教学垂径定理

,3.3垂径定理(2),定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,温故知新,垂径定理的逆命题是什么？,想一想,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,条件,结论1,结论2,逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。,逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。,CDAB,探索规律,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,由CD是直径,AM=BM,平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,（不是直径）,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,如图,对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:,规律,（3）（1）,（2）（4）（5）,（2）（3）,（1）（4）（5）,（1）（4）,（3）（2）（5）,（1）（5）,（3）（4）（2）,命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,逆定理,定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧,定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦,垂径定理,已知：O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.,定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,证明：连结OA，OB，则OA=OB,AOB是等腰三角形,AE=BE,CDAB,（等腰三角形三线合一）,（垂径定理）,请同学们独立证明定理2,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.,（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.,（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.,（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.,（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.,辨一辨,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（7）平分弦的直线，必定过圆心。,（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。,（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。,（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.2m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).,A,B,O,C,D,R,解：,OCAB.,OC就是拱高.,AD=1/2AB=0.537.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.,在RtOAD中，OA2=OD2+AD2,R2=18.512+(R-7.23)2,解得R27.31.,答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.,练一练,1、已知：如图,O中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.,2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。（弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）,4、已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD，求证：ECDF.,G,提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.,5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等,课堂小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,拓展提高,