B-S期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型,欧式期权和美式期权,期权按期权行使期限分美式期权(Americanoptions):AnAmericanoptionmaybeexercisedanytimeuptotheexpirationdate.欧式期权（Europeanoptions):AEuropeanoptiondiffersformanAmericanoptioninthatitcanbeexercisedonlyontheexpirationdate.,看涨期权和看跌期权,calloption（看涨期权)：Acalloptiongivestheownertherighttobuyanassetatafixedpriceduringaparticularperiod.putoption（看跌期权）：Aputoptiongivestheholdertherighttosellanassetforafixedexercisedprice.,4,1、股票价格的运动过程,：股票的瞬间收益率：股票的期望瞬间收益率：股价收益率的瞬间标准差,5,波动率估计,1观测证券价格的历史数据S0、S1、Sn，观测时间间隔为t（以年为单位）2计算每期以复利计算的回报率uiLn(Si/Si-1),i=1,n3计算回报率的标准差s4波动率估计,6,2、伊藤引理（Itoslemma）,若已知x的运动过程，利用伊藤引理能够推知函数G(x,t)的运动过程由于任何衍生品（期权）价格均为其标的资产（股票）价格及时间的函数，因而可利用伊藤引理推导衍生品（期权）价格的运动过程,7,伊藤引理（Ito，1951）若随机过程x遵循伊藤过程：则G(x,t)将遵循如下伊藤过程：,8,股价运动是一种简单的伊藤过程：以股票为标的资产的衍生品价格f(S,t)，其运动过程可通过伊藤引理得到：,9,3、Black-Scholes微分方程,（1）原理衍生品与标的资产（股票）价格不确定性的来源相同与二叉树期权定价模型的思想类似，我们通过构造股票与衍生品的组合来消除这种不确定性,10,（2）模型的七个假设条件,股票价格遵循对数正态模型，即假设收益率是正态分布。没有交易费用或税收，即无摩擦的市场假设，且所有证券都是高度可分的。在期权的有效期内无风险利率和金融资产收益的变量恒定。不存在无风险套利机会。证券交易是连续的，即不存在股票价格的跳跃行为。投资者能够以相同的无风险利率借款或贷款，无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。该期权是欧式期权,11,（3）B-S微分方程的推导,股票及衍生品的运动过程分别为：,为消除不确定性，构造投资组合：衍生品：1；股票：,12,投资组合的价值为：,投资组合的价值变动为：,价值变动仅与时间dt有关，因此该组合成功消除了dz带来的不确定性,13,根据无套利定价原理，组合收益率应等于无风险利率r(无套利机会)：,此即Black-Scholes微分方程。,14,任意依赖于标的资产S的衍生品价格f应满足该方程衍生品的价格由微分方程的边界条件决定例：欧式看涨期权的边界条件为：C(0，t)0C(ST,T)=max（STK，0）理论上通过解B-S微分方程，可得Call的价格。,15,4、风险中性定价方法,观察B-S微分方程及欧式期权的边界条件发现：C(S,t)与S、r、t、T、以及K有关，而与股票的期望收益率无关。这说明欧式期权的价格与投资者的风险偏好无关。在对欧式期权定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）,16,用风险中性方法对欧式期权定价,假设股价期望收益率为无风险利率r，则：欧式期权到期时的期望收益为：将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式期权价格：,17,得：其中：此即Black-Scholes期权定价公式。,上式中N(d)表示累计正态分布：S-表示股票当前的价格K-表示期权的执行价格r-代表无风险年利率T-t-表示行权价格距离现在到期日N-表示正态分布-表示波动率,19,如何理解B-S期权定价公式,（1）可看作证券或无价值看涨期权的多头；可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。,（2）可以证明，。为构造一份欧式看涨期权，需持有份证券多头，以及卖空数量为的现金。注：市价*概率-执行价格*概率=看涨期权价值,20,Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价（通过Call-Put平价公式可计算欧式看跌期权的价值）。注意：该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。,21,影响欧式看涨期权价格的因素,当期股价S越高，期权价格越高到期执行价格K越高，期权价格越低距离到期日时间T-t越长，期权价格越高股价波动率越大，期权价格越高无风险利率r越高，期权价格越高,22,组合一：小王想炒股，购买了A股票“可是如果一年后，股价下跌，我不就得赔挺多”？为了保险起见，他又买了此股票的看跌期权，“这样的话，如果股价一路上涨，我可就发了，如果股价跌了我又可以最大限度的避免损失，怎么算都合适！”该组合的成本：股票价格看跌期权价格；该组合的现金流量：股价上涨时=股票价格；股价下跌时=执行价格,23,组合二：如果小王购买的是零息票债券和股票的看涨期权。该组合的成本：执行价格的现值（零息票债券的现值）+看涨期权价格该组合的现金流量：股价上涨时=执行价格的现值+（股票价格-执行价格现值）=股票价格，股价下跌时=执行价格所以，由无套利原理推出：股票价格看跌期权价格执行价格的现值+看涨期权价格，知道其中的三个参数就可以求出第四个。,24,【解释】无套利原理，最后导致套利者无利可套。因此，当对两个事物的投入相同时，那么他们的产出也一定相同。由此推出了看涨与看跌的评价关系：构造两个分别包含看涨期权和看跌期权的投资组合，如果这两个投资