第六章弯曲变形

,第六章弯曲变形,材料力学,6梁的位移,弯曲变形,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件）。,M,弯曲后梁的轴线（挠曲线）,1.挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移。向上为正，反之为负。,2.转角：横截面绕其中性轴转过的角位移。逆时针转动为正，反之为负。,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,6-2梁的挠曲线近似微分方程,二、挠曲线方程：变形后，梁的轴线变为光滑连续曲线。其方程为：=f(x),三、转角与挠曲线的关系：,弯曲变形,小变形：,四、挠曲线近似微分方程,弯曲变形,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,1.微分方程的积分,弯曲变形,6-3用积分法求弯曲变形,转角方程,挠度方程,支座位移条件：,连续条件：,光滑条件：,弯曲变形,2.位移边界条件,讨论：适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。,弯曲变形,例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC段：,CB段：,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC段：,CB段：,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,5）确定转角方程和挠度方程,AC段：,CB段：,6）确定最大转角和最大挠度,令得，,令得，,材料力学,叠加法前提,小变形,力与位移之间成线性关系,挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系,轴向位移忽略不计。,6-4按叠加原理求梁的挠度与转角,设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：,所以，,7-4,故,由于梁的边界条件不变，因此,结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,材料力学,第一类叠加法,叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度或转角，等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度或转角的代数和。,应用于多个载荷作用的情形,例已知：q、l、EI，求：C,B,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,例怎样用叠加法确定C和C?,材料力学,材料力学,材料力学,材料力学,第二类叠加法逐段刚化法,将梁的挠曲线分成几段，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。然后分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角），最后计算其总和，即得需求的位移。,例：,怎样用叠加法确定C?,材料力学,F,+,1）考虑AB段(BC段看作刚体),F作用在支座上，不产生变形。,Fa使AB梁产生向上凸的变形。,查表得：,则,材料力学,2）考虑BC段(AB段看作刚体),所以,变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度c.,材料力学,刚度条件：,许可挠度，许可转角,工程中，常用梁的计算跨度l的若干分之一表示，例如：,桥式起重机梁：,一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,梁的刚度校核,例下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，规定C点的/L=0.0005,B点的=0.001弧度,试校核此杆的刚度。,=,+,+,=,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单载荷变形。,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,弯曲变形,6-5简单超静定梁,处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程，求全部未知力。,解：建立基本静定系,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构基本静定系。,=,弯曲变形,A,B,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,A,B,例画梁的剪力图和弯矩图,=,弯曲变形,A,B,几何方程变形协调方程,另解,即,得,几何方程变形协调方程：,解：建立基本静定系,=,例结构如图，求B点反力。,LBC,弯曲变形,C,=,+,=,LBC,弯曲变形,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力