6圆锥曲线中的探索性问题

,专题提升演练,1. (2010湖南长沙一中月考九，理6) AB是某平面上一定线段，点P是该平面内的一动点，满足| | |2，| |2 ，则点P的轨迹是( )A.圆B.双曲线的一支C.椭圆的一部分D.抛物线答案：B,2.(2010福建厦门高三质量检查，7)已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线为l1、l2，过右焦点且垂直于x轴的直线与l1、l2所围成的三角形面积为( )A. B. C. D. 答案：D,3. (2010浙江杭州二模，理8)过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若|FM|2|ME|，则该双曲线的离心率为( )A.3B.2C. D. 答案：C,4. 已知定点A(1，0)， F(2，0)，定直线l：x ，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解：(1)设P(x，y)，则 2|x |，化简得x2 1(y0).,(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0)，与双曲线方程x2 1联立消去y得(3k2)x24k2x(4k23)0.由题意知，3k20，且0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2 ， x1x2 ，y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4k2( 4) .,因为x1，x21，所以直线AB的方程为y (x1).因此M点的坐标为( ， )， ( ， )，同理可得 ( ， )，,因此当直线BC与x轴垂直时，其方程为x2，则B(2，3)，C(2，3)，AB的方程为yx1，因此M点的坐标为( ， )， ( ， ).同理可得 ( ， ).因此 ( )( )( ) 0.综上， 0，即FMFN.故以线段MN为直径的圆过点F.,5. (2010安徽，理19) 已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e .(1)求椭圆E的方程；(2)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程；(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在，请找出；若不存在，说明 理由.,解：(1)设椭圆E的方程为 1，由e ，即 ，a2c，得b2a2c23c2.椭圆方程具有形式 1.将A(2，3)代入上式，得 1，解得c2，椭圆E的方程为 1.椭圆E的方程为 1.(2)解法一：由(1)知F1(2，0)，F2(2，0)，直线AF1的方程为y (x2)，,即3x4y60.直线AF2的方程为x2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数.设P(x，y)为l上任一点，则 |x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率为负，舍去).于是，由3x4y65x10得2xy10，直线l的方程为2xy10.解法二：A(2，3)，F1(2，0)，F2(2，0)， (4，3)， (0，3)., (4，3) (0，3) (1，2).kl2.l：y32(x1)，即2xy10.(3)解法一：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，BCl，kBC .设BC的中点为M(x0，y0)，则x0 ，y0 ，,由于M在l上，故2x0y010.又B，C在椭圆上，有 1与 1.两式相减，得 0，即 0，将该式写为 0，并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，得 x0 y00，,即3x02y00.2得x02，y03，即BC的中点为点A，而这是不可能的.不存在满足题设条件的点B和C.解法二：假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，则lBC，kBC .设直线BC的方程为y xm，将其代入椭圆方程 1，得一元二次方程3x24( xm)248，即x2mxm2120.则x1与x2是该方程的两个根.,由韦达定理得x1x2m，于是y1y2 (x1x2)2m ，BC的中点坐标为( ， ).又线段BC的中点在直线y2x1上， m1，得m4，即BC的中点坐标为(2，3)，与点A重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.,专题高效升级卷18 圆锥曲线中的探索性问题,一、选择题1.对于抛物线C：y24x，我们称满足y020)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是m、n，则 等于( )A.2aB. C.4aD. 答案：C,7.已知点P是双曲线 1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|F2M|_.答案：b2,8.已知抛物线y24x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y12y22的最小值是_.答案：329.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_.答案：yx,三、解答题10.我们把由半椭圆 1(x0)与半椭圆 1(x0)合成的曲线称作“果圆”，其中a2b2c2，a0，bc0.如图，点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点.,(1)若F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程.(2)当|A1A2|B1B2|时，求 的取值范围.解：(1)F0(c，0)，F1(0， )，F2(0， )，|F0F2| b1，|F1F2|2 1.于是c2 ，a2b2c2 ，所求“果圆”方程为 x2y21(x0)，y2 x21(x0).(2)由题意，得ac2b，即 2ba.,(2b)2b2c2a2，a2b2(2ba)2，得 c2a2b2， . ( ， ).,11.设b0，椭圆方程为 1，抛物线方程为x28(yb).如图所示，过点F(0，b2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.,(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程.(2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形?若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).解法一：(1)由 易得点G的坐标为(4，b2)，抛物线在点G处的切线方程为4x8( b)，又F1的坐标为(b，0)，4b8( b)，b1.椭圆方程为 y21，抛物线的方程为x28(y1).,(2)共有四个点.分别过A、B作x轴的垂线交抛物线于P1、P2，则得到两个直角三角形ABP1、ABP2.以AB为直径的圆显然与抛物线有两个交点P3、P4，则又得到两个直角三角形ABP3、ABP4.解法二：(1)由x28(yb)得y x2b.当yb2时，x4，G点的坐标为(4，b2).y x，y|x41，过点G的切线方程为y(b2)x4，即yxb2，令y0得x2b，F1点的坐标为(2b，0).,由椭圆方程得F1点的坐标为(b，0)，2bb，即b1.因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 y21和x28(y1).(2)过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，以PAB为直角的RtABP只有一个.同理，以PBA为直角的RtABP只有一个.若以APB为直角，设P点的坐标为 (x， x21)，则A、B坐标分别为( ，0)、( ，0).由 x22( x21)20，得 x4 x210，关于x2的一元二次方程有一解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个.因此抛物线上共存在4个点使ABP为直角三角形.,12.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线yx2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l： yc交于P，Q两点.,(1)若 2，求c的值.(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线.(3)试问(2)的逆命题是否成立？请说明理由.解：(1)设过C点的直线为ykxc.代入yx2得x2kxc0.令A(a，a2),B(b，b2)，则abc.因为 aba2b2cc22，解得c2，或c1(舍去).故c2.,(2)