2.3等差数列的前n项和(高中数学人教a版必修五)

如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。,1.等差数列的定义：,2.通项公式：,3.重要性质:,复习,首项与末项的和： 1100101，,第2项与倒数第2项的和： 299 =101，,第3项与倒数第3项的和： 398 101，, ,第50项与倒数第50项的和：5051101，,于是所求的和是：,求 S=1+2+3+100=？,你知道高斯是怎么计算的吗？,高斯算法：,高斯算法用到了等差数列的什么性质？,高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？,高斯（1777-1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。,高斯“神速求和”的故事:,如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。,即求：S=4+5+6+7+8+9+10.,高斯算法：S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 143+7=49.,还有其它算法吗？,情景2,S=10+9+8+7+6+5+4.,S=4+5+6+7+8+9+10.,相加得：,倒序相加法,怎样求一般等差数列的前n项和呢？,新课,等差数列的前n项和公式,公式1,公式2,结论：知 三 求 二,思考：,(2)在等差数列 中，如果已知五个元素 中 的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?,(1)两个求和公式有何异同点？,公式记忆, 类比梯形面积公式记忆,例1、计算：,举例,例2、,注：本题体现了方程的思想.,解：,例3、,解：,1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。,解：,巩固练习,解:,1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;,小结,3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.,已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式.,等差数列前n项和公式的函数特征：,特征：,知识拓展：,思考：,结论：,2.2.3 等差数列的前n项和,性质及其应用（上）,方法一：方程思想,方法二：,成等差数列,等差数列前n项和性质：,(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列),等差数列前项和的最值问题：,练习1、已知一个等差数列中满足,解：,方法一,练习,解：,方法二,对称轴 且更接近9，所以n=9.,练习1、已知一个等差数列中满足,等差数列前n项和,性质以及应用（下）,等差数列奇，偶项和问题,1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差,分析：方法一：直接套用公式； 方法二：利用奇数项与偶数项的关系,解：方法一：,练习,1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差,解：方法二：,2、已知一个等差数列中d=05，,分析：还是利用奇数项和偶数项之间 的关系，相差一个公差d.,解：设,1.定义：an-an-1=d（d为常数）（n2）,3.等差数列的通项变形公式：an=am+（n-m）d,2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d,4.数列an为等差数列，则通项公式an=pn+q (p、q是常数),反之亦然。,8.推论: 在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即,9. 数列 前n项和:,10.性质：若数列 前n项和为 ，则,12.性质: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列.,1倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的,（1）、已知,2裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,求数列前n项和方法之一：裂项相消法,求数列前n项和方法之一：裂项相消法,数 列,基本概念,基本数列,求和,应用,数列定义及分类,数