第十二章.动力学运动微分方程.ppt

第三篇.动力学,1.研究内容:建立物体运动状态变化与力的关系,研究运动状态变化的原因.进一步解决已知受力,如何确定物体的运动,或已知物体运动状态的变化,如何来确定作用在物体上的力,运动和受力的关系,2.质点.质点系.刚体:,.质点:具有一定质量的几何点.物体在以下两种情况下可看成质点:,物体尺寸远小于其运动范围,物体各点运动情况相同平动,.质点系:由许多相互联系着的质点组成的系统,.刚体:质点系中,任意两个质点之间的距离都保持不变.这样的质点系叫刚体.,第十二章动力学基本定律和质点运动微分方程,12.1动力学基本定律,1牛顿第一定律:(惯性定律),质点如不受外力的作用,将保持其原有的静止或匀速直线运动状态,定律内容:,定律的意义:,指出物体具有惯性(物体保持运动状态不变的性质惯性),定性地指出了力和运动状态发生变化之间的关系即力是产生加速度的原因,2.牛顿第二定律:(力与加速度的关系定律),定律内容:,质点受外力作用时,将产生运动加速度,加速度的方向与外力合力的方向一致,其大小与合力的大小成正比,与质点的质量成反比.,定律的数学形式:,F=ma,注意理解:,矢量性:力和加速度都是矢量;力的方向始终与加速度方向一致,瞬时性:加速度随力的产生而产生;随力的消失而消失;随力的变化而变化.,F(“受”.“外”.“合”):F是研究对象受到的力;F是外力,不是内力;F是所有作用于对象外力的合力,3牛顿第三定律(作用力,反作用力定律):,定律内容:,两物体之间的相互作用力,总是大小相等方向相反,沿着同一作用线且作用于两个物体上.,作用力.反作用力的特性:,作用力和反作用力性质相同:作用力如果是引力,那么反作用力也必然是引力;作用力为弹力,则反作用力也为弹力,作用力.反作用力总是同时产生,同时消失.,作用力和反作用力总是作用在不同的物体上,不会抵消.,4牛顿定律的适用范围,牛顿定律适用于惯性参考系,能使牛顿第一定律成立的参考系,称为惯性参考系.,(一般工程问题,以固结在地球或相对地球作匀速直线运动的物体上的坐标系作为惯性参考系.),例如:加速启动的汽车靠背对人有推力,对于惯性参考系(地面):推力导致人产生加速度这一现象可以用牛顿定律来研究,解释.,而对于非惯性参考系(加速的汽车):人受力但却相对汽车静止.无法用牛顿定律来解释这一现象.,牛顿定律适用于低速,宏观物体:,根据爱因斯坦的相对论,物体高速运动时,其长度和质量都有明显的变化,且这一运动过程所花的时间对于不同的参考系有不同的值,而对于微观物质的运动也只能用量子力学来研究,12.2质点运动微分方程,1质点运动微分方程的基本方程,由方程:ma=F,m(d2r)/(dt2)=F,2质点运动微分方程的直角坐标形式:,M,V,a,F,Y,X,在平面内取直角坐标系将式子ma=F两边分别投影到X.Y轴上得到,max=Xmay=Y,M,V,a,F,Y,X,其中:,ax=(d2x)/(dt2),ay=(d2y)/(dt2),m(d2x)/(dt2)=X,M(d2y)/(dt2)=Y,上式即为直角坐标下的质点运动微分方程,max=Xmay=Y,(X.Y为F在坐标轴上的投影),可以得到:,3质点运动微分方程的自然坐标形式:,如图:选择自然坐标形式,将动力学基本方程ma=F投影到该瞬时质点所在位置轨迹曲线的切线方向和法线方向上.得:,P,n,v,F,a,s,ma=Fman=Fn,m(d2s)/(dt2)=F,mv2/=Fn,由运动学:a=(d2s)/(dt2)an=v2/(s为弧坐标,为曲率半径),12.3质点动力学的两类问题,1已知质点的运动,求作用于质点的力,建立质点运动方程;,通过微分运算,求力在坐标轴上的投影;,由静力学的知识求力的大小,方向.,2.已知作用在物体上的力,求运动情况.,确定研究对象;,列运动微分方程,并积分;,由初始条件确定积分常数;,最后计算出特征量V0.a等,解题步骤:,确定研究对象,受力分析,运动分析,选取坐标系,第一类问题,由已知条件确定加速度,建立质点运动微分方程,解方程求未知力,第二类问题,将研究对象置于运动过程的一般位置,建立质点运动微分方程,进行积分运算求解,例1(第一类问题),如图:电梯以匀加速a上升.求放在电梯地板上重量为G的物体A对地板的压力N.,解:以物体A为研究对象作受力分析图:,A,a,A,N,G,a,Y,以物体A的位置为原点建立坐标轴Y,列运动微分方程may=Y(G/g)a=NGN=G(1+a/g),物体A对地板的压力N=N=G(1+a/g),A,a,讨论:物体A对地板的压力N=N=G(1+a/g),当电梯的加速度方向向上时,a0.N=G(1+a/g)G支持力超过重力超重,当电梯的加速度方向向下时,a0.N=G(1+a/g)G支持力小于重力失重,A,N,G,a,Y,当电梯静止时:支持力等于重力,例2,质量为1公斤的质点M用两根细绳系住,另一端分别固定在A.B,如图.已知质点M以速度v=2.5(m/s)在水平面内作匀速圆周运动,半径r=0.5(m)求两绳的拉力.,A,B,O,M,45,60,解:,解题思路.,本题是动力学第一类问题.因已知质点运动轨迹,采用自然坐标形式的运动微分方程.,A,B,O,M,45,60,1.质点M为研究对象,2.受力分析如图,W,TA,TB,v,n,r,3.运动情况分析,质点在水平面内匀速圆周运动,切向加速度为,a=dv/dt=0,an=v2/r,法向加速度指向O点,其大小为,4.建立M点的运动微分方程,F=ma=0Fn=man,TAsin45+TBsin60=mv2/r,A,B,O,M,45,60,W,TA,TB,n,r,由得:,在竖直方向;,TAcos45+TBcos60-W=0,联立求解得:,TB=7.38(N),TA=8.65(N),有一圆锥摆如图所示。摆锤质量为M，摆线长为L，质量不计。已知摆锤在水平面内作匀速圆周运动且摆线与铅垂线始终成的角试求小球的速度和摆线的拉力,解：题意分析将摆锤视为质点，由题意知，,其运动轨迹为一巳知圆，,其速度大小不变，,摆锤的加速度只有向心加速度，其方向为已知，大小为未知。,摆锤所受的力有已知重力和未知拉力,例3,要求的未知量，既有运动量，也有未知力，质点作曲线运动，故可利用质点运动微分方程亦自然轴上的投影式求解，其步骤如下：,an=V2/lsin,ab=0,(3)摆锤受力有已知重力mg，未知拉力T。,(1)取摆锤为研究对象。,(2)摆锤的加速度为,(4)由质点运动微分方程在自然轴上的投影式得,要求的未知量，既有运动量，也有未知力，质点作曲线运动，故可利用质点运动微分方程亦自然轴上的投影式求解，其步骤如下：,由质点运动微分方程在自然轴上的投影式得,man=m(V2/lsin)=Tsin,0=Tcos-mg,(5)解方程得:,重G=10公斤的物体A，随跑车以速度V0=1m/S沿桥式起重机的水平梁作匀速度运动。重物的重心A到悬挂点O的距离OAL4m，当跑车突然急刹车时，重物因惯性而绕悬挂点向前摆(图)，求钢组所受的最大拉力,例4,解(1)受力分析：取重物A为研究对象，并将它看成为质点。重物A受到重力G与钢绳拉力T作用(图)。,(2)运动分析：在刹车前，重物随同跑车以速度V0作匀速直线运动，刹车后重物沿以悬挂点o为圆心，OA=L为半径的圆弧向前摆动，因此，运动轨迹为已知。,(3)当重物摆到钢绳与铅垂线成角的任意位置时，取自然轴如图示，列运动微分方程,由此可见，跑车在吊车梁上匀速行驶时，重物处于平衡状态，钢绳的拉力就等于物体的重量G,当跑车刹车时，重物的运动状态发生变化，为了避免钢绳中产生过大的附加动拉力，应要求跑车行驶平稳，速度放慢，另外在不影响起吊等工作安全的条件下，吊绳应尽量长些以减小动荷系数。,如图所示，一粗糙平面的倾角为，以一水平加速度a0向右运动。如果一质点放于斜面上要保持相对静止，问质点和斜面之间的摩擦系数至少应为多少7,例5,解：题意分析本题要求质点相对于斜面保持静止，即要求质点与斜面具有相同的速度和加速度，因此质点的加速度为已知。根据静力学知。质点和斜面无相对滑动的条件是FfN，即fF/N，其中F为摩擦力，N为法向反力。因此，求摩擦系数f的最小值，即是求F/N的值。可见此题以质点为研究对象，属于动力学的第一类问题，即巳知运动求力的问题。其解题步骤如下：,(1)取质点为研究对象，如图所示。,(2)质点的加速度a=a。为巳知。,质点受已知重力mg，未知摩擦力F和法向反力N,取坐标轴x和y如图所示，由质点运动微分方程在x,y两坐标轴上的投影式可得,例5(第二类问题)质量为m的质点在已知力X=Hcost的作用下沿水平轴x运动，其中H与均为常数：当初瞬时t0时，XX0,VV0(图)。求此质点的运动规律。,例6,炮弹以初速V。与水平面成夹角发射，若不计空气阻力，求炮弹在重力作用下的运动方程。,解：题意分析炮弹可视为质点。要求质点的运动方程，必须先求出质点在任意时刻的加速度，然后根据质点的初始运动条件进行积分。质点的受力只有重力，因此质点加速度可求。此题为典型的第二类动力学问题。其解题步骤如下:,例7,(1)取炮弹为研究对象，并视为质点,(3)炮弹受巳知重力mg作用,(2)炮弹为自由质点，一般可在三维空间运动,取炮弹初始位置力坐标系oxyz的原点，如图所示。设炮弹任意时刻的坐标为(x,y,z)，则由质点运动微分方程的直角坐标式得,m(d2x/dt2)=0m(d2y/dt2)=0m(d2z/dt2)=-mg,d2x/dt2=0d2y/dt2=0d2z/dt2=-g,x=0y=0z=0,Vx=dx/dt=0Vy=dy/dt=V0cosVz=dz/dt=V0sin,当t=0时:(初始条件),(a),(b),(c),(5)解微分方程由式(a)，(b)，(c)中第一方程式得x=0即炮弹只在oyz铅垂面内运动.由(c)中第二方程式得,dy/dt=V0cos,分离变量，并考虑到初始条件，即式(b)中第二式，得:,y=V0tcos,