第3章 概率与概率分布PPT课件VIP

31,第3章概率与概率分布,3.1随机事件及其概率3.2随机变量及其概率分布3.3大数定律与中心极限定理,32,学习目标,理解随机事件的概念、了解事件之间的关系理解概率的三种定义，掌握概率运算的法则理解随机变量及其概率分布的概念掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背景、均值和方差及其应用掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀分布的应用理解大数定律和中心极限定理的重要意义,33,3.1随机事件及其概率,一、随机试验与随机事件二、随机事件的概率三、概率的运算法则,34,一、随机试验与随机事件,3.1随机事件及其概率,35,必然现象与随机现象,必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）统计规律性,十五的夜晚能看见月亮？,十五的月亮比初十圆！,36,随机试验,严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。,37,随机事件（事件）,随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母A、B、来表示基本事件（样本点）不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（）基本事件的全体（全集）,38,随机事件（续）,复合事件由某些基本事件组合而成的事件样本空间中的子集随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间才是必然事件不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（）,39,二、随机事件的概率,3.1随机事件及其概率,1.古典概率2.统计概率3.主观概率4.概率的基本性质,310,随机事件的概率,概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P()=1不可能事件发生的可能性是零，P()=0随机事件A的概率介于0和1之间，00,328,【例3-5】,某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A“甲厂产品”，B“一级品”，则：P(A)0.4，P(B)0.64，P(AB)0.28所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率P(A|B)0.28/0.64所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率P(B|A)0.28/0.4,329,P(A|B)在B发生的所有可能结果中AB发生的概率即在样本空间中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了,（1）条件概率（续）,一旦事件B已发生,330,乘法公式的一般形式：,P(AB)P(A)P(B|A)或P(AB)P(B)P(A|B),【例3-6】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）解：A1第一次抽到合格品，A2第二次抽到合格品，A1A2抽到两件产品均为合格品P(A1A2)P(A1)P(A2|A1),331,事件的独立性,两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)P(A)，或P(B|A)P(B),独立事件的乘法公式：,P(AB)P(A)P(B),推广到n个独立事件，有：,P(A1An)P(A1)P(A2)P(An),332,3.全概率公式,完备事件组事件A1、A2、An互不相容，AA2An且P(Ai)0（i=1、2、.、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、A2、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：,333,例3-7,假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？解：设A知道正确答案，B选择正确。“选择正确”包括：“知道正确答案而选择正确”（即AB）“不知道正确答案但选择正确”（即）P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4,334,全概率公式贝叶斯公式,全概率公式的直观意义：每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai导致B发生的概率为，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai引发的概率的总和相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率贝叶斯公式（逆概率公式）（后验概率公式）,335,贝叶斯公式,若A1、A2、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：,计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率,336,3.2随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念二、随机变量的概率分布三、随机变量的数字特征四、常见的离散型概率分布五、常见的连续型概率分布,337,一、随机变量的概念,3.2随机变量及其概率分布,338,一、随机变量的概念,随机变量表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量取值可以一一列举连续型随机变量取值不能一一列举,339,二、随机变量的概率分布,3.2随机变量及其概率分布,1.离散型随机变量的概率分布2.连续型随机变量的概率密度3.分布函数,340,1.离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi0，i=1,2,n；（2）,341,离散型概率分布的表示：,概率函数：P(X=xi)=pi分布列：分布图,342,2.连续型随机变量的概率密度,连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数概率密度函数f(x)和分布函数F(x)图形概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示,343,概率密度f(x)的性质,（1）f(x)0。概率密度是非负函数。（2）,所有区域上取值的概率总和为1。,随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：,344,3.分布函数,适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)PXx,连续型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数F(x),分布函数与概率密度,345,三、随机变量的数字特征,3.2随机变量及其概率分布,1.随机变量的数学期望2.随机变量的方差和标准差3.两个随机变量的协方差和相关系数,346,1.随机变量的数学期望,又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X的数学期望：,347,数学期望的主要数学性质,若k是一常数，则E(kX)kE(X)对于任意两个随机变量X、Y，有E(X+Y)E(X)E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则E(XY)E(X)E(Y),348,2.随机变量的方差,方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2公式：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：,349,方差和标准差（续）,标准差方差的平方根方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则D(k)0；D(kX)k2D(X)若两个随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)D(X)D(Y),350,【例3-10】,试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：,0.6,351,3.两个随机变量的协方差和相关系数,协方差的定义,如果X,Y独立（不相关），则Cov(X,Y)0即E(XY)E(X)E(Y)协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。,352,相关系数,相关系数具有如下的性质：相关系数是一个无量纲的值0|0当=0，两个变量不相关（不存在线性相关）当|=1，两个变量完全线性相关,353,四、常见离散型随机变量的概率分布,3.2随机变量及其概率分布,1.二项分布2.泊松分布3.超几何分布,354,1.二项分布（背景）,（背景）n重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”每次试验中“成功”的概率都是pn次试验相互独立。,355,1.二项分布,在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为XB(n,p)二项分布的概率函数：,二项分布的数学期望和方差：,n1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）,356,二项分布图形,p0.5时，二项分布是以均值为中心对称p0.5时，二项分布总是非对称的p0.5时峰值在中心的右侧随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布,p=0.3,p=0.5,p=0.7,二项分布图示,357,【例3-11】,某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失的概率；（2）有1辆汽车发生损失的概率；（3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽车中发生损失的汽车数XB(4,0.1)。,358,利用Excel计算二项分布概率,进入Excel表格界面，点击任一空白单元格（作为输出单元格）点击表格界面上的fx命令在“选择类别”中点击“统计”，在“选择函数”中点击“BINOMDIST”在Number_s后填入试验成功次数x(本例为2)；在Trials后填入总试验次数n(本例为4)；在Probability_s后填入成功概率p(本例为0.1)；在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数等于指定值的概率,“BINOMDIST（2，4，0.1，0）”,用EXCEL计算二项分布的概率,359,2.泊松分布,X服从泊松分布，记为XP(）:,E(X)=D(X)=当很小时，泊松分布呈偏态，并随着增大而趋于对称当为整数时，和（-1）是最可能值,360,泊松分布（应用背景）,通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模型。一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数服从泊松分布的现象的共同特征在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的；各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关；在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计,361,【例3-12】,设某种报刊的每版上错别字个数服从=2的泊松分布。随机翻看一版，求：（1）没有错别字的概率；（2）至多有5个错别字的概率。解：设X每版上错别字个数，则所求概率为：,利用EXCEL计算泊松分布的概率,362,二项分布的泊松近似,【前提】当n很大而p又很小时，二项分布可用参数np的泊松分布近似【例3-13】一工厂有某种设备80台，配备了3个维修工。假设每台设备的维修只需要一个维修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？解：XB(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，可以用0.8的泊松分布来近似计算其概率:,363,3.超几何分布,N个单位的有限总体中有M个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单位，样本中具有某种特征的单位数X服从超几何分布，记为XH(n,N,M),数学期望和方差:,N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N),364,五、常见的连续型概率分布,1.均匀分布X只在一有限区间a，b上取值且概率密度是一个常数其概率密度为：,X落在子区间c，d内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关,P(cXd),365,2.正态分布,XN(、2)，其概率密度为：,正态分布的均值和标准差均值E(X)=方差D(X)=2,-720)P(Z1.38)1P(Z1.38)10.91620.0838,373,用正态分布近似二项分布,用正态分布近似二项分布的前提n很大，p不能太接近0或1（否则二项分布太偏）一般要求np和np(1-p)都要大于5如果np或np(1-p)小于5，二项分布可以用泊松分布来近似,374,计算正态分布的概率值,方法一：先标准化查标准正态分布函数值表方法二：利用Excel来计算（不必标准化）插入函数fx选择“统计”“NORMDIST”，进入“函数参数”对话框中，在X后填入正态随机变量的取值区间点；在Mean后填入正态分布的均值；在Standard_dev后填入正态分布的标准差；在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示计算随机变量取值小于等于指定值x的累积概率值。,375,也可在选定的输出单元格中，顺次输入函数名和参数值即可如输入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，确定后即可得到所求概率值0.0029798。根据概率值F(Xx)求随机变量取值的区间点x，选择函数“NORMINV”。如输入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,显示计算结果为500。,计算正态分布的概率值,376,3.3大数定律与中心极限定理,一、大数定律二、中心极限定理,377,一、大数定律,3.3大数定律与中心极限定理,1.独立同分布大数定律2.贝努里大数定律,378,独立同分布大数定律,大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。独立同分布大数定律设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)和方差D(Xi)2（i=1,2,），则对任意小的正数,有：,379,大数定律（续）,该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望的偏差任意小的概率接近于1。该定理给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。,380,贝努里大数定律,设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的0，有：,它表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于事件A发生的概率阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。,381,二、中心极限定理,3.3大数定律与中心极限定理,1.独立同分布大数定律2.棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,382,独立同分布的中心极限定理,（也称列维一林德伯格定理）设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列,且存在有限的和方差2（i=1,2,），当n时，,或,就趋于正态分布。,383,上述定理表明独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布，其n项总和的分布趋近于正态分布。可得出如下结论：不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量n充分大，就趋于正态分布。该定理为均值的