称球问题一般解法

称球问题一般会有以下3种变形： 1、n个球，其中有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来。 2、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来。 3、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，并告知坏球是轻还是重。 对于上面3种情况，称量n次，最多可以在几个球中找出坏球来？ 答案：分别为：3n, (3n - 1)/2, (3n - 3)/2. 称法体现在下面的证明中： 一、 天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln(n)/ln2比特信息， 假设我们要称k次，根据信息理论： k*ln3/ln2=ln(n)/ln2, 解得k=ln(n)/ln3 这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如称3次知道轻重可以从33=27个球中找出不同的球出来。 具体称法就是：每次再待定的n个球中取(n+2)/3个球，放在天平左边；(n+2)/3个球放在天平右边。 （注： x 表示不大于x的最大整数。）二、 对于N(m)=(3m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。 首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很简单，在此略去 其次，若m =3(k-1)+1/2，（k=2),即已知的标准球数不小于未知球数; 所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知 对于3(k-1)+1/2的情况(k-1)次可解。 如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C. 则现在我们有3(k-1)-1/2个A球和B球，有3(k-1)+1/2个C球。 第二次用3(k-2)个A球加3(k-2)-1/2个B球放左边; 3(k-2)个C球加3(k-2)-1/2个A球放右边。 如果左边大于右边，则说明是在左边的3(k-2)个A球中质量大的为坏球； 如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3(k-2)个B球中质量轻 的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两 次共k次解决。 如果左边小于右边，则坏球在左边的3(k-2)-1/2个B球中或在右边的同样 数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2). 用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时 只需拿A球和标准球比较以下就行了。 因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。 由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。 由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m) =(3m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数 Nmax(m)=(3m-1)/2。 有兴趣的人可以验证一下m=3,N=13的情况-该情况已经被反复拿出来讨论过了。-大家好，我们来继续昨天的问题。现在我要给出通解啦。为了简化下面的过程，我们假设小球的个数正好是(3t-3)/2。首先我们把小球分成数量相等的三组A1An|B1Bn|C1Cn，其中n=(3t-1-1)/2。第一次使用天平的时候，不妨把A组和B组分别放在天平左右盘。如果天平左低右高，那么有可能因为左边n个小球之一较重，也可能因为右边n个小球之一较轻。反过来也是一样。这种时候，转到下面的情况(1)处理。而天平平衡的时候，则坏球一定在剩下n个小球中，(2)讨论了这种问题。【情况1】这时的条件是：已知A1An中一个球较重，或者B1Bn中一个球较轻，其中n=(3t-1-1)/2。我们把可以在C中任意拿出一个好球（C中的都是好球嘛）放到B中去。然后由情况(3)讨论接下来的处理方法。【情况2】这时的条件是：已知坏球C1Cn中，且不知轻重关系，其中n=(3t-1-1)/2。我们把C分作三组a1am|b1bm|c1cm+1，其中m=(3t-2-1)/2。注意看啦，c组要比a，b两组多出一个。怎么？我们昨天不是说这种情况没办法完成吗？但是，我们现在多了一项武器好球。对，我们可以从已经判断为一定是好球的A，B组中任意拿出一个好球，和a一起放到天平左盘，把c组放到天平右盘，如果天平左低右高，那么一定是a组中m个球较重或者c组重m+1个球较轻，反过来也于这个类似，情况(3)正是讨论这种问题的。如果平衡的话，说明b组的m=(3t-2-1)/2个小球是问题小球，这不正好和我们当前要讨论的问题一样吗？所以我们又回到了情况(2)。【情况3】这种情况最为复杂，我们知道的是a1am中一个小球较重，或者c1cm+1中的一个小球较轻，其中m=(3t-2-1)/2。另外，还有一个标准小球。我们把a分为1s|1s|1s+1三组；把c分为1s+1|1s+1|1s，其中s=(3t-3-1)/2。把放再天平左盘，放在天平右盘。要是天平平衡，说明要么组的s+1个小球较重，要么组的s个小球较轻，这恰恰是一个更小规模的情况(3)。要是天平不平衡呢？以左低右高为例，左盘是而右盘是，这种情况不可能是由较重引起的如果中的球有坏球，它只会比好球轻。同样也不会是较轻引起的。所以，这个时候，要么是中的s个球之一较重，要么是中的s+1个球之一较轻。这同样是情况(3)。好了，到这里所有的情况都有了一个递归的算法。可以把问题分解直到下面这些情况：1. 使用一次天平，一个标准球，判断一个坏球是轻还是重。 2. 有两个球，要么其中一个球较重，要么其中一个球较轻，仍然有标准球可以利用，使用一次天平找到坏球。 3. 三个球，要么是1号与2号球之一比较重，要么是3号球比较轻。使用一次天平找到坏球。 相信这三个问题相当简单吧。什么，你不知道最后一种怎么做？呃，1号2号上天平，要是倾斜了，低的那边是坏球；平衡的话好了，你可以尝试使用五次天平解决120个球了。不过，一定要先找到一张非常非常大的纸。另外补充一点：对于(3t-1)/2个小球，如果另外给定一个标准球的话，就能以情况(2)为入口，在t次内找到坏球，并得知其偏重还是偏轻。而少了一个标准球，就只能保证找到坏球，网路上的13球问题就是这样的。称球问题的一般解法 称球问题相信大家已经很熟悉了，并且已经知道从12个球中找出坏球并判断其轻重最多只需要3次称量。但如果把球数改变一下，比如说13个球，答案又是几次呢？本文将对这一问题进行“深入”分析。为了后面叙述方便，先在这里把一般化后的问题重复一下： 有m（m3）个球，记为q1、q2、qm，其中有且仅有一个坏球，其重量与其他的不同，现使用无砝码的天平进行称量，令n为称量次数，问：能确保找到坏球并指出它与好球的轻重关系的n的最小值是多少？先来看理论上要多少次。每次称量有左边轻、平衡和右边轻共3种可能的情况，而坏球的可能结果有q1轻、q1重、q2轻、q2重、qm轻、qm重等共2m种。因此，根据商农的信息论，此问题的熵就是需要的称量次数，又因为n是整数，所以有：不过理论终归是理论，直接拿到现实生活中往往行不通。一个很简单的情况：4个球，上面的公式说2次称量就够了。但你可以想想办法，反正我是没找到两次解决问题的方案。 那，是理论错了吗？唔，我可不敢怀疑商农，我只敢怀疑我自己。来看看我们错在哪了吧。对4个球的情况，第一次称量只有两个可选的方案：方案1：q1放左盘，q2放右盘。若不平衡（由于对称性，只分析左边轻的情况，下同），则可能的结果还剩q1轻和q2重，再称一次就能找到坏球；若平衡，则可能的结果还剩q3轻、q3重、q4轻和q4重4个，再套用一下商农的定理，此时还要称次。所以方案1被否决。方案2：q1、q2放左盘，q3、q4放右盘。此时天平肯定不会平衡，称量后，可能的结果有q1轻、q2轻、q3重和q4重4个。同样的道理，方案2也难逃被否决的命运。在4个球这么简单的情况下就撞得满头是包，未免让人难以接受，总结一下经验教训吧，把上面的分析归纳一下并推广到一般情况，就是：整个称量过程中，要达到目的，倒数第k次称量前的可能结果数h，必须满足条件h3k。上面的得出的结论虽然不能让我们找到问题的答案，但却有助于我们确定每次称量的方案，特别是第一次如何做。假设我们计划的称量次数是n，第一次在左右两盘中各放x个球，则保证下面两个不等式同时成立是解决问题的必要条件：2(m-2x)3n-1 （平衡时） 2x3n-1 （不平衡时）把这两个不等式稍加变换，就成了下面的样子：注意到x是整数，3n-1是奇数，2m是偶数，所以上面的不等式等价于：显然，在n一定的情况下，m越大，x的取值范围越小，而当x只能取值时，m继续增大，就会导致n次称量找到坏球的计划破产。籍此，可以得出在n一定的情况下m的取值范围：。发现了吗？现在m的最大值正好比我们最初的结果少了1。同时此结果也与前面提到的4个球的实际情况相符。但分析了半天，我们只证明了m不在取值范围内时，n次称量不能确保找到坏球。那m在取值范围内的时候，肯定能找到吗？答案是肯定的，不过马上证明它有点难，先来看两个简单一点的命题。命题1：有A、B两组球，球的个数分别为a、b，且0b-a1，已知这些球中有且仅有一个坏球，若它在A组中，则比正常球轻，在B组中则比正常球重。另有一个好球。先使用无砝码的天平称量，令，则可以找到一个称量方案，使得最多经过n次称量，就可以找到坏球（此时肯定能指出它与好球的重量关系）。使用数学归纳法证明如下：当n=1时，a、b的取值可能有0，1、1，1、1，2三组，由于还有一个已知的好球，所以不难验证此时命题成立。假设当n=k时命题也成立。当n=k+1时。我们将A、B两组球分别尽量平均得分为三组，记为A1、A2、A3、B1、B2和B3。不影响一般性，假设这六组球按球数从少到多的排列次序也与前面的顺序一致，且A1有球a1个。则第一次称量时的称量方案与每组球个数的对应关系如下，其中需要注意的是：在带蓝色的两种情况下，必有，否则就与命题的前提不符了。A1A2A3B1B2B3称量方案a1a1a1a1a1a1A1、B1放左盘；A2、B2放右盘 a1a1a1a1a1a1+1A1、B1放左盘；A2、B2放右盘 a1a1a1+1a1a1a1+1A1、B3放左盘；A3、B1放右盘 a1a1a1+1a1a1+1a1+1A1、B2放左盘；A2、B3放右盘 a1a1+1a1+1a1a1+1a1+1A2、B2放左盘；A3、B3放右盘 a1a1+1a1+1a1+1a1+1a1+1A2、B2放左盘；A3、B3放右盘很明显，不管结果是什么，第一次称量之后，问题都能转化为n=k时的情形。所以，命题1是真命题。 前面已经证明时，n次称量无法确保找到坏球并指出其轻重关系。但如果此时也有一个已知的好球的话，答案就不一样了，这时n次称量就已经足够（命题2）。仍使用数学归纳法。当n=2时，m=4，验证一下可知命题成立。假设当n=k时命题也成立。当n=k+1时。我们把这些球尽量平均的分成三组，则每组球的个数分别为：、。第一次称量时，第一组和那个好球放左盘，第三组放右盘。若平衡，问题转化为n=k时的情形，不平衡，问题转化为命题1的情形。命题成立。 有了前面两个证明作基础，最初的问题就很简单了，再次祭出数据学归纳法。由于m5时的情况有些特殊(考虑只有一个球或两个球的情况)，不能作为递推得依据，所以我们从n=3，也就是m=5开始。当n=3时，m在5和12之间（13