§7.3 离散时间系统的数学模型

7.3离散时间系统的数学模型差分方程,一、线性、时不变离散系统二、差分方程三、离散时间系统的模拟,返回,一、线性、时不变离散系统,(一）线性系统(二）时不变系统(三）因果系统(四）稳定系统,返回,系统功能的本质:是将输入序列转变成输出序列的运算（映射）。即：y(n)=Tx(n),运算关系,(一)线性系统,具有均匀（齐次）性、叠加性的系统称为线性系统。,返回,若：,（c1、c2为任意常数）,则有：,(二）时不变系统,整个序列右移N位,返回,如果：Tx(n)=y(n)，若有Tx(n-N)=y(n-N)；则称为时不变系统。,(三）因果系统,返回,系统的输出y(n)只取决于此时刻、以及此时刻以前的输入，即：x(n)、x(n-1)、x(n-2)。则称为因果系统。,若y(n)取决于x(n+1)、x(n+2)，即：系统的输出取决于未来的输入，这在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统。,因果系统的充要条件：h(n)0，n0）为步长，一般取步长h=1。,1.序列x(n)的前向差分,Dx(n)=x(n+1)-x(n)（一阶差分）,D2x(n)=Dx(n+1)-Dx(n)=x(n+2)-x(n+1)-x(n+1)-x(n)=x(n+2)-2x(n+1)+x(n)（二阶差分）,对于一个离散信号x(n)，差分运算有三种形式：,2.序列x(n)的后向差分,D3x(n)=x(n+3)-3x(n+2)+3x(n+1)-x(n)（三阶差分）,（k阶差分）,x(n)=x(n)-x(n-1)（一阶差分）,2x(n)=x(n)-x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2)（二阶差分）,（k阶差分）,3x(n)=2x(n)-2x(n-1)=x(n)-3x(n-1)+3x(n-2)-x(n-3)（三阶差分）,3.典型序列的差分（后向）,返回,u(n)=u(n)-u(n-1)=d(n),n=n-(n-1)=1,n2=n2-(n-1)2=2n-1,n2u(n)=n2u(n)-(n-1)2u(n-1)=(2n-1)u(n-1),4.差分的逆运算求和,典型序列的求和,（三）差分方程,a0(n)y(n)+a1(n)y(n-1)+.aN(n)y(n-N)=b0(n)x(n)+b1(n)x(n-1)+.bM(n)x(n-M),1.一般差分方程,表达式F(n,y(n),y(n),ky(n)=0或Q(n,y(n),y(n-1),y(n-k)=0称为未知序列y(n)的差分方程，F、Q是已知函数。,最前项变量减最后项变量n-(n-k)=k称为差分方程的阶数。,2.线性差分方程,其中ai(n)、bj(n)、x(k)，i=0,1,N;j=0,1,M;k=n-M,n。,返回,1）若，方程是N阶差分方程。,2）若ai(n),bj(n)是常数（与n无关），则方程或被描述的系统是时不变的。,3）若bj(n)=0，j=0,1,M，则方程是齐次差分方程。,a0(n)y(n)+a1(n)y(n-1)+.aN(n)y(n-N)=b0(n)x(n)+b1(n)x(n-1)+.bM(n)x(n-M),与微分方程的分类相对应，差分方程也可划分为线性的与非线性的、常系数的与参变系数的等。,一般情况下，线性、时不变离散时间系统需要由常系数线性差分方程描述。这也本课程所要讨论的。,（四）差分方程的建立,差分方程是处理离散变量函数关系的一种数学工具，其应用遍及许多科学领域，方程的建立与变量的选取因具体问题而异，方法多种多样。下面给出几种常用方法。,返回,1由系统框图列写差分方程2由微分方程导出差分方程3由实际问题直接得到差分方程,1由系统框图列写差分方程,解：,一阶后向差分方程,一阶前向差分方程,例7-3-1框图如图，写出差分方程,返回,y(n+1),y(n-1),2由微分方程导出差分方程,则后差形式为：,若取时间间隔为：T,y(t)：输出,x(t)：输入,对上述微分方程，若选用后差形式，则：,前差形式为：,若在t=nT各点取得样值，则：,n代表序号,当前输出,前一个输出,输入,返回,注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T要足够小，T越小，近似程度越好。实际上，利用计算机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。,3由实际问题直接得到差分方程,例7-3-2y(n)表示一个国家在第n年的人口数a(常数)：出生率b(常数):死亡率设x(n)是国外移民的净增数则该国在第n+1年的人口总数为：,y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n),=(a-b+1)y(n)+x(n),例7-3-3,如图所示电阻梯形网络，其各支路电阻都为R，每个结点对地的电压为v(n)，n=0,1,2,N。,已知两边界结点对地的电压为v(0)=E，v(N)=0。试写出第n个结点电压v(n)的差分方程。,解：,解：1）减序形式对任一结点n-1，如图所示，,运用KCL不难写出,经整理后得出：v(n)-3v(n-1)+v(n-2)=0,然后，利用边界电压条件v(0)=E，v(N)=0可求得v(n)。,2）增序形式对任一结点n+1，如图所示：,运用KCL不难写出,经整理后得出：v(n+2)-3v(n+1)+v(n)=0,然后，利用边界电压条件v(0)=E，v(N)=0可求得v(n)。,我们可以看出：无论是减序形式，还是增序形式，二者本质是相同的，不论采用何种形式列写差分方程均可以，二者之间相互转换也很简单。,例7-3-4,假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个,月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对的数目是多少。,解：设第n个月兔子对的数目是y(n)，第n个月兔子对的数目=第n-1个月的兔子对+第n个月新生的兔子对,根据题意，第n个月新生的兔子对，应等于第n-2个月兔子对的数目。,所以，y(n)=y(n-1)+y(n-2),已知y(0)=0，y(1)=1，y(2)=1,可以推知：y(3)=2，y(4)=3，y(5)=5，。,例7-3-5,一个乒乓球从H米高度自由下落至地面，每次,解：y(n)表示第n次跳起的最高值，每次弹跳起的最高值是前一次最高值的2/3。由题意可得：,弹跳起的最高值是前一次最高值的2/3。若以y(n)表示第n次跳起的最高值，试列写描述此过程的差分方程。,即：,例7-3-6,如果在第n个月初向银行存款x(n)元，月息为a,每月利息不取出，试用差分方程写出第n月初的本利和y(n)。,解：第n月初的本利和共由：本月存入、上月结余、上月利息三部分组成。由此可得：,即：,返回,(五)差分方程的特点,1、输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。,2、差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低序号差数为阶数。如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。,减序通式：,或（令a0=1)：y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+aNy(n-N)=b0 x(n)+b1x(n-1)+bMx(n-M),4、差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会画。,3、微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。,返回,增序通式：,或（令aN=1)：y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+a0y(n)=bMx(n+M)+bM-1x(n+M-1)+b0 x(n),三、离散时间系统的模拟,差分方程既然与微分方程形式相似，所以对于离散时间系统也可象模拟连续时间系统那样，用适当的运算单元联接起来加以模拟。,模拟离散时间系统的运算单元中，除加法器、标量乘法器及乘法器与模拟连续时间系统所用的相同外，关键的单元是延时器。延时器是用作时间上向后移序的器件，它能将输入信号延迟一个时间间隔（T）。延时器是一个具有记忆的系统，它能将输入数据储存起来，并于一个时间间隔T后在输出处释出。,模拟离散时间系统所用的延时器，相当于模拟连续时间系统所用的积分器。模拟方法与连续系统相似。,例如：设描述N阶离散时间系统的差分方程（增序）为：,y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+a0y(n)=bMx(n+M)+bM-1x(n+M-1)+b0 x(n),N阶离散时间系统的模拟图与N阶连续时间系统的模拟图的结构相同，只是前者用延时器代替后者的积分器而已。,使：q(n+N)+aN-1q(n+N-1)+a0q(n)=x(n)y(n)=bMq(n+M)+bM-1q(n+M-1)+b0q(n),其证明与连续时间系统的相同，这里不多赘述。,为此，与连续时间系统的模拟那样，引入辅助函数q(n)。,所示模拟框图中假定N=M。,延时器用D表示，与T、E-1、相同,增序模拟框图,又如：设描述N阶离散时间系统的差分方程（减序）为：,y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+aNy(n-N)=b0 x(n)+b1x(n-1)+bMx(n-M),同样，引入辅助函数s(n)。,使：s(n)+a1s(n-1)+a2s(n-2)+aNs(n-N)=x(n)y(n)=b0s(n)+b1s(n-1)+bMs(n-M),减序模拟框图,s(n),注意事项：,激励函数导数的阶数M一般小于响应函数导数的阶数N，但MN的情况还是存在。最简单的例子是加激励电压e(t)于无耗电容器，则响应电流为：,此式中N=0，M=1,对于离散时间系统