用分离变量法解常微分方程

用分离变量法求解常微分方程.1可直接分离变量的微分方程1.1型号=(1.1 )上述的方程式被称为变量分离方程式，其中，分别为连续函数如果(y)0，则将(1.1)设置为=、于是，变量“分离”了。 两侧积分，得到通解：= c. (1.2 )c表示这个常数，并且将它们理解为原始函数。 常数c的取法应保证(1.2 )有意义。 作为方程式(1.1)的解。例1解方程式的解解： (1)变形分离变量：(2)两侧积分：，得到.可以验证的是原方程式的解，如果和平等的话也是原方程式的解我们可以用这种方法解决中学常见的几何问题例2曲线上的点的法线与轴的交点为，线段被轴二等分.分析：这是利用几何条件作成微分方程式例子，首先作成法线的方程式，用大写字母表示法线上的动点，用小写字母表示曲线上的点，作为过点的法线的倾斜度。解：从问题中得出.法线方程.并且，被分割为横轴，与轴的交点的坐标代入上述公式，得到.整理好之后，图1分离求解变量，这里，c是任意正数，如图1所示.双变量可置换微分方程通过以上介绍，我们知道哪个方程是变量分离方程。 接下来，介绍一些类型：可以是变量分离方程式2.1次方程式形象(1.3 )的微分方程称为齐次微分方程。 这里是连续函数变量转换方程(1.3)(1.4 )也就是说. (1.5 )若将(1.4 )、(1.5 )代入(1.3 )，则原方程式为，整理好之后，就能得到. (1.6 )方程式(1.6)是变量分离方程式，可以用之前(1.1)的方法求解，如果取回原变量，则得到(1.3)的解.例3求微分方程的解解：原方程式是，即，即，然后，代入该方程式，整理一下，马上就有，分离变量，两侧积分，是，总有一天我会回来的，即，即这里是任意常数.另外，虽然也是原方程式的解，但是因为这个解的课程包含在通解中，所以方程式的通解是2.2型号(1.7 )的方程式，这里都是常数。 这个方程式可以通过变量变换变成变量分离方程式我们分以下三种情况进行讨论2.2.1时这时方程式有交易，其中包括2.2.2时命令，就在这个时候一类变量分离方程2.2.3时如果方程没有零，方程右边的分子，分母是一次多项式，. (1.8 )表示平面上的两条相交直线，并设定交点，.(2.2 )为，.(2.1 )为. (1.9 )因此，求解上述变量分离方程式，最后返回原变量时，得到原方程式(2.1)解.如果不需要用方程式(2.1)解(2.2)，则直接变换即可.解决上述问题的方法也能适用于比方程式(2.1)更普通的方程式类型.例4解方程式(2.0 )解：解方程式，得到所以，命令，如果代入方程式(2.4).再命令，即，两侧积分，是，因此，取代原变量，即，即.因此，方程(2.3 )的解，但是，是任意常数.通过上述求解，我们发现以上方法非常准确，但对例5的形式的方程式，可用另一种方法进行微分求解。收集微分变成方程式满意：(2.2 )时，方程有更简便的求解方法(全微分知识的运用)。即，代入方程式有的即，即展开(2.3 )如附带条件(2.6)所示(2.4 )将(2.8 )代入(2.7 )时.很明显，这是一个全微分方程，原方程的解这里是任意常数.例5解方程式解法1 :该方程式属于(2.2.2)时.并且，令.为原来的方程式.这是一个分离变量方程.代入就行了即，解是这里，c是任意常数.在观察例6中，可知方程式也满足条件(2.6 )，因此微分方法也同样能够求解.解法2 :原方程是.整理好.所以呢.双侧积分，得到的原方程的解是=C，其中c是任意常数以上两种方法都是求解微分方程的常用方法，接着介绍比较常见的分类变量方程2.3形式的方程式也可通过变量转换为变量分离方程式，其中均为常数进行变量变换，有时候，即，即.变量分离方程。 当时是一种特殊的形式例7解方程式解：因为(2.5 )可以变更为.所以，命令. (2.6 )则(2.7 )若将(2.9)代入(2.11 )，则可知这是分离变量方程式.即，即.两侧同时积分. (2.8 )将(2.10 )代入(2.12 )时.所以呢整理一下其中，c是任意常数.2.4其他几个变量可分离的方程类型2.4.1型号(2.9 )其他方程式也同样能够将变量替换为变量分离方程式将(2.13 )改为(3.0 )替换为变量.有时候(3.1 )将(2.15 )代入(2.14 )时.一类变量分离方程2.4.2型号(3.2 )的方程是变量分离方程替换为变量，则(3.3 )代入原方程式.一类变量分离方程2.4.3型号(3.4 )的方程是变量分离方程替换为变量，是的，有(3.5 )将(2.19 )代入(2.18 )时，因此，原方程也是变量可替换的方程2.4.4型号(3.6 )(其中，满意)的方程式可，方程(2.20 )为齐次方