第8章-功率谱估计-第2讲

,8.2谱估计的非参数化方法,8.3AR模型功率谱估计,8.5最小方差谱估计,8.6多重信号分类法,8.1总述,8.4ARMA模型功率谱估计,第8章功率谱估计,8.7扩展Prony方法,8.3AR模型功率谱估计,尽管有三种改进方法（Bartlett法、Welch法和Nattall法）仍不能从根本上解决问题，这也促进了功率谱估计现代方法的研究和应用。现代谱估计技术始于60年代，有自回归法（AR）、线性预测法（LP）和最大熵（ME）法等三种互相等效的方法和最大似然法（ML）。目前现代谱估计研究仍侧重于一维谱分析，其它如多维谱估计，多通道谱估计，和高阶谱估计等的研究正在兴起，理论也在不断完善和发展中。,通常人们或多或少地掌握了关于被估计过程的某些先验知识，从而有可能对这做出某些合理的假定。例如为它建立一个准确或至少近似的模型，而不必象经典谱估计法那样认为凡未观测到的数据等于零，这就从根本上丢弃了对数据序列加窗的隐含假设。以参数模型为基础的谱估计方法一般按三个步骤进行：设模型算法再计算谱为被估计的随机过程确定一个合理的模型，当然这有赖于对些随机过程的理论分析的实验研究。根据观测数据估计模型的参数-各种算法研究。用估计得到的模型参数计算功率谱。（PS）,8.3AR模型功率谱估计,8.3AR模型功率谱估计,1.AR模型功率谱估计原理2.基于Levinson-Durbin算法的自相关法3.Burg算法4.非约束最小二乘法5.AR模型阶次的选择6.AR模型谱估计的性质,假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示：,ARMA过程的功率谱：,根据系统输入过程和输出过程功率谱之间的关系,8.3.1AR模型功率谱估计原理,假设模型的差分方程和系统函数分别用下式表示：,ARMA过程的功率谱：,8.3.1AR模型功率谱估计原理,对于三种线性模型，使用最广的是AR模型，原因主要是：AR模型为AR参数生成了非常简单的线性方程，也即是AR模型由线性方程描述，而MA和ARMA模型则由非线性方程描述。并且MA和ARMA模型均可用高阶的AR模型近似表示。Wold(1938)分解定理表明：任何ARMA或MA过程都可被一个无限阶的AR模型唯一表示。选择模型合适基础上，应尽量减少模型的参数。,8.3.1AR模型功率谱估计原理,假定、都是实平稳的随机信号，为白噪声，方差为，为服从AR过程的因果信号。由AR模型的差分方程，有将上式两边同乘以，并求均值，得,8.3.1AR模型功率谱估计原理,(a)式中，为AR模型的单位取样响应。由z变换的性质，当时，有。将之代入上式，有(b),8.3.1AR模型功率谱估计原理,综合式(a)与式(b)，有在上述推导中，应用了实信号自相关函数的偶对称性，即。由上式可得个方程，写成矩阵形式为,8.3.1AR模型功率谱估计原理,上述两式即p阶为AR模型的正则方程，又称Yule-Walker方程。,8.3.1AR模型功率谱估计原理,需要指出的是，上式中的自相关矩阵为Toeplitz矩阵；若是复过程，那么，则其自相关矩阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵。这类矩阵具有一系列好的性质，利用这些性质，可以找到快速求解AR模型参数的高效算法。,8.3.1AR模型功率谱估计原理,8.3.1AR模型功率谱估计原理,前向预测误差和后向预测误差.Yule-Walker法协方差法Burg法,理论上，AR模型参数是根据预测误差功率最小的准则确定,数据加窗，效率高,保证PEF最小相位,不加窗，效率高,潜在不稳定因素,不加窗，更多数据-更好的估计和更低误差；最小化复合全局误差。,（自相关法）,8.3.1AR模型功率谱估计原理,前向预测误差：,8.3.1AR模型功率谱估计原理,后向预测误差：,8.3.1AR模型功率谱估计原理,自相关法(Yule-Walker法)计算前向预测误差原理:,协方差法计算前向预测误差原理:,8.3.1AR模型功率谱估计原理,8.3.2基于L-D的自相关法,Levinson-Durbin递推算法是求解Yule-Walker方程的快速有效算法，这种算法利用了方程组系数矩阵（自相关矩阵）所具有的一系列好的性，使运算量大大减少。其推导的方法有多种，这里只介绍一种较为简便的推导方法。设已求得阶Yule-Walker方程,(a),8.3.2基于L-D的自相关法,8.3.2基于L-D的自相关法,要求解的m阶Yule-Walker方程为,(b),(c),8.3.2基于L-D的自相关法,为此，将式(a)的系数矩阵增加一行和增加一列，成为：,式中利用前述的系数矩阵的特点，将式(c)的行倒序，同时列也倒序，得到,8.3.2基于L-D的自相关法,(d),8.3.2基于L-D的自相关法,将待求解的m阶Yule-Walker方程表示成式(c)和式(d)的线性组合形式，即(e),8.3.2基于L-D的自相关法,或式中，是待定系数，称为反射系数。式(e)两边各右乘以m阶系数矩阵，得到(f),8.3.2基于L-D的自相关法,由式(f)可求出由式(c)的第一个方程可求出从上面的推导中可归纳出由m-1阶模型参数求m阶模型参数的计算公式如下：,8.3.2基于L-D的自相关法,对于AR(p)模型，递推计算直到p阶为止。,8.3.2基于L-D的自相关法,在实际中，一般只能得到有限个信号数据，此时只能采用数据对相关参数进行估计。已知N点观测数据和AR的阶数p，则AR谱估计可按下述步骤来进行：由已知的估计令,8.3.2基于L-D的自相关法,用代替L-D递推算法式中的，对于，重新求解Yule-Walker方程，这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值，即和将这些参数代入下式，得到的功率谱的估计，即,8.3.2基于L-D的自相关法,若在（0，2）内对进行N点均匀抽样，则得到离散谱式中，。,8.3.2基于L-D的自相关法,估计所得自相关矩阵正定所得预测误差滤波器具有最小相位由于加窗，参数估计精度下降，尤其对于短数据,对数据进行加窗处理，已知数据外的数据都等于0,YW法特点:,8.3.2基于L-D的自相关法,1.基本思想自相关法进行AR谱估计时，是遵循以下思路进行的：由观测的信号数据先估计自相关函数。根据估计的自相关函数，利用Levinson-Durbin递推算法求解模型参数、。由得出的AR模型参数计算信号的功率谱。,8.3.3Burg算法,1967年提出的Burg算法在一定程度上改善了这种状况。它所遵循的计算思路是：由观测的信号数据先估计反射系数。根据估计出的反射系数，利用Levinson-Durbin算法递推出AR模型参数、。由得出的AR模型参数计算信号的功率谱。,8.3.3Burg算法,由于在计算中避开了估计自相关函数，而直接从输入数据计算AR模型参数所以减小了计算误差，从而改善了的频率分辨率。Burg算法的另一特点是：使用前向、后向预测误差平方和最小的原则来估计，而不是象自相关法那样只按前向预测误差的方差最小的原则导出其正则方程。,8.3.3Burg算法,希望利用已知数据外的未知数据但又不随便主观臆测。设法保证使预测误差滤波器具有最小相位,8.3.3Burg算法,P阶前后向预测误差分别为：,2.算法推导,8.3.3Burg算法,(1),8.3.3Burg算法,8.3.3Burg算法,定义m阶前、后预测误差的功率为,对于数据,约束条件为：,2.算法推导,2.算法推导令应满足在上式中代入格形滤波器公式，可得(2),8.3.3Burg算法,估计出后，阶次m时的AR模型参数系数仍然由Levinson-Durbin算法递推求出，即有,(3),(4),(5),8.3.3Burg算法,3.计算步骤由初始条件，再由式(2)求出；由得时的参数由及式(1)求出和，再由式(2)计；,8.3.3Burg算法,3.计算步骤依照式(3)式(5)，求时的参数、及；重复上述过程，直到，求出所有阶次时的AR参数。,8.3.3Burg算法,若定义式(2)的分母为那么可以证明，可以由和递推计算，即这样，可以有效地提高计算速度。,8.3.3Burg算法,先确定低阶的AR模型参数，再迭代得到高阶AR模型参数预测误差滤波器具有最小相位会出现谱线分裂的情况谱峰的位置受相位的影响较大,8.3.3Burg算法,8.3.4非约束的最小二乘法,非约束的最小二乘法法使用前向和后向观测误差平均值最小的方法，估计AR模型参数，进而估计信号的功率谱。该法又称为修正协方差法。该方法最初由Nuttall在1976年提出，称为前向-后向法；同年，Ulrych和Ctayton也独立提出，称之为最小二乘法，因此该法也称为前后向线性预测误差功率最小的最小二乘法。该方法能够一定程度上克服burg法的谱线分裂和频率偏移。,协方差法,与自相关法一样，仍然利用使预测误差功率最小的方法求模型参数。但由观测数据求预测误差功率的公式不同，为,与自相关法相比，求预测误差功率的求和限不同。该公式中使用的观测数据均已知，不需要在数据两端补充零点，因此比较自相关法去掉了加窗处理的不合理假设。,8.3.4非约束的最小二乘法,协方差法计算前向预测误差原理:,8.3.4非约束的最小二乘法,为求模型参数仍然使上式达到最小，公式如下,式中,白噪声的方差为,称为协方差函数,8.3.4非约束的最小二乘法,，但不具有Topelitz性质(),上式由组成的维矩阵是对称的，即,所以协方差方程的解不能借助于自相关法，可用乔里斯基(Choleskey)分解法求解上述方程组。用协方差法估计出的极点不能保证在单位圆内。,8.3.4非约束的最小二乘法,该算法去掉Burg方法所用的Levinson约束条件，对所有的系数都按前后向预测均方误差之和的均值最小进行求解。,8.3.4非约束的最小二乘法,求和范围不同，自相关函数的值为pN-1,没有对真实数据外的数据主观臆测。,设前后向预测误差功率之和表示为：,选择值使最小，即：,8.3.4非约束的最小二乘法,令偏导等于0得：,8.3.4非约束的最小二乘法,其中：,最小二乘误差为：,结合条件，（3）和（5）式对应的矩阵形式为：,8.3.4非约束的最小二乘法,上式与Yule-Walker方程类似，但公式左边的方阵与Yule-Walker方程中的自相关矩阵不同，它不是Toeplitz矩阵，因而不能利用Levinson递推算法来减少运算量。矩阵各元素具有两个变量，与时间n有关，因此此方法也适用于非平稳信号。,8.3.4非约束的最小二乘法,利用方程（6）可以求得各个系数,8.3.4非约束的最小二乘法,根据以上计算，利用下式即可计算功率谱：,进而确定功率谱，本方法虽然能够克服Burg法的不足，但不能保证各系数，因而无法保证滤波器的稳定性。另外，此方法需要的计算量较大，S.L.Marple提出了一种新的递推算法，可使计算量有所下降。,8.3.4非约束的最小二乘法,若阶选得太低，低于要拟合信号的实际阶数时，形成的功率谱受到的平滑太厉害。,8.3.5AR模型阶次的选择,若阶选得太高，虽可以提高谱估计的分辨率，但却会产生假峰。,8.3.5AR模型阶次的选择,不断增加模型阶数，同时观察预测误差功率，当该功率下降到足够小时对应的阶便可界定为模型的阶。但很难确定误差降低到什么程度合适？另外，随着模型阶数的增加，模型参数的数目亦增多。谱估计的方差会变大，表现在虚假谱峰的出现。因此需要确定不同误差准则作为确定模型阶数的依据。,8.3.5AR模型阶次的选择,8.3.5AR模型阶次的选择,1.FPE准则（最终预测误差准则）随着m的增加，使达到最小值时的。N表示数据数目。是H.Akaike提出的，准则的基本思想是：选择一个阶使得一步预测的平均误差最小。,8.3.5AR模型阶次的选择,2.AIC准则（信息论准则）前者表征将随着m的增加而单调下降，后者表示计算误差将随着m的增加而增长。AIC准则是从最大似然法推导出来的，AIC最小值对应的阶数就是要选择的阶数。可以证明：当时，EPC与AIC等效。,8.3.5AR模型阶次的选择,3.CAT准则,判别自回归传输函数准则基本思想把实际预测误差滤波器（可能是无限长的）与相应的估计滤波器均方误差的差值最小所对应的阶作为最佳阶。Parzen证明：若不知道真正的误差滤波器时也可以计算这种差。,式中CAT(k)最小时的k值即为所需的阶数。,结论：用FPE、AIC和CAT估计AR模型的阶，所得的谱估计结果常常并无多大区别，有时会混合使用这三种准则来判阶，以取得比较满意的结果。已知的信号序列的长度较短时，这三种准则都不太理想。对于特别主要的数据，阶数最好选在数据长度的1/31/2之间，一般可以获得较为令人满意的结果。,8.3.5AR模型阶次的选择,8.3.6AR模型谱估计的性质,1.平滑特性,8.3.6AR模型谱估计的性质,2.频率分辨率AR谱估计的频率分辨率，要优于经典谱估计方法。其原因在于经典的方法认为不知道的自相关函数假设为0，而求解AR模型参数的过程，实际上意味着将根据估计的按一定准则进行了外推。,将估计得到的参数代入谱计算公式，反求自相关序列估计值（两者为傅利叶变换对）可得下式：,Yule-WalkerEquations,8.3.6AR模型谱估计的性质,2.频率分辨率,8.3.6AR模型谱估计的性质,3.AR谱估计与一维高斯过程最大熵谱估计等效最大熵估计是基于将一段已知的自相关序列进行明显地外推以得到未知的自相关取样值。外推后的自相关序列所对应的时间序列应当具有最大熵。这意味着：在具有已知（P+1）个自相关取样值的所有时间序列中，该时间序列将是最随机or最不可预测的，或说它的谱将是最平坦的这种外推法就称为最大熵谱估计（MESE）。,8.3.6AR模型谱估计的性质,8.3.6AR模型谱估计的性质,3.AR谱估计与一维高斯过程最大熵谱估计等效,AR谱估计隐含着自相关函数的外推，故分辨率高。Burg证明了，外推后的自相关序列应该具有最大熵，才是最合理的。这意味着:该时间序列将是最随机或最不可预测的；该时间序列对应的谱是最平坦的或最白的。经这样外推获得的自相关序列求出的谱为最大熵谱。AR模型法能够做到满足这个要求，故为最大熵谱估计法,8.3.6AR模型谱估计的性质,3.AR谱估计与一维高斯过程最大熵谱估计等效,8.3.6AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计算法,利用最大熵的原则外推自相关函数按照Shannon对熵的定义，当随机变量X取离散值时，熵的定义为,(1),式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为,(2),8.3.6AR模型谱估计的性质,式中,p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列,概率密度函数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性，最大熵代表最大的不确定性，或者说最大的随机性。下面我们研究对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。假设x(n)是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数为,式中,8.3.6AR模型谱估计的性质,利用最大熵的原则外推自相关函数,按照（2）式，x(n)信号的熵为,（3）,式中det(Rxx(N)表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。,8.3.6AR模型谱估计的性质,利用最大熵的原则外推自相关函数,若已知N+1个自相关函数值rx(0),rx(1),rx(N)，下面用最大熵方法外推rx(N+1)。设rx(N+1)确实是信号自相关函数的第N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成的矩阵为,（4）,8.3.6AR模型谱估计的性质,利用最大熵的原则外推自相关函数,它必须是非负定的矩阵，即,（5）,将行列式展开，det(Rx(N+1)是rx(N+1)的二次函数，该二次函数系数的符号是：(-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1，且det(Rx(N+1)对rx(N+1)的二次导数是-2detRx(N-1)，它是负值，负值表示det(Rx(N+1)对rx(N+1)的一次导数是减函数，det(Rx(N+1)作为rx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择rx(N+1)使det(Rx(N+1)最大，解下列方程：,(6),8.3.6AR模型谱估计的性质,用数学归纳法，得到,（7）,上式是rx(N+1)的一次函数，可以解出rx(N+1)。继续再将rx(N+1)代入Rx(N+2)和det(Rx(N+2)中，求det(Rx(N+2)对rx(N+2)的最大值，得到rx(N+2);以此类推，可推出任意多个其它自相关函数值，而不必假设它们为零，这就是最大熵谱估计的基本思想。,8.3.6AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性,AR模型信号自相关函数与模型参数服从Yule-Walker方程，即,将m1的情况写成矩阵形式：,8.3.6AR模型谱估计的性质,式中ai是AR模型系数,i=1,2,3,N,。在AR模型中,列写齐次方程式,可得,（8）,及,8.3.6AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性,利用N个参数,由齐次方程组即可解得a1,a2,aN值,再将得到的参数值代入(8)式,并将它整理成行列式:,8.3.6AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性,最大熵谱估计用下式计算信号功率谱：,（9）,可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型法是等价的。上式（8)是rx(N+1)的一次函数，由此可解得rx(N+1)。再用类似的方法求得rx(N+2)，rx(N+3)，然后确定功率谱估计。,8.3.6AR模型谱估计的性质,最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性,4.AR谱估计与线性预测谱估计等效线性预测问题：设有一AR(P)过程，有P个已知数据线性组合：,8.3.6AR模型谱估计的性质,使预测误差功率最小，推导得到如下公式：,4.AR谱估计与线性预测谱估计等效x(n)是平衡随机信号，那么与时间n无关，由线性预测：,8.3.6AR模型谱估计的性质,得到线性预测的Wiener-Hopf方程,4.AR谱估计与线性预测谱估计等效AR(P)模型的Yule-Walker方程相同如果:则:,8.3.6AR模型谱估计的性质,H(z)全部的极点在单位圆内自相关矩阵正定激励信号方差随阶次增加递减,5.AR模型的稳定性,8.3.6AR模型谱估计的性质,AR过程谱估计存在的问题,虚假谱峰谱线分裂谱峰频率偏移附加观测噪声时分辨率下降,虚假谱峰补救措施：模型的阶不宜选得太高，最高不应超过数据记录长度的一半。谱线分裂补救措施：同时调整所有反射系数，使预测误差功率真正达到最小。噪声对AR谱估计的影响AR谱估计对观测噪声比较敏感，噪声会使谱峰展宽，从而导致分辨率下降，而且会使谱峰偏离正确的位置。为减小噪声对AR谱估计的恶化影响，一般可使用下列四种方法:(1)采用ARMA谱估计方法；(2)对数据进行滤波，减小噪声；(3)采用高阶AR模型；(4)补偿自相关函数或反射系数估计中噪声的影响。,AR过程谱估计存在的问题,总结,N个样值x(0),x(2)x(N-1),功率谱密度S(w),自相关函数r(1),r(2).r(N),相关图,周期图,AR模型p+1个参量,自相关函数的值,YW法,协方差法,最小二乘法,反射系数,Burg法,最大熵,8.2谱估计的非参数化方法,8.3AR模型功率谱估计,8.5最小方差谱估计,8.6多重信号分类法,8.1总述,8.4ARMA模型功率谱估计,第8章功率谱估计,8.7扩展Prony方法,8.4ARMA模型谱估计,噪声对AR模型谱估计的影响MA模型谱估计ARMA模型谱估计,MA谱估计以全零点模型为基础，将其用于估计窄带谱得不到高分辨率，但用于MA随机过程时，由于MA随机过程功率谱本身具有宽峰窄谷的特点，能得到精确估计。AR模型谱估计方法，特别是采用Burg法时，能得到可靠的高分辨率估计。但当噪声污染数据时，只有采用ARMA模型才能获得良好的谱估计。采用ARMA模型，以较少的模型参数就能改善AR谱估计的性能，因而关于ARMA模型谱估计方法的研究也受到人们的普遍关注。,8.4ARMA模型谱估计,8.4.1噪声对AR谱估计的影响,设是一个p阶AR过程，它被测量噪声污染后成为。即如果是方差为的白噪声，且与不相关，则有,对于噪声的解决方案,采用ARMA模型对数据进行滤波采用高阶AR模型对噪声进行补偿(PHD谐波分解）,8.4.2MA谱估计的计算,(1)(2)(3)由式(1)得(4),8.4.2MA谱估计的计算,将上式两边同乘以，并求均值，得(5)式中，。,8.4.2MA谱估计的计算,由于是方差为的白噪声，有(6)对MA(q)模型，由式(2)，得,8.4.2MA谱估计的计算,所以，可以求出MA(q)模型的正则方程，即有MA(q)的功率谱为等效于经典谱估计中的自相关法，即MA谱估计等效为信号长度为q+1的自相关法谱估计。,8.4.3ARMA模型谱估计,ARMA(p,q)模型的差分方程式中，。类似地，可导出其正则方程如下：,8.4.3ARMA模型谱估计,式中，是系数和的函数，前q+1个方程是高度非线性的。从第q+1个方程开始是线性的，可以解出AR部分的系数，将上式中的第二个方程写成如下展开形式：,(7),8.4.3ARMA模型谱估计,上式虽然可解出AR部分的系数，但存在以下两个问题：由于式中的真实自相关函数是未知的，因此只能使用估计值来代替，且要用到大延迟的估计值（最大延迟是p+q），而对于给定的信号长度，这将造成估计很不准确。因而，也就不能得到AR部分系数的准确估计。,8.4.3ARMA模型谱估计,2.式中阶次p和q都是未知的，需要事先指定。而p和q的不正确指定有可能导致式(7)的系数矩阵奇异。因此，在实际应用中，对式(7)采用更一般的形式，即取L个方程，这里，即式中，,8.4.3ARMA模型谱估计,由此得到的最小二乘解为求得ARMA(p,q)模型中的AR参数，余下的任务就是求解MA部分的参数。,8.4.3ARMA模型谱估计,利用求得的AR系数先得到一个FIR系统为序列经此FIR系统滤波，得到一个输出序列ARMA(p,q)模型与FIR系统级联，近似于模型。,8.4.3ARMA模型谱估计,因此，可以利用输出序列估计自相关序列并按MA(q)模型谱估计公式来得到MA谱，即得到MA谱估计后，利用下式即可求得ARMA谱估计,8.2谱估计的非参数化方法,8.3AR模型功率谱估计,8.5最小方差谱估计,8.6多重信号分类法,8.1总述,8.4ARMA模型功率谱估计,第8章功率谱估计,8.7扩展Prony方法,8.5最小方差谱估计,MVSE:MinimumVarianceSpectralEstimation,基本原理MV谱与ME谱或AR谱的关系,8.5最小方差谱估计,三点说明最小方差功率谱估计(MVSE)，又称最大似然谱估计，但实际上它并不是最大似然谱估计；提出者Capon,1969也把这个方法叫做高分辨率谱估计方法，但实际上其分辨率并不高于AR模型法；尽管这样，但由于其思路独特，仍有了解的必要。,8.5最小方差谱估计,8.5最小方差谱估计,8.5最小方差谱估计,8.5最小方差谱估计,8.5最小方差谱估计,8.2谱估计的非参数化方法,8.3AR模型功率谱估计,8.5最小方差谱估计,8.6多重信号分类法,8.1总述,8.4ARMA模型功率谱估计,第8章功率谱估计,8.7扩展Prony方法,8.6多重信号分类(MUSIC)法,相关矩阵的特征分解基于信号子空间的频率估计基于噪声子空间的频率估计改进的MUSIC法,8.6.1相关矩阵的特征分解,基本思想：将自相关矩阵中的信息空间分解成两个子空间，即信号子空间和噪声子空间。设式中,8.6.1相关矩阵的特征分解,可得自相关函数：式中，是第i个复正弦的功率。若定义矢量是由复正弦波的N个取样值构成的矢量，则可写为式中称为信号矢量,8.6.1相关矩阵的特征分解,令是由的N个取样数据构成的矢量，即是由白噪声的N个取样值构成的矢量，即由前述式可得的自相关矩阵为,8.6.1相关矩阵的特征分解,若再定义信号自相关矩阵及噪声自相关矩阵如下：则、都是N阶方阵，其秩分别为M和N。而可写为若，显然，是奇异的，但由于的存在而正定,8.6.1相关矩阵的特征分解,现对方阵做特征分解，得：式中，为特征向量所对应的特征值，即并且且特征向量之间是正交的，即,8.6.1相关矩阵的特征分解,由于的秩为M，故其特征值中必有个0。因此，可写成如下形式称为主特征向量。它所张的空间称为信号子空间，其维数为M；而由所张的空间称为噪声子空间，其维数为。显然，这两个子空间互为正交补空间。,8.6.1相关矩阵的特征分解,对于单位阵I，也可表示为特征向量的外积，即因此，可表示为,8.6.2基于信号子空间的频率估计,若舍去特征向量，仅保留信号子空间，那么我们将用秩为M的相关阵来近似，这样可大大提高信号的信噪比。基于矩阵，再用前面所介绍的方法来估计的功率谱，将得到好的频率估计和功率谱估计。,8.6.3基于噪声子空间的频率估计,对于的非零特征值所对应的特征矢量，有成立。从而可得因为标量，所以有,8.6.3基于噪声子空间的频率估计,即信号子空间的基底可以表示为另一组正交基的线性组合。所