材料力学课件 扭转

3-1扭转的概念和实例3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图3-3纯剪切3-4圆轴扭转时的应力3-5圆轴扭转时的变形,3-1扭转的概念和实例,1受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。2变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的构件称为轴。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。,3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图,直接计算,1外力偶矩,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知轴转速n转/分钟输出功率P千瓦求：力偶矩Me,例3-2-1传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。,解：计算外力偶矩,2扭矩与扭矩图,扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）,T称为截面n-n上的扭矩。,用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。,注意,扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目的,x,T,例3-2-2计算例3-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。,解：已知,477.5Nm,955Nm,637Nm,作扭矩图如左图示。,例3-2-3已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,求扭矩（扭矩按正方向设）,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,3-3纯剪切,薄壁圆筒：壁厚,（r：为平均半径）,1实验：,实验前：,绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶m。,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,2实验后：,圆周线不变；纵向线变成斜直线。,3结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4与的关系：,微小矩形单元体如图所示：,5薄壁圆筒剪应力大小：,A：平均半径所作圆的面积。,二、切应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,三、切应变剪切胡克定律,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,T=m,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。,平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。,3-4圆轴扭转时的应力,一、等直圆杆扭转实验观察：,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1.变形几何关系：,距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。,扭转角沿长度方向变化率。,T,2.物理关系：,虎克定律：代入上式得：,3.静力学关系：,令,代入物理关系式得：,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4.公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,单位：mm4，m4。,尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O,O,d,应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,确定最大剪应力：,由,知：当,Wt抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。,对于实心圆截面：,对于空心圆截面：,三、强度条件,强度条件：，t许用切应力；,轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。,理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力t与许用正应力之间存在下述关系：,对于塑性材料t(0.5一0.577)对于脆性材料，t(0.81.0)l式中，l代表许用拉应力。,强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kNm。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。,解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得,(2)利用精确的扭转理论可求得,例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。,解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、D1，最大许可扭矩为1,例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。,解：计算截面参数：,由强度条件：,故轴的强度满足要求。,同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。,空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：,由上式解出：d=46.9mm。,若将空心轴改成实心轴，仍使,，则,例3-4-4：功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力=30MPa,试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,x,3-5圆轴扭转时的变形,一、扭转时的变形,由公式,知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为,对于阶梯轴，两端面间相对扭转角为,二、单位扭转角：,或,三、刚度条件,或,GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。,称为许用单位扭转角。,刚度计算的三方面：,校核刚度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,例3-5-1：图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA180Nm，MB320Nm，MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。,解：1扭转变形分析,利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分别为：T1180Nm，T2-140Nm,设其扭转角分别为AB和BC，则：,各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。,由此得轴AC的总扭转角为,2刚度校核轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：,可见，该轴的扭转刚度符合要求。,例3-5-2：长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,由扭转刚度条件校核刚度,解：设计杆的外径,代入数值得：,D0.0226m。,40Nm,x,T,右端面转角为：,例3-5-3：某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，=70MPa，=1/m，试确定：AB段直径d1和BC段直径d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与