7讲 函数的值域与最值

1,第7讲函数的值域与最值,【2014年高考会这样考】1、理解函数的单调性、值域和最值的概念；2、掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.,2,1.函数的值域与最值(1)函数的值域是的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的.(2)函数的最值.设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：()对于任意的xI,都有f(x)M;()存在x0I,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的.类似地可定义f(x)的最小值.,函数值,定义域,最大值,考点梳理,3,2.基本初等函数的值域(1)一次函数y=kx+b(k0)的值域为.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值域：当a0时，值域为;当a0且a)的值域为.,R,+),-,),y|y0,(0,+),4,(5)对数函数y=logax(a0且a)的值域为.(6)正、余弦函数y=sinx(xR)、y=cosx(xR)的值域为;正切函数y=tanx(xk+,kZ)的值域为.,R,-1,1,R,5,3.求函数的值域（最值）常用的方法(1)二次函数用配方法.(2)单调性法.(3)导数法.(4)复合函数的值域由中间变量的范围确定.此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等.4.若f(x)为闭区间a,b上的连续函数，则f(x)在a,b上一定有最大、最小值.,6,1.函数y=3x(-1x3，且xZ)的值域是.,-3,0,3,6,9,由-1x3，且xZx=-1,0,1,2,3,代入y=3x，得所求值域为-3,0,3,6,9.,2.函数f(x)=(xR)的值域是(),A.(0,1)B.（0，1C.0，1)D.0,1,B,函数f(x)=(xR),所以1+x2,所以原函数的值域是(0,1.,考点自测,7,3.函数f(x)=x2-2x(x0,4)的最大值是，最小值是.,8,-1,f(x)=(x-1)2-1.当x=1时,f(x)min=-1;当x=4时，f(x)max=42-24=8.,4.函数f(x)=(x-12)的值域是.,(-,-2,当x=-1时，取最大值-2.,8,5.已知x0，y0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值为.,因为x+2y=1，x0，y0，所以02y10i，2x+3y2=3y2+2-4y=3(y-)2+，所以当y=时，(2x+3y2)min=3(-)2+=.,9,已知函数y=f(x)的值域为集合D，函数y=f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M、N、D的关系是(),考向一值域与最值的关系,例1,A.D=N，MB.MDNC.DN，MD.M、ND,D,10,不妨设f(x)=3x(-1x3，且xZ)，可知D=-3,0,3,6,9，M=9，N=-3，可知，A、B、C错误，选D.,1.函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素.2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数时，D=N，M，其中N=f(x)min，M=f(x)max.,11,考向二函数值域的求法,例2,求函数f(x)=cosx+lg(1-x2)的值域.,由1-x20，得f(x)的定义域为x|-1x1，且f(x)为偶函数，故可考虑0x0).(1)当0ab,且f(a)=f(b)，求证:+=2;(2)是否存在实数a、b(ab)使得函数y=f(x)的定义域、值域都是a,b；若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由.,首先化简函数解析式，判断函数的单调性，利用单调性求解，注意思维的严谨性和敏捷性，要数形结合，分类讨论.,热点突破1,21,(1)证明:因为f(x)=|1-|=-1(01),故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1,+)上是增函数，由0ab和-1=1-,得+=2.(2)假设存在这样的实数a、b（ab）使得函数y=f(x)的定义域、值域都是a,b.,22,当0ab1时，函数f(x)=-1在(0,1上是减函数，则f(a)=bf(b)=a,即-1=b-1=a，解得a=b，与0ab1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a、b.当1ab时，函数f(x)=1-在(1,+)上是增函数，,23,则f(a)=af(b)=b此时实数a、b为方程x2-x+