第03章电阻电路的一般分析(丘关源)

第三章电阻电路的一般分析,重点:1.支路电流法;2.网孔电流法;3.回路电流法;4.节点电压法。,（1-2）,对于简单电路，通过电阻串、并联关系或Y等效变换关系即可求解。如：,（1-3）,对于复杂电路仅通过串、并联无法求解，必须经过一定的解题方法，才能算出结果。如：,（1-4）,3.1电路的图一、电路的图,一个元件作为一条支路,若抛开元件性质，则：,有向图,元件串并联组合成一条支路,支路方向(电压电流的关联方向),图,（1-5）,二、图的定义(Graph，简称G)图G是结点和支路的集合，每条支路的两端连在相应的结点上。注意：a.图中的结点和支路各自是一个整体。b.若移去图中的任一条支路，与它所联接的结点要保留下来，因此允许有孤立结点存在。,c.如把某个结点移去，则与该结点联接的全部支路都要同时移去。,结论：n个结点的电路中,独立的KCL方程为n-1个。,3.2KCL和KVL的独立方程数一、KCL的独立方程数在某图的KCL方程组中，按独立结点列写的方程组就是独立KCL方程。,：i1i4i60：i1i2i30：i2i5i60：i3i4i50其中：0,或:上面任意三个方程相加减第四个方程。说明有一个方程重复,因此上图KCL独立方程(独立结点)有三个。,（1-7）,二、KVL的独立方程数1、名词解析(1)路径从一个节点到达另一节点所经过的支路。(2)连通图任意两节点间至少有一条路径时称为连通图。非连通图至少存在两个分离部分。例如：,加此路径后为连通图,非连通图,（1-8）,(3)回路(Loop)由支路构成的闭合路径。确切说：一条路径的起点和终点重合，且经过的结点都相异，则这条闭合路径就构成回路。,128457不是回路,235是回路,共有几个回路？,答：13个回路。,(4)独立回路列出的KVL组彼此之间不重复、彼此独立的回路。,（1-9）,(5)树T(Tree,简称T)树是一个包含电路的全部结点、不包含回路的连通图。注意：连通、包含所有节点、不含闭合路径,不是树,树,注意：对应同一个图有很多的树。,树支(简写bt)：构成树的支路。连支(简写bl)：树支以外的支路。,注意：树支的数目是一定的，比结点少一个。若：b支路数；n结点数则：树支数：btn1连支数：blb(n1),树,2578是树支1346是连支,(6)基本回路(单连支回路,简写l)在树中加入一条连支，该连支与若干条树支所组成的回路。,树,注意：1)基本回路具有独占的一条连枝的特点。用基本回路列出KVL彼此之间一定不会重复，彼此独立。因此基本回路一定是独立回路。2)独立回路数目=基本回路的数目=连支数。3)对于平面电路，独立回路数目=网孔数。,基本回路,2、KVL的独立方程数在某图的KVL方程组中，按独立回路列写的方程组就是独立KVL方程。,(127):u1+u2-u70(1)(235):u3-u5u20(2)(1357):u1+u3-u5-u70(3),上面任意两个方程相加减第三个方程。说明有一个方程重复,不是独立的。上图KVL独立方程有？根据前述知识：,结论：n个结点、b条支路的电路中独立KVL数目=独立回路数基本回路数b(n1),4个,（1-13）,3、电路的独立方程数任意一个n个结点、b条支路的电路中：独立的KCL数目：(n1)独立的KVL数目：b(n1)则该电路的独立方程总数为：(n1)b(n1)b问题：对于有n个节点、b条支路的电路，若需要求解各支路电流未知量共有b个,应怎求？列出(n1)个独立的KCL再列出b(n1)独立的KVL联立求解即可。,（1-14）,3.3支路电流法一、支路电流法以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。未知数：各支路电流。解题思路：根据克氏定律，列出独立节点电流方程和独立回路电压方程，然后联立求解。,（1-15）,2.列电流方程若电路中有n个节点,则可任选(n1)个节点,列出(n1)个KCL独立方程。本电路节点数n=4，只能列3个KCL方程。,二、支路电流法解题步骤,节点a：I3+I4=I1,节点c：I2=I5+I3,节点b：I1+I6=I2,例1,b,a,c,d,1.标定各支路电流(电压)及其参考方向;设网孔(或基本回路)绕行方向。,列支路电流法方程。,（1-16）,3.列电压方程选定b(n1)个独立回路，列出所有独立KVL方程。按基本回路列KVL。先画树,每一连支与若干树支组成基本回路一定是独立回路。按网孔列KVL。平面图中每个网孔就是一个独立回路。本电路有3个网孔，可列出3个KVL方程。,abda：I4R4+I1R1I6R6-U4=0,bcda：I2R2+I5R5+I6R6=0,adca：I4R4I5R5+I3R3U3+U4=0,（1-17）,4.联立方程组，求解得到b个支路电流；进行其它分析与计算。上述电压、电流方程联立求得：I1I6,I3+I4=I1I1+I6=I2I2=I5+I3I4R4+I1R1I6R6-U4=0I2R2+I5R5+I6R6=0I4R4I5R5+I3R3U3+U4=0,支路电流法的优缺点优点：能解决所有复杂电路缺点：电路中网孔、节点数多时，所需方程的个数较多，求解不方便。,（1-18）,n=4m=3,例2,支路中含有恒流源的情况,电流方程:a点：I1I3SI2b点：I4I5I2c点：I6I3SI4电压方程:,abda回路:I1R1I2R2I5R5Us0,bcdb回路:I4R4I6R6I5R50,abca:I2R2I4R4Ux0,结果:5个电流+1个电压=6个未知数,由6个方程求解。,+Ux-,列支路电流法方程。,若只求支路电流,可不要,（1-19）,电路中含有受控源的情况,有受控源的电路，方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量(支路电流)表示，列写增补方程。,解：节点a:I1I2+I3=0回路1:7I111I2-70+5U=0回路2:11I2+7I3-5U=0增补方程：U=7I3,例3,列支路电流法方程。,3.4网孔电流法网孔电流假想每个网孔中有一个网孔电流。方向可任意选择。,代数和中：网孔电流方向与该支路电流方向一致时取“”。图示支路电流可表示为：i1im1i3im2i2im2im1,任一支路电流流过该支路网孔电流的代数和。,可见:求出网孔电流后,便可方便地求出其余电电量。一、网孔电流法(适用于网孔较少的电路)以网孔电流为未知量列写KVL方程分析电路的方法。,二、网孔电流法的简单推导网孔1：R1i1R2i2uS1uS20网孔2：R2i2R3i3uS20将i1im1，i3im2，i2im2im1代入上两式，得：R1im1+R2(im1-im2)-uS1+uS2=0R2(im2-im1)+R3im2-uS2=0,整理得：(R1+R2)im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)im2=uS2,网孔电流法方程,（1-22）,例1,三、网孔电流法解题步骤,(1)在m个网孔中注明网孔电流名称并确定其绕行方向；,(2)以m个网孔电流为未知量，按网孔列写m个KVL方程。第k网孔KVL方程形式为:ikRkk+Rjkij=uSkk其中：,ik第k网孔电流;Rkk第k网孔所有电阻之和;ikRkk总是取“”。ij=第j网孔电流;Rjk=jk网孔之间的公共电阻之和;Rjkij代数和中:ij与ik方向一致时,Rjkij取“”。,（1-23）,uSkk第k网孔所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“”。(3)联立求解上述方程，得到m个网孔电流；(4)进行其它计算与分析。本题中共有3个网孔：,(R1+R4+R6)i1R6i2R4i3=U4R6i1+(R2+R5+R6)i2R5i3=0R4i1R5i2+(R3+R4+R5)i3=U3U4,（1-24）,理想电流源(恒流源)支路的处理若恒流源支路仅有一个网孔电流穿过，则该网孔电流=该恒流源电流。非上述情况时:引入恒流源电压(当恒压源处理)，增加恒流源电流与网孔电流的关系方程。,+-U,恒流源看作恒压源列方程,增补方程：,例2,解：网孔电流方向如图所示。(RS+R1+R4)im1-R1im2-R4im3=USR1im1+(R1+R2)im2=UR4im1+(R3+R4)im3=U,iSim2im3,列网孔电流方程。,（1-25）,例3,列网孔电流方程。,解：网孔电流方向如图所示。(R1+R2+R5)im1-R2im2-R5im3=USim2=-I3s-R5im1-R4im2+(R4+R5+R6)im3=0,转换,提醒：电阻并联的电流源，为减少回路，可先做电源等效变换后再列方程：,（1-26）,列网孔电流方程。,解:网孔电流方向如图所示。,+-,-+,U2,U3,增补方程：,例4,(R1+R3)i1-R3i3=-U2R2i2=U2-U3-R3i1+(R3+R4+R5)i3-R5i4=0-R5i3+R5i4=U3-U1,iS=i1-i2gU1=i4-i2U1=-R1i1,受控电源支路的处理先把受控源看作独立电源按上述方法列方程;再找出控制量与网孔电流的关系，列写增补方程。,（1-27）,网孔电流法解题要点总结(1)m个网孔的电路，可列m个网孔KVL方程；(2)第k网孔KVL方程形式为：ikRkk+Rjkij=uSkk其中：ik第k网孔电流；Rkk第k网孔所有电阻之和；ikRkk总是取“”。ij=第j网孔电流;Rjk=jk网孔之间的公共电阻之和;Rjkij代数和中：ij与ik方向一致时，Rjkij取“”。uSkk第k网孔所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“”。(3)某条支路电流流过该支路网孔电流的代数和。若流过该支路网孔电流方向与该支路电流方向一致时取“”。,3.5回路电流法(loopcurrentmethod)回路电流假想的电流。方向可任意选择。任一支路电流流过该支路独立回路电流的代数和。代数和中:若独立回路电流方向与该支路电流方向一致时取“”。一、回路电流法(适用于独立回路较少的电路)以独立回路电流(独立回路中的回路电流)为未知量列写KVL电路方程分析电路的方法。当以网孔为独立回路，取网孔电流为未知量时，称网孔电流法。所以，网孔电流法是回路电流法的特例。网孔电流法只适用于平面电路。而回路电流法适用于任何形式的电路。回路电流法(网孔电流法)与支路电流法相比，方程数减少(n1)个，为：b(n1),二、回路电流法的证明与网孔电流法相似。略。对于具有l=b-(n-1)个独立回路的电路，有:,其中iLk：k回路电流。Rkk：回路k的自电阻(取)。Rkk等于回路k中所有电阻之和。自电阻总为正。,R11iL1+R12iL2+R1LiLL=uS11R21iL1+R22iL2+R2LiLL=uS22RL1iL1+RL2iL2+RLLiLL=uSLL,Rjk:回路j、k之间的互电阻。互电阻正负号取法：当两个回路j、k之间的回路电流方向相同时，互电阻取正号“”；否则取负号“”。对于不含受控源的线性网络RjkRkj系数矩阵为对称阵。uSkk:回路k中所有电压源电压的代数和。uSkk正负号取法：当回路k中各电压源电压方向与该回路绕行方向一致时，取负号；反之取正号。可见：与支路电流法相比，方程数减少(n1)个，为：b(n1),（1-31）,三、回路电流法解题步骤,例1,(1)选定b-(n-1)个独立回路(可以先画树找出基本回路),注明回路电流名称并选择其绕行方向;,(2)以独立回路电流为未知量,按回路列写KVL方程。第k回路KVL方程形式为:ikRkk+Rjkij=uSkk其中：,ik第k回路电流;Rkk第k回路所有电阻之和;ikRkk总是取“”。ij=第j回路电流;Rjk=jk回路之间的电阻之和;Rjkij代数和中:ij与ik方向一致时,Rjkij取“”。,（1-32）,(R1+R4+R6)i1+(R1+R4)i2+R1i3=U4(R1+R4)i1+(R1+R2+R4+R5)i2+(R1+R2)i3=U4R1i1+(R1+R2)i2+(R1+R2+R3)i3=U3,uSkk第k回路所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“”。本题中共有3个独立回路：,(3)求解上述方程,得到b-(n-1)个回路电流；(4)进行其它计算与分析。,（1-33）,例2,为已知电流，实际减少了一方程,列出最简回路电流方程组。,(RS+R1+R4)i1-R1i2-(R1+R4)i3=USi2=iS-(R1+R4)i1+(R1+R2)i2+(R1+R2+R3+R4)i3=0,理想电流源支路的处理若恒流源支路仅有一个回路电流穿过,则该回路电流=该恒流源电流。非上述情况时:引入恒流源电压(当恒压源处理),增加恒流源电流与回路电流的关系方程。,（1-34）,i1=iS,增补方程：,例3,受控电源支路的处理先把受控源看作独立电源，并按上述方法列方程;再找出控制量与回路电流的关系,列写增补方程。,列出最简回路电流方程组。,R1i1+(R1+R2+R4)i2+R4i3=-U1,-R3i1+R4i2+(R3+R4+R5)i3-R5i4=0i4=gU1,U1=-R1(i1+i2),（1-35）,回路电流法解题要点总结(1)b-(n-1)个独立回路的电路，可列b-(n-1)个回路KVL方程;(2)第k回路KVL方程形式为：ikRkk+Rjkij=uSkk其中：ik第k回路电流；Rkk第k回路所有电阻之和；ikRkk总是取“”。ij=第j回路电流；Rjk=jk回路之间的电阻之和;Rjkij代数和中：ij与ik方向一致时，Rjkij取“”。uSkk第k回路所有恒压源电压的代数和。当uSkk与ik方向一致时，uSkk取“”。(3)某条支路电流流过该支路回路电流的代数和。若流过该支路回路电流方向与该支路电流方向一致时取“”。,（1-36）,3.6结点电压法(nodevoltagemethod)结点电压:任一独立结点与参考点之间的电压(位)差。方向规定为从独立结点指向参考点。参考点可任意选择。,uR2u1u2i1u1/R1i2(u1u2)/R2i3u2/R3,各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合。求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,1,2,一、结点电压法(适用于结点较少的电路)以结点电压为未知量列写KCL方程分析电路的方法。结点电压法独立方程数为：(n1),（1-37）,二、结点电压法的简单证明,列(n1)个独立KCL方程：1结点：i1+i2=iS1+iS22结点：i2+i3+i4=03结点：i3+i5=iS2,令各结点电压分别为un1,un2,un3,上面三个方程可变为:,（1-38）,整理，得：,等效电流源,（1-39）,整理，得：,令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为：,G11un1+G12un2G13un3=iSn1G21un1+G22un2G23un3=iSn2G31un1+G32un2G33un3=iSn3,标准形式的结点电压方程,等效电流源,G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1,其中：自电导Gii接在结点i上所有支路的电导之和(与恒流源串联的电阻除外)。总为正。互电导Gij结点i与结点j之间的所有支路的电导之和(与恒流源串联的电阻除外)。总为负。当电路不含受控源时，Gij=Gji系数矩阵为对称阵。,对于具有n个结点的电路，有(n1)个方程:,iSni结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,uSi/Ri、iSi流入结点取正号，流出取负号。结点电压法独立方程数为：(n1)与支路电流法相比，方程数减少b(n1)个。,（1-42）,(1)选定参考结点，标定(n-1)个独立结点；,三、结点电压法解题步骤,例1,列结点电压方程。,(2)以(n-1)个结点电压为未知量，按结点列写(n-1)个结点电压法方程；第k结点KCL方程形式为:ukGkk+Gjkuj=iSkk其中：,uk第k结点电压;Gkk与第k结点相连接的所有电导之和(与恒流源串联的电导除外);ukGkk总是取“”。uj=第j结点电压;Gjk=jk结点之间的总电导(与恒流源串联的电导除外);Gjkuj总是取“”。,（1-43）,(3)求解上述方程，得到(n-1)个结点电压；(4)求各支路电流、电压或进行其它分析。,(G1+G4+G5)un1-G5un2G4un3G1uS1+G4uS4-G5un1+(G5+G6)un2G6un3=iS2G4un1G6un2+(G3+G4+G6)un3=G3uS3G4uS4,iSkk第k结点所有恒流源电流的代数和。(恒压源与电阻串联恒流源与电阻并联,则恒流值=uSk/Rk)当uSk/Rk或iSk流入结点取“”。,本题共有3个独立结点：,与恒流源串接的电阻不参与列方程,例2,应用结点法求U和I。,理想电压源的处理