知识讲解 二项式定理(理)(基础)110

二项式定理学习目标1.理解并掌握二项式定理，理解用计数原理证明二项式定理的方法。2.二项式定理将用于解决与二项式展开有关的简单问题。要点排序第一点：二项式定理1.定义一般来说，对于任何正整数，都有：()，这个公式表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做二项式展开式。在公式中，二项式展开式的通项用Tr 1表示，即通项是展开式的r 1:系数(r=0，1，2，n)称为二项式系数。2.二项式(a b)n展开的特征：(1)项数：共1项，比二项式多1项；(2)二项式系数：r 1项的二项式系数为，最大二项式系数在中间；(3)次数：每项的次数等于二项式的幂指数N。字母A按降序排列，次数从N到0；字母B按升序排列，次数从0到N。在每一项中，A和B的次数之和为N；3.两种常用的二项式展开式：()要点2和2展开式的一般项公式二项式展开的一般术语：()公式功能：(1)它代表二项式展开式的r 1，二项式系数是；(2)字母B的数目与上标的组合数目相同；(3)a和b之和是n。关键注释：(1)二项式(a b)n的二项式展开式中的r 1项和(b a)n的二项式展开式中的r 1项之间有区别。当应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置。(2)一般项是(a-b) n的标准形式。例如，(a-b)n的二项式展开式的一般项是(只有-b需要被视为b代入二项式定理)。第三点：二项式系数及其性质1.杨辉三角形的推导和二项式展开。在我国南宋时期，数学家杨辉在1261年所写的详解九章算法，可以直观地看到二项式系数。当展开式中的二项式系数取为1，2，3时，下表显示了：1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 上表被称为二项式系数表，也称为杨辉三角(在欧洲，这个表被称为帕斯卡三角)，它反映了二项式系数的性质。表格中每一行的两端都是1，除了1之外的每一个数字都等于它肩膀上的两个数字之和。用组合的方法来理解(a b)n展开式中系数的意义：为了得到(a b)n展开式中的系数，我们可以考虑把r b放在这n个括号里，然后这种方法叫做。2展开式中每一项的二项式系数，具有下列性质：(1)对称性：在二项式展开中，距离第一个和最后一个端点“等距”的两个项的二项式系数相等，即：(2)增减和最大值：二项式系数在前半段逐渐增大，后半段逐渐减小，中间达到最大值。当n为偶数时，二项式展开式中项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项式展开式中间两项的二项式系数相等且最大。(3)二项式系数之和为：(4)二项式展开中每个奇数项的二项式系数之和等于每个偶数项的二项式系数之和。那是。关键注释：二项式系数和膨胀系数的区别；在二项式展开中，r 1项的二项式系数是组合数，而展开系数是单项式系数，它们不一定相等。例如，(a-b) n的二项式展开的一般项是相应项的二项式系数都在这里，但项的系数在这里。可以看出二项式系数和项的系数是不同的概念。3.展开式中的系数法(的整数和)例如，扩展公式中包含的系数为关键注释：对于三项或更多项的展开问题，将某两项合并成一项，用二项式定理求解。第四点：二项式定理的应用1.在ex中查找指定项目或特定项目(或其系数)2.用赋值法求相关系数之和。二项式定理代表一个恒等式，适用于任何a，b。使用赋值方法(即为A和B取不同的特殊值)可以解决与二项式系数有关的问题。应该注意有助于解决问题的价值观。可以取一个或几个值，也可以取几组值。解决问题时，应避免泄漏物品和其他情况。建立(1)如果x=0，则(2)如果x=1，则(3)那么，订单X=-1(4)(5)3.用二项式定理证明除法问题和余数的解；例如：验证：可以除以64()4.证明相关的不等式问题：二项式定理结合标度法可以证明一些不等式，即删除(约化)二项式展开式中的一些正项或删除(扩大)一些负项，将方程转化为一个不等式，然后根据不等式的传递性进行证明。()例如：验证：典型例子类型1，找出一个特定项或二项式展开的特定项的系数例1。得到了二项式展开式。根据二项式展开或一般术语，依次写下每一项，但注意符号。分析解决方案1:解决方案2:总结和升华准确、准确地记住二项式的展开式是解决二项式定理相关问题的前提。对于更复杂的二项式，有时先简化和扩展更简单。互相类比：变体找到二项式展开式。(1)解决方案1:解决方案2:例2。(1)获得的第四项膨胀系数；(2)得到了公式中的系数和二项式系数根据已知条件，首先求出二项式的指数n，然后求出展开式中含有x的项。因为问题的条件和解决部分都涉及到指定项的问题，所以选择了一般公式。(1)的扩展的第四项是，扩张的第四项系数是。(2)扩展的通称是：，系数是的二项式系数。总结升华1.使用通用术语公式查找给定术语时，避免错误的关键是找出有多少个术语，查找哪些术语，对应多少个术语；2.注意系数和二项式系数之间的差异；3.在求解过程中注意幂公式的准确应用。互相类比：变式1二项式系数和展开式第3项的系数；回答 10，80；变式2计算(X3)-5展开式中的系数X5；(1) tr 1=根据题目的意思15-5r=5，答案是r=2所以(-2) 2=40是x5的系数例3(1)(2x 2-)6的展开式中的常数项；(2)展开式中的有理项。常数项是幂指数为0的项，有理数项是一般项中x的指数为正整数的项，它可以根据二项式定理的一般公式。分辨率 (1) tr 1=(2x2) 6-r=(-1) r26-r根据主题含义12-3r=0，解决方案是r=4因此，22=60是常数项。(2)一般术语是一个理性的术语，也就是6的倍数，正因为如此，所以=0，6，12因此，扩张中的理性术语是，总结升华使两个展开中的一个保持不变就是使这个项目不包含“参数”。一般来说，使自变量的指数为零的方法被用来解决这样的问题。寻找有理数是讨论x的指数是一个整数的情况，考虑到一些指数或组合的序列号的要求。互相类比：变量在二项式展开式中找到常数项和有理项。假设二项式的通称是，订单，r=8。顺序，即r=0，2，4，6，8。，,二项式展开式中的常数项是第9项：理性的项目是项目1: x20，项目3:项目5:项目7:项目9:类型2，二项式积和三项式展开问题例4。得到了展开式中的系数。根据公式的结构，可对以下内容进行分类和讨论：当当前因子为1时，应如下；当当前因子为时，应如下所示；当当前因子为时，应如下所示；这个通用术语也可以用来表述简单的解决方案。分析解决方案1:,()的通式，在那里(1)当电流系数为1时，应如下，即：(2)当当前因子为时，应如下，即：(3)当当前因子为时，应如下，即：因此，膨胀系数为。解决方案2:()的通式，()，秩序，然后或或，所以系数是。总结和升华当几个不同的二项式术语相加或相乘时，它们可以根据问题的含义被适当地分类或逐步计算，或者它们可以通过公式化和简化一般术语来直接解决。互相类比：变型在(x 2) 10 (x2-1)的展开式中求x10的系数；答案10=X10 20x 9 180 x8 x 2) 10 (x2-1)的膨胀系数x10为-1 180=179例5。计算展开中的系数为了扩展上述公式，我们必须先将三个项目中的两个合并为一个项目，然后才能使用二项式定理来扩展它，然后再使用二项式定理，或者我们可以先将三项式公式分解为两个二项式的乘积，然后使用二项式定理来扩展它。(方法1),显然，只有上述公式中的第四项包含项，展开中包含的项的系数是(方法2):展开中包含的项的系数是。总结和升华在一些问题中，三项式的展开或两个二项式项的乘积的展开经常发生。使用的解决方案通常是二项式定理的扩展或三项式项到二项式项的转换。互相类比：变体1的扩展中包含的项的系数为：回答变式2在(x2 3x 2)5的展开式中，求x的系数回答在(x 1)5展开式中，常数项是1，而包含x的项是，在(2 x)5展开式中，常数项是25=32，包含x的项是在展开中包含x的术语是，在这个膨胀中x的系数是240第三类：关于二项式系数的性质和计算的问题例6。已知的(1)在展开式中找出二项式系数最大的项；(2)在展开式中找出系数最大的项。思路指向利用展开式的通项，得到系数的表达式，进而得到它的最大值。(1)扩展的一般术语：因此，在展开式中二项式系数最大的项是：(2)将项的系数设为最大，然后，为了简化它，结果是：8756，因此，在所需展开中具有最大系数的术语是：总结升华在展开式中找到系数最大的项通常是为了解决一组不等式。互相类比：变量找到膨胀系数最大的项。答案原始公式不是标准二项式，也不一定是中间项的最大系数。集合项的系数最大，有。，解决方案。k是非负整数，k=8.第8项的系数最大，即类型4:使用赋值方法找到相关系数的和。例7。如果，然后_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(用数字回答)思路指出各种展开式系数之和的常用赋值方法决议秩序，那么，也就是说。总结升华赋值法是求解二项式展开系数和的有效方法。在二项式展开中，字母或代数表达式被赋予允许值，以达到解决问题的目的。互相类比：变式1如果，那么，回答0；是的，答案是0。变式2已知，等于()公元前63年，公元前64年，31年，32年回答逆二项式定理被用来得到：所以n=6，所以。所以选择一个。类型4。二项式定理的综合应用例8。验证：对于任何非负整数n，33n-26n-1可以被676整除。思路注意262=676，33n=27n=(26 1)n，并用二项式展开式证明它。分析当n=0时，原始公式=0，可被676整除。当n=1时，原始公式=0，也可以被676整除。当n2时，原始公式。每个项都包含一个因子262，所以它可以被262整除=676总而言之，所有非负整数n，33n-26n-1都可以被676整除。总结升华这种可分问题(或剩余问题)可以用二项式定理证明。证明的关键在于正确地转换可整除的公式，这样它就可以写成二项式。展开后，每个项目将有除数公式，这可以用来证