导数的四则运算.ppt

,函数的和、差、积的导数,一、复习回顾：,3.常见函数的导数公式:,2.求函数的导数的方法是:,1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.,练一练:求下列函数的导数(1)y=100(2)y=x5,利用函数的导数公式，得,(3)y=4x2+3x,(4)y=4x2-3x,?,二、新课讲授：,1.和(差)的导数:,练一练:求下列函数的导数,(1)y=5x2-4x+1,(2)y=-5x2+3x+7,(4)y=(2+x)(3-x),(5)y=(2x-1)(3x+2),(3)y=x2-cosx,2.积的导数:,因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时,v(x+x)v(x).从而:,即:,推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:,小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了.,(轮流求导之和),例1,(1)y=(2+x)(3-x),(2)y=(2x2+3)(3x-2),课本p119练习,例:求下列函数的导数,Y=(x+1)(x+2)(x+3),猜想:函数f1(X)f2(x)f3(x)fn(x)的导数,讨论函数f1(x)+f2(x)+f3(x)+fn(x)的导数并证明.,例求曲线y=2x+x3在x=-1处的切线方程,y=5x+2,例4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点,而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点为A(2,-12).,练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.,解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,五、课堂小结：,1:充分掌握函数的四则运算的求导法则；,2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略；,3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论来求解解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来.,例7已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.()a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;()若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(2003天津高考(文)题),()解:函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12;,函数y=-x2+a的导数y=-2x,曲线C2在点Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即y=-2x2x+x22+a.,如果直线l是过P和Q的公切线,则式和式都是l的方程.,若判别式=442(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合.,即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由得公切线方程为y=x-1/4.,()证:由()可知:当a-1/2时C1和C2有两条公切线.,设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有:,所以公切线段PQ和PQ互相平分.,四、课堂练习：,1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.,解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).,故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).,事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.,2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行于l1的另一条切线为l2.(1)求l1、l2的方程;(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线l3、l4的方程.(3)求l1、l2、l3、l4所围成的平行四边形的面积.,答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.,(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.,(3).9/8.,六、作业布置：,1、课本P38习题2.3No.1、；2、；3；5.,三、例题讲解：,答案:,常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数,两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差;,就是说：,导数运算法则：,（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）,(上导乘下,下导乘上,差比下方),例2(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)即不充分也不必