《维随机向量的分布》PPT课件

2020/5/22,1,第三章随机向量,二维随机向量的分布随机向量的数字特征二维正态分布大数定律与中心极限定理n维随机向量,2020/5/22,2,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.,它是第二章内容的推广.,2020/5/22,3,变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维,随机向量。,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性,随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布,3.1二维随机变量的分布,质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此,必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维,函数的概念.,一、二维随机向量及其联合分布,2020/5/22,4,定义1设(X，Y)为二维随机向量,对于任意x，,称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合,y，二元函数,分布函数.,注1)联合分布函数,的概率意义：,图1,下方的无穷矩形的概率.,是随机点,2020/5/22,5,2)设,2020/5/22,6,3)联合分布函数F(x,y)的基本性质：,（1）F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,固定x,（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x和y右连续.,2020/5/22,7,例1已知二元函数,问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分,布函数?,解:由于,所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分,布函数.,2020/5/22,8,二、离散型随机向量的联合分布律,定义2如果二维随机向量的每一个分量X和Y,为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。,型随机向量。若(X，Y)的所有可能值为,都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散,2020/5/22,9,离散型随机向量的联合分布律,2020/5/22,10,2020/5/22,11,例2袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，,试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的,取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：,联合分布律。,2020/5/22,12,离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:,1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得,3.列出联合概率分布表.,值对的概率;,2.利用古典概型或概率的性质计算每个数,到(X,Y)的所有取值数对;,2020/5/22,13,例3设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，,求(X1,X2)的联合概率分布。,2020/5/22,14,例4把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三,次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出,解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为,P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8,P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8,P(X=2,Y=0)=0,P(X=3,Y=0)=1/8,(X,Y)的概率函数.,现次数与反面出现次数之差的绝对值，求,0,1,2,3.,P(X=0,Y=0)=0,P(X=0,Y=i)=0,i=1,2,P(X=1,Y=0)=0,P(X=1,Y=i)=0,i=2,3;,P(X=2,Y=1)=3/8,P(X=2,Y=i)=0,P(X=3,Y=i)=0,i=1,2,3,2020/5/22,15,2020/5/22,16,三、连续型随机向量的联合密度函数,定义3对于二维随即向量(X,Y)的分布函数,，如果存在一个非负可积函数f(x,y),使得对于,称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称,f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密,度函数，记作(X，Y)f(x,y).,注f(x,y)的基本性质：,2020/5/22,17,若(X，Y)f(x,y),D是平面上的一个区域，则随机点(X,Y)落在,区域D上的概率记作:,2020/5/22,18,连续型二维随机向量(X，Y)的联合分布函数,的概率意义是：以曲面f(x,y)为顶面，以(x,y),为顶点的无穷矩形区域为底面的曲顶柱体的体积。,2020/5/22,19,例5设随机向量（X，Y）的联合密度函数为：,试求：(1)常数A；,其中D是如图1的阴影部分；,（3）(X,Y)的联合分布函数F(x,y).,2020/5/22,20,例6设随机向量(X，Y)的联合密度函数为：,其中ab,cd,求常数A。,这就是二维均匀分布。,由此可将二维均匀分布推广：,其中S(D)是平面上一个可以度量的有界区域D,匀分布。,的面积，则称随机向量(X,Y)服从区域D上的均,2020/5/22,21,三、边缘分布,定义4二维随机向量(X,Y)中的每个随机变量X，,Y的分布，称为随机向量(X,Y)的边缘分布。即,由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各,自的分布函数,因此有：,2020/5/22,22,例7设二维随机变量(X，Y)的分布函数为,称此分布为二维指数分布,其中参数,2020/5/22,23,注意边缘分布与参数无关！这说明研究多维,正是整体的涌现,它反映了X与Y之间存在着,们作为一个整体来研究.,随机变量,仅仅研究边缘分布是不够,而必须将他,的某种关系.,(1)离散型随机向量的边缘分布,由于,2020/5/22,24,故关于X的边缘分布律为:,同理关于Y的边缘概率密度为,可以将联合分布律与边缘分布律写成下述形式:,2020/5/22,25,例8设二维随机变量的分布律为,解由,解得,2020/5/22,26,例9设(X,Y)的联合概率分布表为:,Pi.0.250.40.35,p.j,0.25,0.5,0.25,求:X,Y的边缘分布;,解:由分析得:,2020/5/22,27,(2)连续型随机向量的边缘分布,所以,关于的边缘概率密度为:,同理,关于的边缘概率密度为:,2020/5/22,28,例10设的概率密度为,求1)常数;,(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正,方形内概率;,5)边缘密度函数,2)联合分布函数;,2020/5/22,29,解1),2020/5/22,30,2),2020/5/22,31,3),2020/5/22,32,设D为如图所示的单位正,(1,1),方形区域,则所求的概率为,2020/5/22,33,5),同理,2020/5/22,34,例11设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：,求边缘密度函数。,20