第二章多元正态分布及其抽样分布

第二章多元正态分布及其抽样分布,内容,第一节多元正态分布的定义第二节多元正态的性质第三节多元正态参数的极大似然估计第四节多元正态的样本分布,第一节多元正态分布的定义,一、标准多元正态分布,则,设随机向量,其分量独立同分布于,密度函数为,其中的,均值为,协方差矩阵为,二、一般的正态分布,设随机向量,若其的密度函数为,其中的均值为,协方差为,称服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。,三、一般的p维正态和p维标准正态的关系,设，其中是一个阶非退化矩阵，服从维标准正态分布，则,服从p维正态分布，且均值向量为,x的协方差矩阵为,其密度函数为,若，则1存在，是非退化元正态分布；,若，则不存在，是退化元正态分布，不存在密度函数。,值得注意,设随机向量，是常数向量，是一个的常数矩阵，则服从正态分布，记为，其中,例：设随机向量，则的分布是退化的三元正态分布。,第二节多元正态分布的性质,二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何线性函数服从一元正态分布。,一、多元正态分布的特征函数,三、X服从维正态分布，则，其中为常数矩阵，为维的常数向量，则,四、设，则的任何子向量也服从多元正态分布，其均值为的相应子向量，协方差为的相应子矩阵。,五、设,，相互独立，且，则对任意个常数，有,六、，则分布。,七、将作如下的分块：子向量相互独立，当且仅当。证：必要性,八、设，其中是阶矩阵，是阶矩阵，则与相互独立，当且仅当。,九、设，其中是阶矩阵，是阶矩阵，则与相互独立，当且仅当。,同上可证。,十、将作如下的分块：,则与相互独立，与相互独立。,证：,则给定时的条件分布为，其中,十一、将作如下的分块：,为给定的条件下数学期望。,十二、偏相关系数,矩阵称为条件协方差矩阵，它的元素用表示。是当给定的条件下，与（）的偏相关系数，定义为,它度量了在值给定的条件下，与（）相关性的强弱。,例设XN6(,)，其协方差矩阵为，计算偏相关系数。,求x7给定的条件下，x1，x6的偏协方差矩阵,3实例分析及SAS/CORR,例1今对31人进行人体测试，考察的7个指标是：x1：年龄x2：体重x3：肺活量x4：1.5英里跑所需时间x5：休息时的脉搏x6：跑步时的脉搏x7：跑步时记录的最大的脉搏对这些指标进行一些相关分析。,SAS的程序dataa;inputx1-x7;cards;4489.4744.60911.37621781824075.0745.31310.07621851853889.0249.8749.2255178180474861.2447.92011.50521701765282.7847.46710.5053170172;proccorrnosimplcov;varx1;withx7;partialx3;run;,proccorrnosimplcov;分析相关系数nosimpl是要求不打印描述性统计量。,varx1;指定分析相关系数的变量。,withx7;with指定变量与var指定的变量之间的相关系数。,partialx3;当指定的变量给定时，计算偏相关系数。,在肺活量一定的条件下，年龄和跑步时记录的最大脉搏成负相关,1PartialVariables:x31WithVariables:x71Variables:x1PartialCovarianceMatrix,DF=29x1x7-24.95076704PearsonPartialCorrelationCoefficients,N=31Prob|r|underH0:PartialRho=0 x1x7-0.545730.0018,第三节极大似然估计及其性质,则总体的密度函数为,X1，X2，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，X2，Xn相互独立，且同正态分布,称X为样本数据矩阵。,一、样本的联合密度函数,为样本联合密度函数。,所以，似然函数还可以表示为：,二、和的极大似然估计,所谓和的极大似然估计，是寻找和满足条件,令,可以证明和的极大似然估计为,三、相关系数的极大似然估计,（一）极大似然估计的不变性质设是的极大似然估计是，而且变换f()是一一对应的，则f()的极大似然估计就是,（二）简单相关系数的极大似然估计,其中Sij是样本协方差矩阵S中相应位置上的元素,（三）偏相关系数的极大似然估计,则偏相关系数的极大似然估计,其中,，,。,（四）复相关系数的极大似然估计,将x和S作如下的分块,的线性函数为,定义(复相关系数),一个变量y与一组变量X1,X2,XK的负相关系数是以y为被解释变量，X1,X2,XK为自变量的回归方程的可决系数。,为了研究四川经济增长的影响因素，欲建立四川省经济增长模型。主要经济指标采用国内生产总值增长率（Y），投资指标资本形成总额增长率（X1），人口指标用自然增长率（X2），就业指标失业率（X3）和消费指标居民消费水平增长率（X4）。分析指标之间的关系。,dataa;inputyx1-x4;cards;数据行;proccorrnosimplnoprobcov;run;,prociml;sigma22=76.586056192.59407381-3.4580761949.03157071,2.594073815.14447619-0.782523814.24046429,-3.45807619-0.782523813.63747619-2.32063571,49.031570714.24046429-2.3206357153.90793143;sigma12=57.790535244.91975476-2.9884452452.41117214;fcorr=sigma12*inv(sigma22)*t(sigma12)/54.8989690;printfcorr;procreg;modely=x1-x4;run;,AnalysisofVarianceSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePrFModel41089.28592272.32148501.20FWilksLambda0.545616206.874330.0004PillaisTrace0.454383806.874330.0004Hotelling-LawleyTrace0.832790156.874330.0004RoysGreatestRoot0.832790156.874330.0004直接检验两个总体的均值向量是否相等。,DependentVariable:x1（对X1进行的检验）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel10.874667910.8746679116.900.0002Error361.863008400.05175023CorrectedTotal372.73767632X1在类间有显著性差异。,DependentVariable:x2（对X2进行的检验）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel10.083120770.083120771.950.1710Error361.533700280.04260279CorrectedTotal371.61682105X2在类间没有显著性差异。,DependentVariable:x3（对X3进行的检验）SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePrFModel116.4695844316.4695844321.45FModel10.001126940.001126940.030.8643Error361.369780950.03804947CorrectedTotal371.37090789X4在类间没有显著性差异。,第四节抽样分布,一、维希特（Wishart）,1、定义随机矩阵的分布,矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列向量拉长，组成一个长向量,特别当是阶对称阵，则的分布为的下三角部分组成的长向量,在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了分布，在多元正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当于一元统计中的分布。,定义维希特（Wishart）分布的统计量,设个随机向量,独立同分布于，则随机矩阵,服从自由度为的非中心维斯特分布，记为。,定理1：若，且，则的分布密度为特别，当和时，服从分布。,维希特（Wishart）分布的密度函数,二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：,（1）若A1和A2独立，其分布分别和，则的分布为，即维斯特分布有可加性。,（2），C为mp阶的矩阵，则的分布为分布。,三、抽样分布,定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有,则有,证明：,独立,故,且相互独立。,独立,当，时，由卡方分布的定义可知,可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。,服从自由度为的卡方分布。,定理2设独立同正态分布，则统计量,证：,由于样本均值,相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为的卡方分布。,在一元正态的情形下，我们有样本的统计量当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差来代替总体的方差，则那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答时肯定的。,定义：,称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。,当时，服从自由度为n的中心霍特林分布，记为。,定理：,定理：设是来自多元正态总体的简单随机样本，有,定理：设是来自多元正态总体的简单随机样本，,设是来自多元正态总体的简单随