直线与圆相交弦长问题

二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离dr；性质2：由消元得到一元二次方程的判别式0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，二、典例练习例已知圆的方程为x2y28，圆内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程解析：法一： 法二： 练习已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解析： 练习已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解析： 三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在)二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离dr；性质2：由消元得到一元二次方程的判别式0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，二、典例与练习例已知圆的方程为x2y28，圆内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程解(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OCAB.由已知条件得直线的斜率为ktan 1351，直线AB的方程为y2(x1)，即xy10. 圆心为(0,0)，|OC|.r2，|BC|，|AB|2|BC|.法二：(代数法)当135时，直线AB的方程为y2(x1)，即yx1，代入x2y28，得2x22x70.x1x21，x1x2，|AB|x1x2|.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OPAB，kOP2，kAB，直线AB的方程为y2(x1)，即x2y50.练习已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解：设圆心坐标为(3m，m)圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，圆心到直线yx的距离为|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m272m2，m1，所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.练习已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解法一：如图所示，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4.在RtAOC中，|OC| 3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3.所求圆的方程为(x3)2y225，或(x3)2y225.法二：由题意设所求圆的方程为(xa)2y225.圆截y轴线段长为8，圆过点A(0,4)代入方程得a21625，a3.所求圆的方程为(x3)2y225，或(x3)2y225.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.(2)代数法：如图2所示