方程的特征方程为2r2+2r+3=0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,例4求方程y+4y=0的通解.,解该方程的特征方程为r2+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.,对应的两个线性无关的解y1=cos2x.,y2=sin2x.,所以方程的通解为,2.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1自由项f(x)为多项式Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.,当原方程中y项的系数q0时，k取0；,当q=0，但p0时，,k取1；,当p=0，q=0时，k取2.,因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设式的特解为,其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，,例5求方程y-2y+y=x2的一个特解.,解因为自由项f(x)=x2是x的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且y的系数q=10，取k=0.,所以设特解为,比较两端x同次幂的系数，有,解得,A=1，B=4，C=6.,故所求特解为,例6求方程y+y=x3x+1的一个特解.,解因为自由项f(x)=x3x+1是一个x的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且y的系数q=0，p=10，取k=1.,所以设方程的特解为,比较两端x同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2自由项f(x)为Aeax型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Aeax，,其中a，A均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中B为待定常数，,当a不是式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时，取k=0；,当a是其特征方程单根时，取k=1；,当是其特征方程重根时，取k=2.,因此，我们可以设的特解,例7求方程y+y+y=2e2x的通解.,解a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,例8求方程y+2y-3y=ex的特解.,解a=1是特征方程r2+2r-3=0的单根，取k=1，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,3自由项f(x)为eax(Acoswx+Bsinwx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，,其中a，A，B均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此,我们可以设有特解,其中C，D为待定常数.,取k=0，,是根时，,取k=1，,代入式，求得C及D.,当a+wi不是式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,例9求方程y+3y-y=excos2x的一个特解.,解自由项f(x)=excos2x为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，,则,且a+wi=1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2+3r1=0的根，,取k=0，所以设特解为,代入原方程，得,比较两端cos2x与sin2x的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,例10求方程y+y=sinx的一个特解.,解自由项f(x)=sinx为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a=0，w=1，,则,代入原方程，得,且a+wi=i是特征方程r2+1=0的根，,取k=1，所以，设特解为,比较两端sinx与cosx的系数，得,故原方程的特解为,而对应齐次方程y+y=0的通解为,Y=C1cosx+C2sinx.,故原方程的通解为,例11方程y+4y=x+1+sinx的通解.,解自由项f(x)=x+1+sinx可以看成f1(x)=x+1和f2(x)=sinx之和，,y+4y=x+1，,y+4y=sinx.,和,方程的特解易求得，,设方程的特解为,的特解.,所以分别求方程,代入，得,3Asinx=sinx.,所以,得原方程的特解,原方程所对应的线性齐次方程为y+4y=0，其通解为,Y=C1cos2x+C2sin2x，,故原方程的通解为,三、应用举例,例12弹簧振动问题,设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m的物体，,当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，,设给物体一个初始位移x0初速度v0，,则物体便在其平衡位置附近上下振动.,已知阻力与其速度成正比，,试求振动过程中位移x的变化规律.,物体在振动过程中，受到两个力的作用：,ma=-kxmv,其中a为加速度，,v为速度，,解建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为x轴的正向，则物体位移x是时间t的函数x=x(t).,根据牛顿第二定律F=ma，知,负号表示阻力f2与速度v方向相反，,其中m为比例系数大于0(或称阻尼系数)，,阻力f2与速度v成正比，f2=-mv,负号表示弹性恢复力与位移x方向相反；,其中k为弹性系数大于0，,由胡克定律知，f1=-kx，,弹性恢复力f1与阻力f2，,则上式方程可表示为,称为振动的微分方程，,是一个二阶常系数线性齐次方程，,它的特征方程为r2+2nr+w2=0，,其根为,那么，上式变为,这里n，w为正常数，,