有限元方法的发展及应用

有限元法的发展与应用摘要：有限元法是高性能常用的计算方法。 有限元法早期是依据变分原理发展起来的，广泛应用于拉普拉斯方程和泊松方程描述的各种物理场。 自1969年以来，有些学者在流体力学中应用加权馀数法中的加辽金法和最小二乘法等得到了有限元方程，因此有限元方法可以应用于任何微分方程记述的各种物理场，这种物理场与泛函的极值问题没有关系。 基本思想：成为由解给出的泊松方程式求解泛函的极值问题。1有限元法介绍1.1有限元法的定义有限元法(FEA，Finite Element Analysis )的基本概念是将复杂的问题转换成简单的问题来解决。 它是1950年代末至60年代初兴起的应用数学、现代力学和计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元方法的基本思想是求解域由称为有限元的小互连子域组成，假定每个单元都有适当的(相对简单的)近似解，求解整个域的条件(结构平衡条件等)并得到问题的解。 因为这个解不是正确的解，而是近似解，实际的问题取代了比较简单的问题。 许多实际问题难以得到正确的解，有限元不仅计算精度高，而且适应各种复杂的形状，成为有效的工程分析手段。 有限元法首先应用于工程科学技术，模拟解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。1.2有限元法的优缺点有限元法是目前解决科学和工程问题的最有效数值法，与其他数值法相比，具有任何几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、编程容易、成熟的大型商务软件多等优点。(1)概念清晰易懂，易于掌握，能够在不同理论层次建立对有限元方法的理解，能够通过非常直观的物理理解释进行理解，也能够基于严格的数学理论分析。(2)具有较强的适用性，应用范围极广。 它不仅能很好地处理线性弹性力学问题、费用平均材料、各向异性材料、非线性应变关系、大变形问题、动力学问题、复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的完善和改进，成功地解决了热传导、流体力学、电磁场等领域的各种线性、非线性问题。 他几乎适合解决所有连续媒体和市场问题，并且正在开始渗透进纳米级的分子动力学。(3)有限元法用矩阵形式表示，计算机软件制作容易。 这样，利用高速计算机提供的便利性，不仅能快速解决问题，而且规范了解决问题的方法，使软件商业化，为有限元法的推广和应用奠定了良好的基础。但是，在解决一些特殊问题，特别是间断问题时，有限元方法有其固有的缺陷。 例如(1)有限元采用连续的位移近似函数，对于裂纹类强的断续性问题，为了得到足够的计算精度，需要将网格进行充分细分，计算量极大。(2)采用拉格朗日法解决金属冲压成形、裂纹动态扩展、流固耦合、局部剪切等特大变形问题时，有限元网格发生大扭曲，计算精度急剧下降，计算可能无法继续，需要不断进行网格重构，计算量极大。 同时，为了模拟裂纹的动态发展过程，也需要继续进行网格重构。(3)处理夹杂问题时，单元的边必须位于夹杂与基体的界面，对于网格自动化程度高的二维问题也不容易，但三维问题更复杂。1.3有限元法的衍生有限元法作为数值法的基础方法，有一定的使用范围，一定的弊端决定不完全的通用性。 在有限元法的基础上，开发出具有其特殊使用范围的更准确派生数值法，下面介绍一些重要的数值法。1.3.1有限差分法在有限差分法(FDM，Finite Difference Method )发展的一些近似数值分析方法中，最初经常使用有限差分法，它能够处理相当困难的问题。 然而，在几何形状复杂的边界条件下，解的精度受到限制，并且变得更加困难。 有六十年代最重要的技术成果之一的单元法。 由于理论和工程的应用迅速发展，大多数经典力学解析方法无法解决的工程力学问题忧郁可以用有限元法来解决。 将连续求解域离散化为一组有限元，并分析模拟或近似求解域。 小区可以通过各种连接方法组合，并且小区本身可以具有不同的几何形状，以适应几何形状的复杂求解域。 有限元的另一个特征是用每个小区内的假定近似函数表示在整个求解区域中求出的未知场函数。 单元格中的近似函数可以由未知场函数在每个单元格节点处的数值和内插函数来表达，并且可以将未知场函数的节点值设定为新的未知量，将连续无限自由度问题设定为离散的有限自由度问题，并且可以在单元组件中确定场函数(只要节点知道该量)。 随着小区数量的增加，近似解收敛到正确解。 但是，有限元法总是需要大的存储容量，在无法计算的大的相邻界面上只能进行位移协调，因此对特异性问题(应力中断)的处理很麻烦。 这是有限元法的不足之处。1.3.2边界元法边界元法(BEM，Boundary Element Method )是有限元法后发展的比较准确有效的工程数值分析方法。 与有限元法在连续体区域内分割单元的基本思想不同，边界元法通过在定义区域的边界上分割单元，用满足控制方程式的函数近似边界条件，离散插值边界元素，转换为代数方程式。 降低了问题的维度，可以用比较简单的单元正确模拟边界形状，具有利用微分算子分析的基本解作为边界积分方程的核函数，将分析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。 边界元法的主要缺点是，由于其应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，难以应用于不均匀介质等问题，其应用范围远大于有限元法，且通常求解由此建立的代数方程的系数阵列是非对称全阵列，对问题的规模有很大限制。 上述两种数值方法的主要区别在于，边界元方法是“边界”方法，有限元方法是“区域”方法，但都是在连续介质中，只能得到某种载荷或边界条件下的稳定解。 节理裂隙发育的岩体和粒子分散体的处理非常麻烦，不能模拟大的变形、分离、旋转、崩解过程。 这是寻求模拟节理岩体和粒子分散体运动变形特性的有效数值方法。1.3.3离散元法离散元法(DEM，Distinct Element Method )是Cundall P A (1971 )首先提出的一种应用于岩土体稳定性分析的数值分析方法。 这是一种动态数值分析方法，可以模拟边坡岩体的非均质性、不连续性、大变形等特征，因此成为目前流行岩体稳定性分析的数值方法。 该方法在计算时，首先将边坡岩体分为若干刚性块(目前可考虑块的弹性变形)，根据牛顿的第二运动规律，结合不同的结构关系，考虑块受力后的运动及其受力状态和块运动的时间变化。 它允许块之间的平移、旋转以及母体的落下，结合CAD技术，可以在计算机上形象地反映边坡岩体中的应力场、位移、速度等力学参数的变化。 该方法适用于块状结构、层状破裂或一般崩解结构岩体。1.3.4广义有限元法广义有限元方法(GFEM，Generalized Finite Method )是传统有限元方法的思想扩展，基于单位分解法在节点中引入广义自由度，通过重新插值节点自由度，提高有限元方法的逼近精度，满足特定问题的特殊逼近要求。 基于广义有限元法深入研究小区形状函数结构理论，具有任意内部特征(空洞、夹杂、裂纹等)和外部特征(凹角、角点、棱边等)的复杂问题均用简单、与区域无关的有限元网格求解。1.3.5扩展有限元法扩展有限元(XFEM，Extended Finite Element Method )是在标准有限元方法框架下，为解决裂缝、孔隙、夹杂等断续问题而提出的数值方法。 在有限元的近似函数中添加反映所求问题的断续特性的附加函数项，采用水平集法(LSM )描述其间截面的几何特性及其运动规律。 扩展有限元的方法与标准有限元法相比，具有计算精度高、无需网格重建等特点。2有限元法的发展有限元法是R.Courant于1943年首次提出的。 提出有限元概念以来，有限元理论及其应用发展迅速。 过去不能解决或者可以解决，但是解决精确度低的问题，得到了新的解决办法。 传统FEM假设：分析域无限材料是同质的，在大多数分析中简化了材料被认为是各向同性的边界条件的处理。 但是，实际问题是分析域有限，材料的各向异性和边界条件难以确定等。 为了解决这些问题，比利时学者建议使用gfem (gener-alizedfiniteelementmethod )来解决分析域中包含许多孔特征的问题随着FEM应用领域的扩大，求解精度的提高，FEM也从分析向最优设计方向发展。 印度Mahanty博士采用ANSYS优化设计拖拉机前桥，不仅前桥自重减少了约40%，而且避免了生产过程中的大量焊接技术，降低了生产成本。FEM在国内的应用也非常广泛。 我国自开发国内首个通用有限元程序JIGFEX以来，有限元法渗透到工程分析的各个领域，从大型三峡工程到微米级元件都采用FEM进行分析，对我国经济发展有着广阔的发展前景。目前，在对大型复杂工程结构进行物理场分析时，基于后验误差估计的自适应有限元方法常用于估计和控制误差。 基于后处理法计算误差，与传统算法不同，网格自适应过程分为均匀和变密度两个迭代过程。 均匀化迭代过程中，以均匀网格尺寸对整体区域进行网格分割，得到适当的开始均匀网格，在变密度迭代过程中只进行网格细分操作，利用上次迭代的结果，在单元某曲边三角形区域内进行局部网格细分，保证全局网格尺寸分布的合理性，存在不同整体方案简单易行，稳定可靠，重复几次即收敛，生成的网格布局合理，质量高。2.1有限元法的国内外研究现状FEM作为求解数学物理问题的数值方法，已经经历了50多年的发展。 20世纪50年代，作为处理固体力学问题的方法出现了。 1943年，Courant首次提出了单元概念。 19451955年，Argyris等人在结构矩阵分析上取得了重大进展。 1956年，Turner、Clough等人将刚架位移法的想法应用于弹性力学平面问题。 1960年，Clough首先将解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”，描述为“有限元法=Rayleigh Ritz法切片函数”。 几乎同时，我国数学家冯康也独立提出了同样的方法。 FEM理论研究的重大进展引起了数学界的高度重视。 20世纪60年代以来，加强了FEM数学基础的研究。 例如大型线性方程式和模态问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。 FEM理论的研究成果为其应用奠定了基础，计算机技术的发展提供了条件。 70年代以来，SAP、ASKA、NASTRAN等通用有限元分析系统相继出现，这些FEA系统可以进行航天领域的结构强度、刚度分析，推动FEM在工程中的应用。 80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用，在中大型机上运行的FEA系统在其上运行，同时也出现了ANSYS-PC、NISA、SUPERSAP等通用FEA系统。 20世纪90年代以来，随着微机性能的显着提高，很多FEA系统被移植到微机中，出现了基于Windows的微机版FEA系统。 经过半个多世纪的发展，FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题的静力问题扩展到动力问题、稳定问题、波动问题的线性问题扩展到非线性问题的固体力学领域，从流体力学、热传递学、电磁学等其他连续介质领域的单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。 它经历了从低水平到高水平、从简单到复杂的发展过程，成为目前工程计算最有效的方法之一。2.2有限元法的网格划分发展有限元网格划分是有限元移动工程应用的中枢，是有限元法的一个非常重要的研究领域，经历了40多年的发展历史。 有限元网格分割算法研究中的一些难点问题始终没有真正的解决，这些解决对工程问题具有重要的现实价值和理论意义。 有限元分析的基本过程分为三个阶段：创建有限元模型(预处理)、有限元计算、结果处理和评估(后处理)。 经验指出，有限元分析的各阶段所需时间，模型的预处理为40%-45%，后处理为50%-55%，分析计算仅占5%左右，有限元建模占有限元分析的一半以上的工作量，达到80%。 因此，有限元分析的前后处理一直是有限元分析的瓶颈问题，显着阻碍了有限元分析技术的应用和发展。 许多学者总结了近30年有限元网格生成方法的研究，为一些重要分支领域的研究进展作出了贡献。 近年来，有限元网格生成方法的研究有两个显着特点： (1)经过一个演化过程，一些方法的研究和应用停滞，其他方法不断深入、完善和发展，适应性强，成为应用范围广泛的通用方法；(2)领域和主题扩大和深入，研究重点从二维平面问题到三维曲面和三维实体问题三有限元法的应用有限元法首先应用于解决结构平面问题，发展迄今为止从二维问题到三维问题、板壳问题、静力学问题到动力学问题、稳定性问题、结构力学到流体力学、电磁学、传热学等学科，从线性问题到非线性问题，从弹性