对坐标的曲线积分ppt课件

,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动目录上页下页返回结束,对坐标的曲线积分,第十一章,1,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移,“分割”,“近似”,“求和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,机动目录上页下页返回结束,2,1)“分割”.,2)“近似”,把L分成n个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,机动目录上页下页返回结束,3,3)“求和”,4)“取极限”,(其中为n个小弧段的最大长度),机动目录上页下页返回结束,4,2.定义.,设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑,弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L称为积分弧段或积分曲线.,称为被积函数,在L上定义了一个向量函数,极限,机动目录上页下页返回结束,5,在空间曲线弧上的对坐标的曲线积分为:,称为,称为,类似地,机动目录上页下页返回结束,对y的曲线积分.,对x的曲线积分;,6,3.性质,(1)若L可分成k条与L同向的光滑曲线弧,(2)用L表示L的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,机动目录上页下页返回结束,7,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧L上有定义且,L的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,机动目录上页下页返回结束,注:,不一定小于,.,8,特别是,如果L的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,定理目录上页下页返回结束,9,例1.计算,其中L为沿抛物线,解法1取x为参数,则,解法2取y为参数,则,从点,的一段.,机动目录上页下页返回结束,10,例2.计算,其中L为,(1)半径为a圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取L的方程为,则,则,机动目录上页下页返回结束,11,例3.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,机动目录上页下页返回结束,12,例4.求,其中,从z轴正向看为顺时针方向.,解:取的参数方程,机动目录上页下页返回结束,13,三、两类曲线积分之间的联系,设L的参数方程为,则L的切向量为,机动目录上页下页返回结束,所以,所以L的切向量的方向余弦为,14,类似的，有,机动目录上页下页返回结束,则两类曲线积分有如下联系,15,例5.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L沿上半圆周,机动目录上页下页返回结束,所以L的切向量为,则L的切向量的方向余弦为,所以,因为L的方程为,16,1.定义,2.性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动目录上页下页返回结束,17,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动目录上页下页返回结束,18,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,机动目录上页下页返回结束,19,原点O的距离成正比,思考与练习,1.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,机动目录上页下页返回结束,20,2.已知,为折线ABCOA(如图),计算,提示:,机动目录上页下页返回结束,21,3.设曲线C为曲面,与曲面,从ox轴正向看去为逆时针方向,(