利息理论统计与金融数学系陈萍.ppt

1,利息理论,开课系：理学院统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:Probstat,参考书：利息理论S.G.Kellison著尚汉冀译上海科学技术出版社,2,第一章利息的度量,积累函数与金额函数利率现时值名义利率与名义贴现率利息效力与贴现效力,在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。,定义利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。,利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。,4,1.1积累函数与金额函数,一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为积累值。,积累值=本金+利息,假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻积累值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。自融资,5,定义考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时刻的积累值为a(t)，称为积累函数。,a(t)的性质：a(0)=1;a(t)通常为增函数；当利息连续增加时，a(t)为连续函数。,典型积累函数:,6,定义A(t)=ka(t)称为金额函数，它给出原始投资为k时在时刻t=0的积累值。,记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为In.则In=A(n)-A(n-1)(1.1.2),注设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期为一年,以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0),例1.1.1.考虑金额函数a)确定对应的积累函数a(t)b)检验a(t)是否满足积累函数的三条性质c)找出In解:,8,1.2.利率,1.2.1.实质利率,定义实质利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获得的利息。,如：一年期存款，年利率i=2.25%,故a(1)=1+2.25%本金100元，年末积累值为100(1+2.25%)=102.25元,注（1)实质利率常用百分比表示。（2）本金在整个时期内视为常数（3)实质利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用金额函数确定如下：i=A(1)-A(0)/A(0)=I1/A(0),这就可以给出另一个定义：定义实质利率i是某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金额之比。,实质利率可以对任何度量的时期进行计算。设in为从投资之日算起第n个时期的实质利率，则in=A(n)-A(n-1)/A(n-1)=In/A(n-1)n1,例1.2.1.证明A(n)=(1+in)A(n-1),1.2.2.单利,定义若考虑投资1单位本金，在每一时期中得到的利息为常数，其积累函数则为线性的。a(t)=1+it对整数t0这种类型产生的利息为单利。,例1.2.2.a)如500元存款在5年内积累到590元，单利利率为多少？b)500元按3.6%的单利要经过多少年可积累到600元？解:a)设单利利率为i,则,b)设要经过x年积累,则,练习1.如果1000元以某一单利利率经过某一长度的时期积累到1100元，试确定500元以该单利利率的3/4倍的利率经两倍长的时期的积累值。练习2.查出目前市面流通或发行的国债，计算其利率。与同期存款利率进行比较。,13,1.2.3.复利,定义复利的积累函数是a(t)=(1+i)t对整数t0,单利与复利的异同(1)单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的积累值，而对较短的时期则相反。(2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即对单利：a(t+s)-a(t)不依赖于t对复利：a(t+s)-a(t)/a(t)不依赖于t,例1.2.5.某人有1000元准备存款5年，现有两种存款方式：1)按年利率5.85%的单利。2)按年利率5.27%的复利；问哪种存款所得积累值较多？解:,故按年利率5.27%的复利存款所得积累值较多.,某人有10000元本金，准备存款5年，请提供存款方案,并分析按那种方案所得积累值较多？参考：人民币存款利率表：,EX,16,1.3现时值,1.3.1.现时值,考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算?,定义.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一单位金额在现在的值为t时期现时值。记对应实质利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相应的1+i称为积累因子）,17,上述结果扩展到不止一个时期，也就是说要确定某人在时期开始时应投资多少才能在t时期末积累到金额1。,定义称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。代表在t时期末的1单位金额的现时值。,例1.3.1.五年期国债，面值为100元，按贴现发行，若i=6.42%,则其发行价应为多少？(1)按单利.(2)按复利解:,注一时期内金额的改变可以称为“利息”，也可以称为“贴现”，但两者意义不同。利息本金基础上的增加额，在期末支付，其计算的依据为期初余额。贴现积累值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。,用实质利率i可以很方便地计算：利息=本金*i也希望有类似的参数d，使：贴现=期末值*d参数d就是贴现率。,EX.已知$500的投资在第30年末将增长到$4000,求在第20年，40年，60年末各付款$10000的现时值之和。,19,1.3.2.实质贴现率,定义称为1时期的实质贴现率。,例1.3.2假设某人A到银行以实质贴现率6%借100元，为期1年，一年后A还给银行100元。则1)银行实际付给A多少元？2)这相当于实质利率是多少的贷款？解:,显然,推广到n个时期有a-1(t)=(1-d)tt0(1.3.1)称满足(1.3.1)的d为复贴现率.,定义称两个贴现率或利率等价，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者产生同样的积累值,例1.3.2求证：若a(t)=(1+i)t，则在各时期内等价的实质贴现率为常数，,(1.3.2),d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释：d=i/(1+i)-期初投资1，在1时期末赚得的利息i按贴现因子贴现到期初即为贴现率d。1/(1+i)=1-d-此方程两边均表示在期末支付1的现时值。i-d=id-某人可借贷1而在期末归还1+i，也可以借贷1-d而在期末归还1。表达式i-d是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差d而产生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.,22,1.4.名义利率与名义贴现率,1.4.1.名义利率,在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利10%,半年结算一次”、“季度复利10%”或“月度复利10%”等等。由于一年内结算次数不同产生了利率的“名不副实”，原来给定数据10%就是名义利率。,定义记i(m)为每一时期付m次的名义利率，其中m1,m为整数。,注:所谓名义利率i(m)指每1/m时期支付一次的利率，也就是说，对于每1/m时期，一本金的利息是i(m)/m而不是i(m)。,定义利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称为“利息转换时期”,1.4.2.名义利率与实质利率的关系,设一时期的名义利率为i(m),与之等价的实质利率为i，则应有1+i=(1+i(m)/m)m。于是有或,例1.4.1.贷款人A开价年实质利率为9%,贷款人B开价季度复利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？解:对B:,对C:,故C的贷款好.,1.4.3.名义贴现率,定义每一时期支付m次的名义贴现率记作d(m).表示每1/m时期支付d(m)/m的实质贴现率。,例1.4.2.试确定100元在两年之末的积累值。A)如果名义利率为季度转换6%.B)如果名义贴现率为季度转换6%.解:,设积累值为x,则,26,1.4.4名义利率与名义贴现率之间的关系,考虑,与,(1.4.1),如果m=p,则,(1.4.2),将(1.4.2)式两端同乘以（1-d(m)/m)得,(1.4.3),它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差d(m)/m产生的。金额d(m)/m依利率i(m)/m在该利息转换时期末的利息就是(i(m)/m)(d(m)/m)。,EX1.确定季度转换的名义利率使它等价于月度转换6%的名义贴现率。,EX2.证明i(m)=d(m)(1+i)1/m,并按字面解释之。,28,1.5利息效力与贴现效力,1.5.1.利息效力,利息效力描述利息在时刻t的运行强度，它与资金金额无关，定义为,(1.5.1),称为时刻t的利息效力。,29,可用t描述A(t)或a(t)。,或,(1.5.3),EX求单利的利息效力。,(1.5.2),利息效力在理论上可以随时变化。然而在实际中它经常保持为常数。如果利息效力在某时间区间上为常数，则实质利率在此区间上也为常数。这可在n个度量时期上用公式(1.5.2)而得。,(1.5.4a),所以,或,(1.5.4b),31,1.5.2.贴现效力,类似于定义贴现效力为，,负号是为了保证此式为正，但可证明,故只用t就足够了。,32,利息理论,开课系：理学院统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:Probstat,参考书：利息理论S.G.Kellison著尚汉冀译上海科学技术出版社,33,第二章常见利息问题,常见利息问题收益率基金收益的计算资金预算一般借贷模型,34,2.1常见利息问题,按照国外多数银行的做法，计息方式采用整数时期计复利，分数时期计单利的做法。如要计算1单位本金在m+x时期内的积累值，其中m为整数、x为分数，0-1，使(2.2.2)满足，则i是唯一的。,例2.2.3一位投资者进入一项契约，他立即付款7000元，第二年末付1000元，以交换第一年末得到的4000元和第3年末得到的5500元。求a)P(0.09);b)P(0.10)c)用定理2.2.1检验在0.09与0.10之间是否存在唯一收益率。,解：,50,2.3资金预算,所谓资金预算是指决定投资资金的金额以及这些资金在各种可能的投资项目之间的分配过程。在实际中常用两种方法进行资金预算：收益率法与净现值法。所谓可接受利率是指投资可以接受的最小返还率或贷款可以接受的最大利率。,51,投资者分析每种可选择的投资资金流，计算出对应的收益率。所有收益率高于可接受利率的投资将被进一步考虑。然后将收益率高于可接受利率的投资方案按收益率高低排序，再参照风险因素进行筛选。,2.3.1收益率法,例2.3.1假设一投资者可接受利率为10%，则下表投资项目是否可作进一步考虑。例2.2.1.xls,53,2.3.2净现值法,设可接受利率为i，投资者对每种投资方案计算其现值，具有正的p(i)的投资将被进一步考虑。然后在那些入选的投资中间这样分配资金：使所有返回的现值减去投入的现值最大。,例2.3.1设一投资者的可接受利率为10%，则上例投资项目按净现值法是否可接受？解:取,故上例投资项目可接受.,例2.3.2一部旧汽车开价$5000，也可先付$2400,在以后2年内每年之末付$1500。如果购车人的可接受利率为10%,问他是愿意用现款还是分期付款？解:付现款现值为$5000.按10%的利率,分期付款现值为:,故他愿意用现款.,56,补充:收益率问题的随机化处理,在实践中,t时刻的收入或支出一般是不确定的.考虑下列情形，一位投资者在时刻0,1,2,n对一项投资事业的投入(C0,C1,C2,Cn)是n维随机变量，即该项投资的资金流是一个随机序列。则在给定可接受利率i下,该资金流的现时值也是随机变量.,资金预算问题就化为:根据P(i)的分布决定投资方案.,57,例如根据:,当C0,C1,C2,Cn独立时,平均收益,项目风险,可以选择给定平均收益而项目风险最小的项目或指定风险上限,平均收益尽可能大的项目小课题:选择一个实际项目,调查该项投资的资金流及其分布,对项目进行资金预算分析.,58,在收益率问题中,常会遇到多重收益率问题.现在具体分析多重收益率产生的原因.,2.4一般借贷模型,例如果可接受利率为15%，试用两种方法分析下表投资项目是否可接受。,解:1)收益率法:,2)净现值法:,可接受.,易见,当可接受利率在10%附近时,P(i)关于i递增.说明i越大,项目越可接受.这对借款人来说是正常的;而对投资人就不正常;而当可接受利率在20%附近时,P(i)关于i递减;说明i越大,项目越可接受.这对投资人来说是正常的,而对借款人就不正常;计算上例的未动用投资余额可发现,B00,而B10,这说明投资者在第一时期处于投资人的地位,而第二时期处于借款人的地位.这是造成多重收益率的原因.,61,定义2.4.1（一般借贷模型）在整个投资期间，当t时刻的未动用投资余额Bt0时，可接受利率称为项目投资率，记为r。当Bt0时，可接受利率称为项目借贷率，记为f。沿用Bt的定义，,在现实中,贷款利率与投资收益率一般是不同的!,最终投资余额为（n时刻的积累值）,其中mj为整数，且,mj是从时刻j到时刻n中使用利率r的时期总数。当r=f时情形与定理2.3.1相同。,回忆收益率的定义，在收益率点，应有Bn=0,此时收益率不是单个的数，而是r和f之间的一个函数关系。换言之，如果对于一个给定的f，可以找到一个r的值使Bn=0,则称r和f为此项业务的一对收益率。,例2.4.1一位投资者要对某项投资作资金预算。该项目的资金流如下表，如果r=f,求收益率；如果r,f是收益率时，将r表示成f的函数如果可接受利率r=70%,f=30%,投资者会接受还是拒绝这笔业务？,解:(1)由题意,C0=1600,C1=-10000,C2=10000.设i=r=f,(3)将r=70%,f=30%带入,故投资者拒绝这笔业务.(注意B2是投资余额而不是返还!),EX一个5年期投资项目的资金流如下：,若投资者可接受利率为r=15%,f=10%,问此项目可否采纳？,(答:,67,2.5基金收益的计算,2.5.1.基金概述,所谓基金是指一种利益共享、风险共担的集合证卷投资方式，即通过发行基金单位，集中投资人的资金，由基金托管人委托基金管理人管理和运用资金，从事股票、债卷等金融工具投资。一般地，基金按其份额是否可赎回可划分为开放式与封闭式基金。,封闭式基金在发行期满后就封闭起来，投资者须通过二级市场买入或卖出，其价格在很大程度上由市场供求决定，波动类似于股票。但这种基金常有设定的存续期限，一旦期满就进行清盘，将剩余资产按持有份额分配给持有人或转成开放式基金继续存在下去。且基金收益分配必须采用现金形式，不能配股。,开放式基金有两个特点：一方面基金的发行份额是不固定的，投资者随时可按该基金的价格购买新的份额，也可以随时要求基金公司赎回所购买的基金份额，收回投资，退出基金，购买或赎回的价格以当时基金单位资产净值为基础。另一方面是不设定存续期限。开放式基金的价格主要由资产价值而非市场供求关系决定。投资者的收益主要来自基金的分红及基金净资产价值的增值。故可用利息理论来研究。,70,考虑下列问题，某项投资A历经3年，这三年中第一年利率为i1,第二年利率为i2,第三年利率为i3，则到第三年末的积累值为多少？显然应为a(1+i1)(1+i2)(1+i3),这种情形常见于基金的分红，因为它是每年按当年业绩决定利率水平的。,2.5.2.变利息,一般地，记in为从投资之日起第n个时期的实质利率，则对于整数t1有a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+in),同理a-1(t)=v1v2vn，其中vk=1/(1+ik)。,有时利率不是按年变化而是在一时期内的任何时刻都可以出现变化，则我们可以利用下式进行计算。,变利息还常出现在一个时期内本金有所改变时一时期利率计算的情形，如一项基金常可因新的本金加入而增加，或因本金抽回而减少，还可因一时期内多次（常在非正规的时间区段）赚得的利息而增加，以及因基金操作如对股票的买卖而变化，对这些情形必须给出确定合理的实质利率的方法。下面考虑变利息情形在基金中的应用。,EX.一笔基金的利率在前3年为季度转换8%,后2年为季度转换9.6%,某人在第一年初向该基金投资2000元，第4年初向该基金投资1000元，求5年后基金的积累值。(答:约4275.02元),73,2.5.3.基金的利息度量,记号,设A=基金在期初的金额，B=基金在期末的金额，I=在此时期内赚得的利息金额，Ct=在时刻t投入的本金净金额（可正可负）其中0t1,C=在此时期投入的本金总金额（可正可负）在时刻t投资1在随后的长度为1-t的时期内所赚得的利息金额。,74,一币值加权利率,假定基金在一个时期内以同样的利息强度运行，且假设所有赚得的利息I是在期末接受的，则B=A+C+I。这样对于时期0t1赚得的利息的精确的求值方程应为,不幸，上式的形式不能直接用来求i，必须找到的值。假设整个时期都是用复利，则有带入上式则得到关于i的精确方程。此方程可用迭代法求解，但计算繁杂。,(2.5.1),在实际中往往用单利作为t1时期复利的近似，从t时刻开始投资1经历(1-t)时段的利息为(1-t)i.故可假定,于是可得实质利率的一个近似解,此式中分子是基金中赚得的利息金额，分母则可解释为投资本金的平均金额（加权平均，其权重为到期末需经历的时间长，最大为1)常称为“与i有关的本金”。,(2.5.2),(2.5.2)式是可以直接计算的，但分母中的和式加起来比较麻烦，因而常常作出一个进一步简化的假设，即认为本金的存入和抽回在整个投资时期内是均匀发生的，这样平均来说可以假定除期初的A之外，其余净本金投入发生在时刻t=1/2,在此假设下(2.5.2)式变为,(2.5.3),(2.5.3)式是一个重要的公式，它在实际中广泛用来计算赚得的利率。,例2.5.1.某年初设计一项投资基金，初始存款为1000元，4个月之后又存入500元，在第6和第8个月之末分别抽回200元和100元，在该年末基金的总金额为1272元，试求基金在此年内的两种近似实质利率。解:这里,或,例2.5.2.一项实质利率为4%的基金在年初有10000元余额，如果3个月后有200元加入基金，而9个月后从基金中抽回300元，求最终余额。解:,由:,而,79,二时间加权利率,当投资经历变化较大时，币值加权利率给出的收益率计算方法对于不同时段的投资金额是敏感的，例如，假定在得益较高时恰巧“大量”投资，而在得益较低时则“小量”投资，则总体收益率会较高，反之则较低。,例2.5.3.设有一项基金，若年初购买，其价格在第6个月末跌至一半，而年末又回升至原价位投资者A年初购买1000元，第6个月末又购买500元，到年末他拥有2000元的基金投资者B，年初购买1000元，第6个月末抽回250元，到年末他拥有500元的基金。分别求、的收益率。,解:,81,时间加权利率的思路是：,设在一年中某些时刻t1,t2,tm-1共有m-1次本金的存入或抽回，这样整个一年就被划分为m个区段,投入基金值,显然,于是,设一时期内的总体收益率为i，则一时期内的时间加权利率为,83,续例2.5.3按照时间加权利率法求基金的收益率。,解:,要注意的是，时间加权利率是对基金特性的一种度量而非购买基金的人真实收益的度量，常与复利不一致。它常被用来描述基金的年度收益率，以供基金分红等使用，而对某一个投资者，要计算购买基金的真实收益时应采用币值加权利率。,例2.5.4.在1月1日某投资帐户有存款10万元，到5月1日，其值增加到11.2万元，并存入3万元的新本金，到11月1日，其值减少为12.5万元，并抽回4.2万元，到次年1月1日，此帐户再次有存款10万元，使用币值加权法与时间加权法分别计算收益率。,解:,1)币值加权利率.,2)时间加权利率.,EX.某基金帐户一年的投资经历如下表,到次年1.1，此帐户有余额49000,试用两种方法求年度收益率。(答:币值15.73%;时间13.23%),科研训练:查阅有关资料,分析南方稳健成长证券投资基金2005年度的收益情况.举例说明不同操作方式投资该基金可能获得的(币值加权)收益率.,89,利息理论,开课系：理学院统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:Probstat,参考书：利息理论S.G.Kellison著尚汉冀译上海科学技术出版社,90,第三章基本年金,延付年金延付年金的应用初付年金及其应用永久年金基本年金问题,年金-按相等时间区间支付的一系列付款。在固定的时期支付确定金额款项的年金称为确定年金。付款的固定日期称为此年金的期。两次年金付款之间的间隔称为支付期。付款不确定的年金称为风险年金。,92,3.1.延付年金,在n个时期中，每个时期末付款1的年金为延付年金。其时间图为,设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现时值记为，在n时刻的积累值记为。,显然,而,故,(3.1.1),同理,(3.1.2),的值一般可通过复利函数表或EXCEL来计算，故以后往往将复杂的年金表示成它们的函数。,注1：若每时期的利息为i，可记为,注2：,或,注3:,字面解释：考虑初始投资1，历时n个时期。每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i.这些利息的现时值为ian|.在第n个时期，原始投资的本金1仍收回，它的现时值为vn.这样，方程两边都表示投资1在投资之日的现时值。,例3.1.1.一辆新汽车的现金价为$10000，某顾客想以月度转换18%利率的分期付款来购买此车，如果它在四年内每月末付款$250，问现付款需为多少？解:,例3.1.2.某人以季度转换年利8%投资$1000,问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？解:设每季度之末能取回$x.,97,有一笔$1000的贷款，为期10年。若实质利率为9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量。整个贷款加上积累的利息在第十年末一次还清.每年产生利息即付，而本金则在第十年末一次还清.贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清。,EX,98,3.2.延付年金的应用,3.2.1未偿还贷款余额的确定,确定未偿还贷款余额有两种方法将来法或过去法。将来法是指未偿还贷款余额等于余下的付款在这一天的现时值；过去法是指未偿还贷款余额等于原始贷款金额到这一天的积累值减去所有已付的款项到这一天的积累值。,例3.2.1.一笔贷款以10次2000元的付款继之以10次1000元的付款来偿还，付款的时间为每半年之末，若半年转换的名义利率为10%，求恰付款5次后的未偿还贷款余额。解:,例3.2.2.一笔贷款通过20次每次1000元的年度付款来偿还，在第5次付款时，借款人想加付2000元，并将余额在今后12年内以修正的年度付款来偿还，若实质利率为9%，求修正年度付款的金额。解:在第5次付款后,未偿还贷款余额为:,借款人加付2000元后,未偿还贷款余额为:,设x为修正年度付款的金额,则,101,3.2.2.分期偿还表,在分期偿还贷款问题中，还有一个问题对借贷双方都很重要，就是每次付款中那些是还本，那些是付息。分期偿还表就是列表显示每次付款如何划分为本金和利息两部分，以及每次付款后未偿还贷款余额是多少。,一项在n个时期内以利率i偿还的贷款的分期偿还表,例3.2.3.一笔贷款以10次2000元的付款继之以10次1000元的付款来偿还，付款的时间为每半年之末，若半年转换的名义利率为10%，列出该项目的分期偿还表,EXCEL,注：大多数情形下可能会积累一个舍入误差。如果是这样，可适当调整最后一次付款，使它精确地等于最后一个时期的利息金额加上最后一个时期之初的未偿还贷款余额。这样的调整将使整个时期之末的未偿还贷款余额精确为零。,EX。一辆轿车价值为12万元，先付20%,以后按7.65%月度转换利率每月付等额款项直至第5年末付清。试构造此项业务头3年与最后3年的分期偿还表。,3.2.3.偿债基金,借款人在偿还一笔贷款时，也可以不用分期偿还方式，而用在一个规定时期之末的一次集中付款来偿还。在许多这种情况下，借款人要积累一笔基金，此基金足够在规定时期之末精确的偿还贷款，这种基金就称为偿债基金。在支付偿债基金的同时，经常需要借款人在整个贷款期间周期性地向贷款支付利息（如某些公司债卷向投资者定期支付的息票），这样原贷款金额保持不变。,105,当贷款中支付的利率与偿债基金所得的利率相等时，偿债基金方法等同于分期偿还方法,例3.2.4.A借款1000元，要求本金在第4年末偿还，同时每年需按8%的实质利率支付利息，A应通过每年向一偿债基金存款来积累还款的金额，此基金有8%的实质利率。试分别构造分期偿还表和偿债基金表,解：,偿债基金表与(等额支付的)分期偿还表有如下关系：(1)偿债基金方法中的付款总数，即付给贷款的利息加上偿债基金储蓄，等于分期偿还方法中的付款金额。(2)偿债基金方法中支付的净利息，即贷款所付的利息减去偿债基金所得的利息，等于分期偿还方法中所付的利息。(3)偿债基金的年度增长，即偿债基金的储蓄加上偿债基金所得的利息，等于分期偿还方法偿付的本金。(4)偿债基金方法中的贷款净金额，即原始贷款金额减去偿债基金金额，等于分期偿还方法中的未偿还贷款余额,107,用符号表示每期末付款1，贷款利率i，偿债基金利率j的年金。这样，假如有一笔金额为1的贷款，它在分期偿还方法下的每次周期性分期付款应为。然而，按照偿债基金方法，这一付款必须按利率i给贷款支付利息，又要提供偿债基金储蓄，使它能按照利率j在n个时期之末积累到1。故有,在实践中经常遇到的情况是贷款利率i大于偿债基金利率j.,(3.2.1),事实上,贷款利率i，偿债基金利率j的贷款K的偿债基金表,例3.2.5.A想借款1000元，贷款人B提出的条件是本金应在第4年末偿还，同时需按10%的实质利率支付利息，A应通过每年向一偿债基金存款来积累还款的金额，此基金有8%的实质利率；贷款人C提供一种在4年内按分期偿还方法还款的贷款利率，(1)问C所开价的实质利率最大可为多少，才能使A面临的两种选择方案，并无差别？(2)试构造B的偿债基金表解:所谓两种无差别意味着A用两种方案存款,每期付款额相等.设B的方案中,A每期付款额为x,则,（2）解,111,EX在31年内每年末付款36000元，以偿还一笔400000元的贷款，假如借款人用一项有3%实质利率的偿债基金来偿还本金，求(1)在贷款中对贷款人支付的实质利率。(2)若偿债基金为贷款人所有，求贷款人获得的总体收益率*(3)如果要求贷款按(1)的实质利率通过等额分期付款偿还，构造分期偿还表和偿债基金表答:(1)i7%;(2)j=8.25%,112,3.3初付年金及其应用,3.3.1初付年金,在n个时期中，每个时期初付款1的年金为初付年金。其时间图为,设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现时值记为,在n时刻的积累值记为。,思考：与有何关系？与有何关系？,例3.3.1证明并解释,证:从时间图易见,如果在0时刻之前在加上一个时期,则这一系列付款相当于从-1时刻开始的延付年金.于是,字面解释从时间图易见,付款序列相当于0时刻付款1,再加上每时期末付款1的n期延付年金,减去n时刻的付款1.现时值为a),积累值为b),例3.3.2有一位40岁的工人打算通过在25年内每年初存款￥1000来积蓄一笔退休金，从65岁开始，此工人打算在以后的15年内每年初取款一次。试确定他从65岁开始每年取款金额。其中头25年实质利率为8%，而此后仅为7%。解:n1=25,k1=1000,i1=8%;n2=15,k2=?,i2=7%;,前25年积累:,后15年:,EX1某君40岁购买一项养老保险，每年初缴纳保费1620元，缴费期至59岁共20年。从60岁开始，每年初保险公司给付3360元养老金直至该君死亡。若此君活到79岁，则此项投资的收益率是多少？若此君活到99岁，则保险公司在这一保险业务上是否合算？(答:i)3.713%;ii)5.3%),EX2某君为其3岁的孩子投保某险种，每年初缴纳保费2105元，缴费其为15年。按年利率4.77%，到15年末此项投资的积累值是多少？若从第16年初开始，每年取出5000元，共取4年，则到第19年末此项投资的积累值又是多少？(答:i)22.22;ii)33856),116,永久年金是付款永远继续下去，无期限的。例如：无偿还保证的优先股股息。,延付永久年金的现时值记为,(3.3.1),公式(3.3.1)可按字面解释，如果将本金按利率i投资，则利息可永远在每一时期末支付，而不去触动本金。,3.4永久年金,例3.3.3A留下一笔$100000的遗产，这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个十年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此项财产中各得多少份额？解:B所占份额为,C所占份额为,E所占份额为,118,3.5基本年金问题,3.5.1未知时间问题,包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答。这些问题可以有如下三种处理方式(1)在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款，称为上升支付；(2)在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款，称为下降支付；(3)在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款，称为非标准时期支付。,包含非标准时期付款的年金现值常记作，可解释为一项n个时期，每时期付款1的延付年金再加上最后一次在时刻k的付款的现时值。,在时刻k的付款为,(3.5.1),(3.5.2),例3.5.1有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：在最后一次正规付款的日期支付；在最后一次正规付款以后一年支付；在最后一次正规付款后的一年中间支付。解:设可做n次付款,令,故可做14次正规付款再加依次较小的最后付款.,(1)设较小的付款额为x.则到14年末,应有,(2)设第15年末付款x.则,(3)设付款时刻为14+k,由,由(3.5.2),付款额为,122,一笔基金每年年底存入$1000，一直到积累值为$25000为止，如果基金的实质利率为8%，试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少？答:n=14,x=-1152.092,EX,123,在解年金的未知利率问题时，常用如下的Newton-Raphson迭代公式,(3.5.3),或,(3.5.4),初值为,(3.5.5),3.5.2未知利率问题,124,例3.5.2季度转换年利率应为多少，才能使在5年内每季度之末付款$1000的现时值为$16000?解:n=54=20,k=1000,a=16000设季度内实质利率为j,则,或,3.5.3变利息,在变利息情形，ik有几种不同的含义(1)若ik表示第k个时期所用的利率,不管付款是在什么时侯。则n时期延付年金的现时值为,(3.5.6),n时期初付年金的积累值为（考虑初付年金是为了使所有ik值都进入公式）,EX试确定一笔每年付款1000元，为期10年的延付年金的现时值与积累值，假定第t年的实质利率为,延付年金的积累值可由初付年金得到：,(3.5.7),(3.5.8),该初付年金是从时刻1而不是时刻0开始的！,(3)在计算积累值时，若在时刻k的付款在余下的积累期间按利率ik计息，则n时期初付年金的积累值为,(2)在计算现时值时，若ik表示在时刻k的付款经历所有k个时期的利率，则n时期延付年金的现时值为,(3.5.9),(3.5.10),延付年金的积累值为,EX试确定一笔每年付款1000元，为期10年的延付年金的积累值，如果第t年的付款按实质利率it=0.04+0.002t投资。,3.5.4非复利年金,非复利年金的计算充满陷阱，需要仔细分析和解释才能得到合理的结果。一般会产生年金的多重值，它又需要按计算时所依据的基准来分类。忠告：如果可能的话，应尽量避免处理非复利年金！,而,(3.5.11),(3.5.12),考虑一项n个时期的延付年金。其现时值是各次付款在0时刻的贴现之和，于是,或,(3.5.13),与（3.5.12)不一定相同！,例如，假定我们希望确定一项n个时期延付年金的积累值，而此项年金每一笔付款都是从付款之日起到第n个时期末为止按单利投资的,那么这项年金的积累值为,若按(3.5.12),则有,(与(3.5.13)相同),(不合题意!),(3.5.14),将(3.5.14)中的贴现到0时刻，则得到上述年金的现时值为,与（3.5.11)结果不同！,(3.5.15),例3.5.5如果对0t5,试确定5年期延付年金的积累值。解法一:利用,故,解法二:若将每笔付款从存入之日起按变利率积累,则有,两种解法结果一致.但若按(3.5.13),注:若取则上述三种解法结果一致.,对单利下年金值的进一步分析是很有教益的。考虑一笔以单利进行n个时期的投资，它恰好足够在n个时期中，每时期末取款1。单利的概念意味着利息不再赚取外加的利息。这样，原始的投资金额储蓄在一笔利率为i的基金中，但任何得到的利息立即转存到第二笔基金中，后者没有利息。每当取款时会产生混淆。应当从有利息的原始基金中取多少款，又从没有利息的利息基金中取多少款？不同的分配将会产生不同的答案。,为了展示会得到的若干可能答案，设n=6,i=10%,记原始投资为K。称本金基金为A，利息基金为B。,方案1：先从基金B中取款，仅当B取完后才从A中取。可证：,基金进展表,证明:,方案2：先从基金A中取款，仅当A取完后才从B中取。若假设基金A在第5时期末取完。则,注意到40开始，其后每个时期增加Q。(Q可正可负，但P+(n-1)Q0）。每时期利率为i。则此项年金的现时值为,(4.4.1),积累值为,(4.4.2),特别，当P=Q=1时，称为递增年金。,现时值为,(4.4.3),积累值为,(4.4.4),(4.4.3)式可改写为,字面解释：n个时期中每时期初投资1的年金现值等于各时期赚得的利息的现时值和最后返回的本金的现时值,161,当P=n，Q=-1时，称为递减年金。,现时值为,(4.4.5),积累值为,(4.4.6),例4.4.1有一项延付年金，其付款从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。,162,付款金额按几何级数变化的年金,考虑一项有n个时期的延付年金，其第一次付款额为1而其后各次则按公比为(1+k)的几何级数增长。每时期利率为i。则此项年金的现时值为,(4.4.7),例4.4.2一项年金提供20笔年度付款，一年以后的第一次付款为$1000，付款额按每年比上一年多4%的形式增加。试求此项年金按年实质利率7%的现时值。,先考虑支付频率小于利息转换频率的广义递增年金。设k为一个支付时期内利息转换时期的个数，n为年金以利息转换时期来度量的时期数，i为每个利息转换时期内的利率。支付次数n/k是整数。其现时值为,4.4.2一般变额年金,(4.4.8),其次考虑支付频率大于利息转换频率的变额年金。设m为一个利息转换时期内支付时期的数目，n为年金以利息转换时期来度量的时期数，i为每个利息转换时期内的利率。先考虑在一个利息转换时期内支付率为常数的情形。即假定在第一个利息转换时期内每次付款1/m,第二时期内每次付款2/m，依此类推，直到第n个时期内每次付款n/m.此项年金的现时值为,(4.4.9),再考虑在一个利息转换时期内支付率为变量的情形。即假定第一个利息转换时期内的第一个1/m时期末付1/m,第二个1/m时期末付2/m；依此类推，直到第n个时期末付款n.此项年金的现时值为,(4.4.10),对于付款额按几何级数变化，而支付时期与利息转换时期不相等的变额年金，可以这样处理：将年金值表示为每次付款的现时值或积累值之和。这一和式是一个可以直接计算的几何级数。,例4.4.3有一项年金，在5年内的每半年之初付一笔款。第一次付款为$2000，以后每次付款额为前一次的98%,利率为季度转换10%，求此年金在第10年末的积累值。,167,4.4.3连续变额年金,考虑一项n个利息转换时期的递增年金，它是按照在时刻t支付率为每时期t而连续支付的。此种年金的现时值为,(4.4.11),一般地，如果在时刻t支付金额为f(t)dt,且利息效力为t,则n时期的连续变额年金现时值为,(4.4.12),168,4.4.4变额支付序列,在用分期偿还方法偿还贷款时，借款人可能用不等额的分期付款来偿还。在此假定利息转换时期与支付时期相等且一致。考虑一项由n次周期性分期付款R1，R2,Rn来偿还的贷款L。则有,有一种相当常见的变化形式是借款者支付等额的本金。由于未偿还贷款余额逐次递减。这样由本金和利息共同组成的总付款将逐次递减。,(4.4.13),例4.4.4A向B借款$20000，言明分20次年度付款分期偿还，每次付等额的本金，再加上对未偿还的余额付3%的实质利率的利息。经过10年以后，B将接受未偿还贷款余额的权利出售给C，其售价使C能在随后5年内得到5%的实质收益率，最后5年内则有4%的实质收益率。求此价格。,余额:,利息:,解:第10年末C的价格就是余下付款在t=10的现时值,例4.4.5A向B借款$10000，言明以每年底支付的10次分期付款来偿还，且其每次分期付款金额比前一次多20%。此项贷款的实质利率有10%。试确定其头3次分期付款所偿还的本金金额。解:支付序列构成公比为1+20%的几何级数,设第i次付款为Ri,由(4.4.7),分期偿还表,注：当一项贷款以变额支付分期偿还时，在一次付款中应付的利息有可能大于本金。此时，偿还的本金将为负值，而未偿还贷款余额将是增加而不是减少。,偿债基金方法也可以有变额支付序列。在此假定每个时期付给贷款人的利息是常数，这样只有偿债基金储蓄会变化。假设借款人作出的变额支付为R1，R2,Rn,且ij.记贷款金额为L。则第t个时期的偿债基金储蓄额是Rt-iL.因为偿债基金在第n个时期末的积累值必须为L，故有,或,(4.4.14),例4.4.6A向B借款，A愿意作相继4次的年度付款，金额为100，100，1000，1000。B要从贷款中收到12%的实质利率，且A要参加B所持有的实质利率8%的偿债基金以偿还这笔贷款，问A最多能借多少钱？,注：前面实际已假设Rt-iL为正。如果它为负，这就意味着这一年的付款甚至连贷款利息也不够。这样，偿债基金就有了负储蓄，即在这一年从偿债基金中抽回款项。,173,利息理论,开课系：理学院统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:Probstat,参考书：利息理论S.G.Kellison著尚汉冀译上海科学技术出版社,174,第五章债券和其他有价证券,基本证券类型债券的价格溢价和折扣息付日之间价值的确定收益率的确定通知偿还与分期偿还债券其他证券及其价值的确定,利息理论的重要应用之一就是确定债券和其它证券的价格和价值。本章主要解决3个问题若已知投资者要求的收益率，对某种证券应付什么？若已知证券价格，问投资者最终会得到多大的收益率？某一证券在已被购买后的一给定日期价值为多少？,176,5.1基本证券类型,本节以美国情形为主，重点讨论三类证券：债券、优先股、普通股。债券(1)几个基本术语债券是一种带利息的证券。它承诺在未来的某个（或某些）日期支付所述的某个（或某些）金额的钱款。它是由借款人出具的正式的债务单据。经常是整数金额。债券通常由企业或政府单位作为集资手段来发行。,债券通常在一固定时期之末偿还，这一固定时期称为债券的期限。债券的期限之末称为到期日。也有的债券期限可以变化,由借款人自己决定.这种债券称为通知偿还债券.任何早于或等于到期日而债券可以偿还的日期称为偿还日.,(2)债券的分类,债券可按各种途径分类.i)按付息方式分为积累债券与附息票债券;息票是债券发行者在到期偿还前所作的周期性付款.ii)按记名方式分为记名债券和不记名债券.iii)按债券所具有的保证分为抵押债券和信用债券。iv)可转换债券可在未来某个时期或某些条件下转换成普通股。,二.优先股是一种证券，它有类似于债券的固定回报率，然而它不同于债券的地方是：它更大程度上是持有资格的保证而不是债务保证。一般地，优先股没有到期日，其周期性的付款称为分红。在保证程度上，优先股排在债券和其它债务单据之后。但在普通股之前。三.普通股就象优先股那样，是一种拥有权的保证，然而它不向优先股那样