正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正则矩阵判定方法及正则矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮(西安财经大学)摘要：本文从正则矩阵的定义中给出了正则矩阵的一些判定定理和推论，并给出了正则矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用关键字：正则矩阵，判定，不等式，应用abstract : in this paper weminstallyintroductemodecomedisionthedititymatricsandgetheapplicationofproventheprop initematricesinthkeywords : positivedefinitionmatrix，determine，inequality，application目录1引言42正则矩阵的判定方法42.1定义判定52.2定理判定62.3正则矩阵的一些重要推论113正定矩阵在三个不等式证明中的应用153.1证明柯西不等式153.2holders不等式的证明163.3证明Minkowski不等式18结语21参考文献221引言代数是数学的重要分支，正则矩阵是高等代数的重要部分。 特别是正则矩阵部分的应用广泛，n阶实质对称正则矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位。 在物理学、概率论、最优控制理论中得到了重要的应用，本文给出了解决正则矩阵判断问题的方法，揭示了其在数学分析中的三个重要不等式证明中的应用。正则矩阵的一般形式是将a作为n次实对称矩阵，任意且成立。 本文从正则矩阵的定义出发，给出了正则矩阵的判定定理，给出了正则矩阵的重要推论。 这些重要推理在计算数学优化问题中起着重要作用，对于研究排队对策、经济均衡和障碍问题具有实用价值。 介绍正则矩阵在三个不等式证明中的应用一个证明了正则矩阵中着名的柯西不等式，两个证明了正则矩阵的性质给出了Holder不等式的新证明，三个证明了使用正则矩阵的两个引理证明了Minkowski不等式，这三个应用说明了正则矩阵运用的普遍性和有效性2正则矩阵的判定方法2.1定义判定=，(其中，设c、I、j=1、2、n )的共轭转变为=，)定义1对于实际对称矩阵=(其中，r，I，j=1，2，n )任一非零列向量都有0，称为正则矩阵.定义2对于复对称矩阵=(其中，c，I，j=1，2，n )任一非零列向量都为0，称为正则矩阵.将例1a作为m次实对称矩阵且正则，将b作为mn实矩阵、b的倒置矩阵，作为正则矩阵而实验的充分条件是b的秩r(B)=n .证书必要性为正则矩阵，对任意实n维列向量有的，即，即.所以，因为只有零解充分性原因，即，实对称矩阵。 因为秩的话线性方程只有零解，所以对于任何实n维向量，a也是正则矩阵，所以当时.成为正规矩阵。例如令2a为n次正则矩阵，令b为nm实矩阵，令b的秩为m，则BAB被证明为正则矩阵证据(BAB)=BAB=BAB因此，BAB是实际的对称矩阵，并且接下来，由于秩B=m，mn .所以BX=0仅为零解，一个非零实际的向量x必须为BX0，以获得非零实际的向量x，因为a为正则的矩阵X(BAB)X=(BX)A(BX)0。BAB是正则矩阵具体而言，可知在a不是正方矩阵而是非对称情况下，AA、AA是正则矩阵，在a是正方矩阵而是非对称的情况下，a是正则矩阵，且在证明的过程中，正则线性方程式解的理论应用于正则二次型的理论.2.2定理判定定理1 n次实对称矩阵a为正，且实二次f (，)=的正惯性指数为n .证实了二次型f (，)进行了非退化线性变换 . (2.1 )非简并实线性变换保持正规性，因此正规且仅(2.1)正规，定义3知(3.1)正规且仅0 ()，因此正惯性指数为n .定理2实对角矩阵正定的充分的必要条件为0 ()。证明由定理3.1得出，实对称矩阵仅为正则和二次型f (，)= .的正惯性指数为n，因此为0 (I=1，2，2，n )给定实例3a为n阶实对称矩阵，秩(A)=n的充分要求证明存在一个n阶实矩阵b且其为正则矩阵证书充分性 (反证法)反之，为a的特征量，设对应的特征向量为x时即，即，所以呢.因此，与正则矩阵相矛盾因此，假设a的特征值不全部为0，而是B=A.其特征值均为正，因此为正矩阵在定义3实二次型正规形中，将正二次项的个数p称为正惯性指数，将负二次项的个数称为负惯性指数，将它们的差称为符号差.定理3实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩和符号差n定理4的实对称矩阵的正充分条件为二次型f (， )=的系数矩阵的特征量全部为正，即大于零。证据从文献1得知，实对称矩阵可对角化其中，正好是特征值的话，二次型的标准形如下所示保持正规性，而不是退化的实线性变换f (，)= .正定为0。如果例子4a为实际对称矩阵，则当t足够大时，A tE为正则矩阵.证书以a的特征值为例，由于所有的特征值都大于零，因此此时为正则矩阵例5a作为n阶实对称矩阵，证明a是正定的证书是a的任何特征量，并且对应的特征向量代入已知的方程(即，有的，所以满足得到，a是实际对称矩阵，其特征量必定是实数，因此a所有特征量仅证明a是正则矩阵.定理5实对称矩阵是正当的，仅当它与单位矩阵签约时正则二次型的规范形式. (2.2.1)(2.2.1)的系数矩阵为单位矩阵，因为非退化实线性变换保持正则性且新的二维系数矩阵与原始二维系数矩阵签约，所以实对称矩阵是正则的，只有其与单位矩阵签约。定理6实对称矩阵是正定的充分条件是存在可逆矩阵=证书作为正定矩阵，只要与单位矩阵签约就存在可逆矩阵=的定理7实对称矩阵的正定所需的条件是矩阵顺序的主君式全部大于零实证必要性如果实对称矩阵正则为二次型f (，)=是肯定的每k，1kn(，)=，我们证明的是k元正定二次型，对于组全部不为零的数字，有(，)=(，0，0)0因此，k元正定二次型是从满足条件2得到矩阵行列式.0 (k=1，2，n )充分性n作为数学归纳法n=1时f()=，假设n-1元二次型成立，证明n元状况.令=、=、则=的顺序的主君式都大于零，由此可知顺序的主君式都大于零，因此假设为正则矩阵有n-1阶可逆矩阵，因此令=、则=的令=、则=.令=，=-，有的=.两侧取行列式=，知道条件0到0 .=.因此，a与单位矩阵签约，从定理5得到正则矩阵.定理8 n次实际对称排列a成为正定的充分条件是，以A=B的方式存在对称正定排列b .证书必要性中存在正交序列q将A=QO的第n列乘以适当的倍数，分别加到第1，2n-l列，加上相同行的变化，则a为，的形式换句话说，存在未劣化的下三角矩阵t，再命令因为a是正定的，所以a作为a的n-1次顺序的主君式也是正定的对a也做同样的处理，最终可以得到.设非简并的下三角矩阵为A=OQ“充分性”是显而易见的定理10 A为正则矩阵的充分条件是存在正交向量群A=.2.3正则矩阵的若干重要推理对于实际上对称的正则矩阵，除了使用以上几个充分条件来确定一个矩阵是否为正则矩阵之外，还有许多重要的推论推论1正则矩阵之和是正则矩阵如果证明和是兄弟正定矩阵，则对于非零列向量=(，) 0一定有0，0因此()= 0这就是为什么它是正确的推论2实正则矩阵的行列式大于零证明对=两侧有行列式|=0因此，|A|0推理3和正则矩阵合同的对称矩阵必定是正则矩阵推论4的正则矩阵的逆矩阵必定是正则矩阵证明命题1.3中得到的正则矩阵的逆矩阵必定是对称矩阵，正则矩阵和单位矩阵被签约，因此存在可逆矩阵=取反矩阵=、令=、则=.因此，由于与单位矩阵签约，所以是正则矩阵.推论5正则矩阵的任何顺序的主君式矩阵都必须是正则矩阵在推论6中，假设a、b都是n次正则矩阵，如果AB=BA，则AB是正则的。由于证明是AB=BA，因此(AB)=BA=BA=AB，所以AB是实际对称矩阵，另外，由于a是正定的，所以实际可逆矩阵p设为PAP=E .方法 PABP=PAPPBP=PBP，但由于b为正，因此b特征值全部大于零，因此PABP的特征值大于零，为正，AB为正.方法 PAB(P)=PAPPB(P)=PB(P )由于b为正，因此PB(P )为正，PB(P )特征量大于零，AB的特征量大于零，且AB实际对称，因此AB为正.推论7a为正则矩阵，a也为正则(其中，a表示a伴随矩阵).因为证书是a正确的，所以a正确，A=A(0)，所以a也正确如果推论8a、b都是n次实对称矩阵，且b是正则矩阵，则存在使PAP和PBP同时对角n次实可逆矩阵p .因为证书b是正式的，所以合同是e，即具有可逆阵列UBU=E并且a是n阶真实对称矩阵(UAU)=UAU存在正交矩阵cC(UAU)C=diag (，)、则.设P=UC，则不求出p .如果推论9a是真实对称的正则矩阵，则存在a0、bO、c0，aE A、E bA.cEA都是正则矩阵如果证书a的特征值是1In，则aE A的特征值是a，1In，因此存在a使aE A的特征值大于0，其馀部分无法证明当推论10知道a是n次正规矩阵时，A(k是正整数)也是正规矩阵.证书a与a特征值具有众所周知的关系，因此从特征值的观点出发，人工考虑.根据a的正定，其特征值已知，全部为正，a的特征值全部为正.例6a是n阶正规矩阵，2 .证书法一 A和2E都是n阶实对称正则矩阵，因此存在1到n阶实可逆矩阵p.根据推论9可知，其中输入(i=l，2，n )在a的特征量中大于零，因此，2(i=l，2，n )在A 2E的特征量中大于零.=( 2)( 2)( 2) 2。法二因为a和2E都是n阶实对称正则矩阵，所以推论为102推论11 A是n次正则矩阵，b是2n次非零半正则矩阵.根据问题的意义，证书将具