用因式分解法解一元二次方程(知识点+经典例题+综合练习)---详细答案

用因子分解法求解一次二次方程【主体知识摘要】1 .质因数分解法在一次二次方程式的一边为0而另一边容易分解为2个一次质因数的情况下，例如，在x2-9=0，该方程式可以变形为(x 3)(x-3)=0，因为(x 3)(x-3 )为0，所以(x 3)只要为0或(x-3 )为0即可，所以解方程式(x 3)(x-3 )2 .因子分解法解法的关键是将一次二次方程式分解为一次一次方程式。 其理论依据是AB=0A=0或B=0【基础知识解说】1 .方程的一边可分解为两个一次因子，只有另一边为零时，才能应用因子分解法求解一次二次方程。 在分解因子时，必须灵活运用根据情况学习的因子分解的几种方法。2 .一元二次方程式的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，但某种特殊形式的一元二次方程式，有直接开平法简便的，也有素因数分解法简单的。 因此，在有问题的情况下，应该选择合适的方法来解决。 求解一元二次方程式很麻烦，实际求解一元二次方程式时，一般不用方法。 但是，在今后的学习中，因素分解法经常被使用，所以是必要的【例题精说】例1 :用因子分解法求解以下方程式(1)y2 7y 6=0； (2) t (2t-1 )=3(2t-1 ) (3) (2x-1 ) (x-1 )=1.解： (1)方程是(y 1)(y 6)=0，y 1=0或y6=0，8756； 能够变形为y1=-1，y2=-6 .(2)方程式可以是t(2t-1)-3(2t-1)=0、(2t-1)(t-3)=0、t-3=0或t-3=0， 能够变形为t1=、t2=3.(3)方程可以变形为2x2-3x=0.x(2x-3)=0、x=0或2x-3=0.x1=0，x2=说明： (1)用素因数分解法求解一次二次方程式时，一般将方程式整理成公式，左边的代数式可分解成两个一次元数的乘积，右边为零时，一个一个使一次元数为零，可得到两个一次方程式，求解这两个一次方程式的解是原方程式的两个解(2)应用质因数分解法求解形状时，(x-a)(x-b)=c的方程式左边为2个质因数的乘积，但是右边不为零，应该变换成(x-e)(x-f)=0的形状，在这种情况下，只有x1=e，x2=f。 否则，就会发生错误，可能会产生如(3)所示的误解原来方程式变形为2x-1=1或x-1=1.x1=1、x2=2.(3)方程式(2)中，方程式的两侧为何不能除以(2t-1 )例2 :用适当的方法解下面的方程式(1)(1-x)2=； (2)x2-6x-19=0； (3)3x2=4x 1 (4)y2-15=2y； (5)5x(x-3)-(x-3)(x 1)=0；(6)4(3x 1)2=25(x-2)2分析：式(1)为直接开平法，式(2)为分配法，式(3)为式法，式(4)变成通式后为因子分解法，式(5)、(6)不变成通式，直接因子分解法即可解： (1)(1-x)2=，(x-1)2=3，x-1=，x1=1，x2=1-。移动(2)项，x2-6x=19，处方，x2-6x (-3)2=19 (-3)2，(x-3)2=28，x-3=2x1=32，x2=3-2(3)移动项目时，3x2-4x-1=0a=3，b=-4，c=-1x=，x1=、x2=移动(4)项，得到y2-2y-15=0，对方程左边进行因子分解，得到(y-5)(y 3)=0y-5=0或y 3=0，y1=5，y2=-3。(5)因子分解方程的左边，(x-3)5x-(x 1)=0，(x-3)(4x-1)=0x-3=0或4x-1=0x1=3，x2=若移转第(6)项，则4(3x 1)2-25(x-2)2=02(3x 1)2-5(x-2)2=02(3x1)5(x-2 ) 2(3x1)-5 (x-2 ) =0(11x-8)(x 12)=011x-8=0或x 12=0，x1=，x2=-12。说明： (1)对于不合理系数的一次二次方程解法与有理数相同，必须注意二次根式的简化(2)直接的素因数分解能够变换成2个一次素因数积等于零的形式，不需要将该形式的方程式整理成一般式示例3:求解关于x的方程： (a2-b2)x2-4abx=a2-b2解： (a2-b2=0，即|a|=|b|时，式为-4abx=0.在a=b=0情况下，x是任意的实数，|a|=|b|0的情况下，x=0.(a2-b20、即a b0且a-b0时，方程式是一次二次方程式.分解因子得到(a b)x (a-b)(a-b)x-(a b)=0a b0且a-b0x1=、x2=说明：求解字母系数方程式时，必须注意二次项系数不等于零和不等于零时分别求解|a|=|b|0； |a|b|例4:以已知x2-xy-2y2=0且x0、y0，求出代数式的值.解析：求代数式的值只要求出x、y的值即可，但根据已知的条件无法明确求出，代数式的分子、分母是与x、y相关的二次方程式，因此也能够知道x与y的比.解：从x2-xy-2y2=0开始，(x-2y)(x y)=0， x-2y=0或x y=0， x=2y或x=-y .x=2y时x=-y时解释：素因子分解法体现了“降级”、“归化”的数学思想方法，不仅用于求解一维二次方程，还广泛应用于一维高次方程、二维二次方程、代数式的计算和证明。【同步达纲练习】1 .选择问题(1)方程式(x-16)(x 8)=0根据()A.x1=-16，x2=8B.x1=16，x2=-8C.x1=16，x2=8D.x1=-16，x2=-8(2)下式4x2-3x-1=0、5x2-7x 2=0、13x2-15x 2=0中，有一个共通解()A.x=B.x=2C.x=1D.x=-1(3)方程式5x(x 3)=3(x 3)求解为()A.x1=、x2=3B.x=C.x1=-，x2=-3D.x1=，x2=-3(4)式(y-5)(y 2)=1根据()A.y1=5，y2=-2B.y=5C.y=-2D .以上的回答都是错误的(5)方程式(x-1)2-4(x 2)2=0根据()A.x1=1，x2=-5B.x1=-1，x2=-5C.x1=1，x2=5D.x1=-1，x2=5(6)设一次二次方程式x2 5x=0较大的根为m，x2-3x 2=0较小的根为n时，m n的值为()A.1B.2C.-4D.4(7)已知三角形的两边的长度为4和7，第三边的长度为x2-16x 55=0的式根，第三边的长度为()A.5B.5或11C.6D.11(8)方程式x2-3|x-1|=1不同解的个数为()A.0B.1C.2D.32 .填空问题(1)方程式t(t 3)=28解是.(2)方程式(2x 1)2 3(2x 1)=0的解答是： _(3)式(2y 1)的2 3(2y 1) 2=0的解答是： _(4)关于x方程式x2 (m n)x mn=0的解是_。(5)方程式x(x-)=-x解是_。3 .用因子分解法求解以下方程式(1)x2 12x=0； (2)4x2-1=0 (3)x2=7x(4)x2-4x-21=0； (5)(x-1)(x 3)=12； (6)3x2 2x-1=0；(7)10x2-x-3=0； (8)(x-1)2-4(x-1)-21=0。4 .用适当的方法求解下列方程式：(1) x2-4x3=0(2) (x-2 )2=256 (3) x2-3x1=0；(4)x2-2x-3=0； (5)(2t 3)2=3(2t 3)(6)(3-y)2 y2=9；(7)(1 )x2-(1-)x=0；(8)x2-(5 1)x=0；(9)2x2-8x=7(准确地说是0.01) (10)(x 5)2-2(x 5)-8=0。5 .求解关于x的方程式(1) x2-4ax3a2=1-2a (2) x25 x k2=2kx5k 6(3)x2-2mx-8m2=0； (4)x2 (2m 1)x m2 m=0作为x2 3xy-4y2=0(y0 )而求出值是已知的.7 .求出已知(x2 y2)(x2-1 y2)-12=0.x2 y2的值.请用x(x 12)=864这三种方法求解方程式9 .已知x2 3x 5的值为9，求出3x2 9x-2的值。10 .跳水运动员从10米高的地方跳进去，求出跳下来的高度h (单位：米)和使用的时间t (单位：秒)的关系式h=-5(t-2)(t 1)11 .为了求解方程式(x2-1)2-5(x2-1) 4=0，将x2-1视为整体，设x2-1=y时，y2=(x2-1)2，原方程式为y2-5y 4=0，求解该方程式时y1=1，y2=4.y=1时，x2-1=1，x2=2， x=y=4时，x2-1=4、x2=5、 x=原方程式的解是x1=-、x2=、x3=-、x4=以上方法称为换元法，达到以下目的，体现了转变的思想(1)用上述方法求解方程式： x4-3x2-4=0(既然可以把x2-1看作整体，这个方程式可以直接用素因数分解法求解吗？ 请参考答案【同步达纲练习】(1) b (2) c (3) d (4) d (5) b (6) a (7) a (8) d2.(1)t1=-7，t2=4(2)x1=-，x2=-2(3)y1=-1，y2=-(4)x1=-m，x2=-n(5)x1=，x2=-13.(1)x1=0，x2=-12； (2)x1=-，x2=； (3)x1=0，x2=7； (4)x1=7，x2=-3； (5)x1=-5，x2=3； (6)x1=-1，x2=；(7)x1=，x2=-； (8)x1=8，x2=-24.(1)x1=1，x2=3； (2)x1=18，x2=-14 (3)x1=，x2=； (4)x1=3，x2=-1；(5)t1=0，t2=-； (6)y1=0，y2=3； (7)x1=0，x2=2-3；(8)x1=，x2=； (9)x17.24，x2=-3.24 (10)x1=-1，x2=-75.(1)x2-4ax 4a2=a2-2a 1(x-2a)2=(a-1)2x-2a=(a-1 )x1=3a-1，x2=a 1(2)x2 (5-2k)x k2-5k-6=0x2 (5-2k)x (k 1)(k-6)=0x-(k 1)x-(k-6)=0x1=k 1，x2=(k-6 )(3)x2-2mx m2=9m2，(x-m)2=(3m)2x1=4m，x2=-2m(4)x2 (2m 1)x m(m 1)=0(x m)x (m 1)=0x1=-m，x2=-m-16.(x 4y)(x-y)=0x=-4y或x=yx=-4y时=；x=y时，=07