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相交线与平行线复习及练习题相交线与平行线复习及练习题 2 2、知识点梳理知识点梳理 一、知识定义一、知识定义 邻补角：邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个 角是邻补角。 对顶角：对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角 互为对顶角。 垂线：垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 平行线：平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 同位角、内错角、同旁内角：同位角、内错角、同旁内角： 同位角：1 与5 像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位 角。 内错角：2 与6 像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：2 与5 像这样的一对角叫做同旁内角。 命题：命题：判断一件事情的语句叫命题。 平移：平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫 做平移平移变换，简称平移。 对应点：对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到 的，这样的两个点叫做对应点。 三、定理与性质三、定理与性质 对顶角的性质：对顶角的性质：对顶角相等。 垂线的性质：垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 平行公理：平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行。 平行线的性质：平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等。 性质 2：两直线平行，内错角相等。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定：平行线的判定： 判定 1：同位角相等，两直线平行。 判定 2：内错角相等，两直线平行。 判定 3：同旁内角相等，两直线平行。 三、经典例题三、经典例题 题型一 互余与互补 例1 一个角的余角比它的补角的少20.则这个角为（ ） A.30 B.40 C.60 D.75 分析 若设这个角为x，则这个角的余角是90x，补角是180x，于是构 造出方程即可求解. 解 设这个角为x，则这个角的余角是90x，补角是180x. 则根据题意，得(180x)(90x)20.解得：x40.故应选B. 1 2 说明 处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常 情况下不要引进未知数，构造方程求解. 题型二 平行线的性质与判定 例2 判断题： 1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。 ( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 ( ) 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行” 。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ” 。 (4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等” 。 例3 已知：如图1，l1l2，150，则2的度数是（ ） A.135 B.130 C.50 D.40 分析 要求2的度数，由l1l2可知1+2180，于是由150，即 可求解. 解 因为l1l2，所以1+2180， 又因为150，所以2180118050130.故应选B. 说明 本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解. 例4 如图2，已知直线l1l2，140，那么2 度. 分析 如图2，要求2的大小，只要能求出3，此时由直线l1l2，得 31即可求解. 解 因为l1l2，140，所以1340. 又因为23，所以240.故应填上40. 说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解. 图3 例5 如图3，已知ABCD，130，290，则3等于（ ） A.60 B.50 C.40 D.30 分析 要求3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过2的顶点作 EFAB，由有1AEF，3CEF，再由130，290求解. 解 如图3，过2的顶点作EFAB.所以1AEF， 又因为ABCD，所以EFCD，所以3CEF， 而130，290，所以3903060.故应选A. 说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解. 例6 如图4，ABCD ，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，BEF的平分线交 CD于点G，若EFG72，则EGF等于（ ） A.36 B.54 C.72 D.108 分析 要求EGF的大小，由于ABCD ，则有BEF+EFG180， 2 1 图 2 图 1 F 图 3 E EGFBEG，而EG平分BEF，EFG72，所以可以求得 EGF54. 解 因为ABCD ，所以BEF+EFG180，EGFBEG， 又因为EG平分BEF，EFG72，所以BEGFEG54.故应选B. 说明 求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵 活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解. 课堂作业： 如图，已知，于D，为上一点，于ABCADBCEABEFBC F，交 CA 于G.求证./DGBA12 例7 已知：如图，ABCD，求证：B+D=BED。 分析：可以考虑把BED变成两个角的和。如图5，过E点引 一条直线EFAB，则有B=1，再设法证明D=2，需证 EFCD，这可通过已知ABCD和EFAB得到。 证明：过点E作EFAB，则B=1（两直线平行，内错角相等） 。 图 4 B D GF C A E A B E D C F ABCD（已知） ， 又EFAB（已作） ， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。 D=2（两直线平行，内错角相等） 。 又BED=1+2， BED=B+D（等量代换） 。 变式1已知：如图6，ABCD，求证：BED=360-（B+D） 。 分析：此题与例1的区别在于E点的位置及结论。我们通常所说的 BED都是指小于平角的角，如果把BED看成是大于平角的角，可以 认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线， 不难解决此题。 证明：过点E作EFAB，则B+1=180（两直线平行，同旁内角互补） 。 ABCD（已知） ， 又EFAB（已作） ， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。 D+2=180（两直线平行，同旁内角互补） 。 B+1+D+2=180+180（等式的性质） 。 又BED=1+2， B+D+BED=360（等量代换） 。 BED=360-（B+D） （等式的性质） 。 变式2已知：如图7，ABCD，求证：BED=D-B。 分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1 与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。 证明：过点E作EFAB，则FEB=B（两直线平行，内错角相等） 。 ABCD（已知） ， 又EFAB（已作） ， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。 FED=D（两直线平行，内错角相等） 。 BED=FED-FEB， BED=D-B（等量代换） 。 变式3已知：如图8，ABCD，求证：BED=B-D。 分析：此题与变式2类似，只是B、D的大小发生了变化。 证明：过点E作EFAB，则1+B=180（两直线平行，同旁内角互补） 。 ABCD（已知） ， 又EFAB（已作） ， EFCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。 FED+D=180（两直线平行，同旁内角互补） 。 1+2+D=180。 1+2+D-（1+B）=180-180（等式的性质） 。 2=B-D（等式的性质） 。 即BED=B-D。 例8 已知：如图9，ABCD，ABF=DCE。求证：BFE=FEC。 证法一：过F点作FGAB ，则ABF=1（两直线平行，内错角相等） 。 过E点作EHCD ，则DCE=4（两直线平行，内错角相等） 。 FGAB（已作） ，ABCD（已知） ， FGCD（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。 又EHCD （已知） ， FGEH（平行于同一直线的两条直线互相平行） 。 2=3（两直线平行，内错角相等） 。 1+2=3+4（等式的性质） 即BFE=FEC。 证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。 ABCD（已知） ， 1=ABF（两直线平行，内错角相等） 。 又ABF=DCE（已知） ， 1=DCE（等量代换） 。 BGEC（同位角相等，两直线平行） 。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等） 。 如果延长CE、AB相交于H点（如图11） ，也可用同样的方法证明（过程略） 。 证法三：（如图12）连结BC。 ABCD（已知） ， ABC=BCD（两直线平行，内错角相等） 。 又ABF=DCE（已知） ， ABC-ABF =BCD-DCE（等式的性质） 。 即FBC=BCE。 BFEC（内错角相等，两直线平行） 。 BFE=FEC（两直线平行，内错角相等） 。 题型三 尺规作图 例9 已知角和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角B，腰 长AB c，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹. 分析 要作等腰三角形ABC，使其底角B，腰长ABc，可以先作出底角 B，再在底角的一边截取BAc，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交 BP于点C，即得. 作法（1）作射线BP，再作PBQ； （2）在射线BQ上截取BAc； （3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C； （4）连接AC.则ABC为所求.如图6. 例10 如图7，已知AOB和射线OB，用尺规作图法作 AOBAOB（要求保留作图痕迹）. A OB BO 图 7 A D C D C 图 5 c A 图 6 c c B C P 分析 只要再过点O作一条射线OA，使得AOBAOB即可. 作法（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D； （2）以O为圆心，同样长为半径画弧，交OB于点D； （3）以D为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C； （4）过点OC作一条射线OA.如图7中的AOB即为所求作. 说明 在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了. 课后作业: 1、选择题 1下列说法中，正确的是（ ） A一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线; BP 是直线 L 外一点，A、B、C 分别是 L 上的三点，已知 PA=1，PB=2，PC=3，则点 P到 L 的距离一定是 1; C相等的角是对顶角; D钝角的补角一定是锐角. 2如图 1，直线 AB、CD 相交于点 O，过点 O 作射线 OE，则图中的邻补角 一共有（ ） A3 对 B4 对 C5 对 D6 对 (1) (2) (3) 3若1 与2 的关系为内错角，1=40，则2 等于（ ） A40 B140 C40或 140 D不确定 4如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（ ） 5a，b，c 为平面内不同的三条直线，若要 ab，条件不符合的是（ ） Aab，bc; Bab，bc; Cac，bc; Dc 截 a，b 所得的内错角的邻补角相等 6如图 2，直线 a、b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：（1） 1=5；（2）1=7；（3）2+3=180；（4）4=7，其中能 判定 ab 的条件的序号是（ ） A （1） 、 （2） B （1） 、 （3） C （1） 、 （4） D （3） 、 （4） 7如图 3，若 ABCD，则图中相等的内错角是（ ） A1 与5，2 与6; B3 与7，4 与8; C2 与6，3 与7; D1 与5，4 与8 8如图 4，ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，ED 平分BEF若 1=72，则2 的度数为（ ） A36 B54 C45 D68 (4) (5) (6) 9已知线段 AB 的长为 10cm，点 A、B 到直线 L 的距离分别为 6cm 和 4cm，则符合条件的直线 L 的条数为（ ） A1 B2 C3 D4 10如图 5，四边形 ABCD 中，B=65，C=115，D=100，则A 的度数为（ ） A65 B80 C100 D115 11如图 6，ABEF，CDEF，1=F=45，那么与FCD 相等的角有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12若A 和B 的两边分别平行，且A 比B 的 2 倍少 30，则B 的度 数为（ ） A30 B70 C30或 70 D100 二、填空题二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分把答案填在题中横线 上） 13如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即 ABDC） 如果C=60，那么B 的度数是_ 14已知，如图， 1=ABC=ADC，3=5，2=4，ABC+BCD=180将下 列推理过程补充完整： （1）1=ABC（已知） ， AD_ （2）3=5（已知） ， AB_, （_） （3）ABC+BCD=180（已知） ， _, （_） 16已知直线 AB、CD 相交于点 O，AOC-BOC=50，则 AOC=_度，BOC=_度 17如图 7，已知 B、C、E 在同一直线上，且 CDAB，若A=105， B=40，则ACE 为_ (7) (8) (9) 18如图 8，已知1=2，D=78，则BCD=_度 19如图 9，直线 L1L2，ABL1，垂足为 O，BC 与 L2相交于 点 E，若1=43，则2=_度 20如图，ABD=CBD，DFAB，DEBC，则1 与2的大小关系是_ 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤） 22 （7 分）如图，ABAB，BCBC，BC 交 AB于点 D，B 与B有什么关系？为什么？ 23 （6 分）如图，已知 ABCD，试再添上一个条件，使1=2 成立（要 求给出两个答案） 24 （6 分）如图，ABCD，1：2：3=1：2：3，说明 BA 平分EBF 的道理 25 （7 分）如图，CDAB 于 D，点 F 是 BC 上任意一点，FEAB 于 E，且 1=2，3=80求BCA 的度数 26 （8 分）如图，EFGF 于 FAEF=150，DGF=60，试判断 AB 和 CD 的位置关系，并说明理由 课堂作业答案： ,ADBC FEBC90EFBADB /EFAD23 22. AF.1DGF（对顶角/,31DGBA 12. 相等）又12 DGF2 DBEC（同位角相等，两直线平 行） DBAC（两直线平行，同位角相等） 又CD DBAD DFAC（内错角相等，两直线平行）AF(两直线 平行,内错角相等). 课后作业答案课后作业答案: : 1D 2D 点拨：图中的邻补角分别是：AOC 与BOC，AOC 与 AOD，COE 与DOE，BOE 与AOE，BOD 与BOC，AOD 与BOD，共 6 对，故选 D 3D 4C 5C 6A 7C 点拨：本题的题设是 ABCD，解答过程中不能误用 ADBC 这个条 件 8B 点拨：ABCD，1=72， BEF=180-1=108 ED 平分BEF， BED=BEF=54 1 2 ABCD，2=BED=54故 选 B 9C 点拨：如答图，L1，L2两种情况容易 考虑到，但受习惯性思维的影响，L3这种情况容易被忽略 10B 11D 点拨：FCD=F=A=1=ABG=45 故选 D 12C 点拨：由题意，知或 , 230 AB AB 180 , 23