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4.1信号分解为正交函数,矢量正交与正交分解信号正交与正交函数集信号的正交分解,第四章傅里叶变换和系统的频域分析,一、矢量正交与正交分解,矢量正交的定义：指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为0。即,正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合,如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备.矢量A=(2，5，8)表示为A=vx+2.5vy+4vz,矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。,二、信号正交与正交函数集,1.信号正交：,定义在(t1，t2)区间的1(t)和2(t)满足,(两函数的内积为0),则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。,2.正交函数集：,若n个函数1(t)，2(t)，n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,3.完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)，2(t)，n(t)之外，不存在函数(t)(0）满足,则称此函数集为完备正交函数集。,例如：三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。,(i=1，2，n),三、信号的正交分解,设有n个函数1(t)，2(t)，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)C11+C22+Cnn,如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。,通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为,为使上式最小,展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为,即,所以系数,代入，得最小均方误差（推导过程见教材）,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的之和。,函数f(t
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