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文档简介
一、证明或判断数列为等差数列的方法1. 定义法 在数列中,若(为常数),则数列为等差数列例:已知正项数列的前n项和为,且满足() 证明:数列是等差数列 证明:由得 整理得 则 两式相减得 因为是正项数列,所以 所以,即 所以是首项为,公差为的等差数列 2.等差中项法 是等差数列 例:设数列的前n项和为,已知,且 其中A、B为常数 (1)求A与B的值 (2)证明数列是等差数列 解:(1)因为,所以 把,分别代入 得 解得:, (2)由(1)知 整理得 即 又 -得 即 又 -得 所以 所以,又 所以数列是首项为1,公差为5的等差数列 3.看通项与前n项和法(注:这些结论适用于选择题填空题)(1)若数列通项能表示成(,为常数)的形式,则数列是等差数列;(2)若数列的前n项和能表示成(,为常数)的形式,则数列是等差数列例:若是数列的前n项和,则是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,也是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列解析:根据(2)知等差数列,不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法 在数列中,若(为常数),则数列为等比数列例:设数列的首项,且 , 记,(1)求,(2)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论解:(1), (2), 所以, 猜想是公比为的等比数列 证明如下:因为 所以是首项为,公比为的等比数列例2:已知数列的首项,前项和为, ,证明数列是等比数列;解:由已知可得时两式相减得:,即,从而,当时,所以,又,所以,从而故总有,又,从而所以数列是等比数列 例3:设数列的前项的和为,且。(1) 设,求证:数列是等比数列; 证明:(1)时, , 又是首项为3,公比为2的等比数列。例4:设数列的首项,前项和满足关系,求证为等比数列。(错证)由题意:两式相减得: 即: 所以:为定值,所以为等比数列。由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件,从而忽略了的取值范围,导致证明不符合定义的完整性。正确的证明如下:时:两式相减得: 即:所以:(这只能说明从第二项开始,后一项与前一项的比为定值,所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明,以达到定义的完整性。)又因为时:即又因为,所以所以 所以 所以对任意都有为定值,所以为等比数列。总之,在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候,一定要注意下标的取值范围,不管是;还是还是其它的情况,都在考虑定义的完整性,确保任何的后一项与相邻前一项的差(比)为定值,如有不全面的地方须另外加以补充。2. 看通项与前n项和法(1) 若通项能表示成(,均为不为0的常数)的形式,则是等比数列(2) 若数列的前n项和能表示成(、均为不等于0的常数,且)的形式,
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