极限的运算法则

定义如果对于任意给定的正数E,变量y在其变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,不等式|y|E恒成立,则称变量y是该变化过程中的无穷大量,或称变量y趋于无穷大,记作limy=,注意：,(1)无穷大是变量,不是很大的数,(3)无穷大一定无界,但无界未必无穷大,(2)无穷大的函数其极限是不存在,定义若函数f(x)在某个极限过程中以零为极限,则称f(x)为该过程中的无穷小量,简称无穷小.,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,无穷小的性质:,定理2.6在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理2.7有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.,定理2.8,证,3、无穷大量与无穷小量的关系,意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,无穷小量(0除外)的倒数是无穷大量(类似地,无穷大量的倒数是无穷小量).,4.无穷小量阶的比较,例如,但它们趋于零的快慢程度不同,我们由它们的比值的极限来判断,称为无穷小量阶的比较,两个无穷小量之比,称为“,”型不定式,当x0时,3x,x2,sinx,都是无穷小,不可比,比值的极限不同,反映了趋近于零的“快慢”程度不同.,=0,=1,观察各极限:,x2比3x要快得多,sinx与x大致相同,不存在,Sinx与要慢,定义:,例如，,例1证明:当,时,证,注:等价不是等同,=o(),=+o(),类似地，可以作两个无穷大量阶的比较,两个无穷大量之比也是不定式称为“”型不定式.,其他尚有一些,型的,型的不定式计算.,不定式，也可通过,来,称是较低阶的无穷大,称是较高阶的无穷大,称与是同阶无穷大,定义:设,是同一过程中的两个无穷大,(1)如果,特别,当C=1时,称与是等价无穷大,(2)如果,(3)如果,2.5极限的运算法则,根据极限的定义,对给定的函数(x)，只能验证某个常数是否为它的极限,而不能求它的极限。为了解决极限的计算问题，下面介绍极限的运算法则;并利用这些法则和一些已知结果来求一些函数的极限。,定理:,设limf(x)=A,limg(x)=B,则,(1)limf(x)g(x)=AB,(2)limf(x)g(x)=AB,(3),(其中B0),证,limf(x)=A,limg(x)=B,f(x)=A+,g(x)=B+.其中0,0,(1)f(x)g(x)(AB),=f(x)Ag(x)B,=,0,limf(x)g(x)=AB,(2)f(x)g(x)AB,=(A+)(B+)AB,=A+B+,0,limf(x)g(x)=AB,(3),BA0,又0,0,在变量的变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,|B|,则|B(B+)|,即有界,若,则有,注,运算法则,有相应的结论.,及x时函数极限的四则,例如,对于数列极限,对于数列极限,有以下结论:,数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1直接得出.,即常数因子可以提到极限记号外面,推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则limcf(x)=climf(x),推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则limf(x)n=limf(x)n,(极限运算的线性性质),以上运算法则对有限个函数成立.,幂的极限等于极限的幂,求,解,例1,极限运算的线性性质,幂的极限等于极限的幂,解,商的极限等于极限的商,例2求,小结:,1.设f(x)=a0 xn+a1xn1+.+an,则有,=a0 x0n+a1x0n1+.+an,=f(x0),2.设,且Q(x0)0,则有,=f(x0),若Q(x0)=0,则商的法则不能应用,多项式,有理分式函数,例3求,解:,=0,商的法则不能用,又,=3,0,=0,由无穷小与无穷大的关系,得,例4求,解:,x1时,分子,分母的极限都是0,(先约去不为零的无穷小因子x1后再求极限),消去零因子法,例5求,解:,x时,分子,分母的极限都是无穷大,先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限,无穷小因子分出法,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,题1求,解:,先用x3去除分子分母,然后求极限,=0,2求,解:,应用例6的结果并根据无穷小与无穷大的关系,即得,一般:,当a00,b00,m和n为非负整数时,有,例6.,解:这是两个无穷大量之差的极限问题.无穷大量的和,差不一定是无穷大量.,这类问题,称为“”型.,通分,例7求,解：原式,=0,(有理化法),题求,解,例8求,解:,n时,是无限个无穷小之和,先变形再求极限,例9求,解:,当x时,为无穷小,而sinx是有界函数,例10设,求,解:,x=0是函数的分段点,=1,=1,左右极限存在且相等,求极限的几种方法,1.多项式与分式函数代入法求极限2.消去零因子法求极限3.无穷小因子分出法求极限4.有理化法5.利用无穷小运算性质求极限6.利用左右极限求分段函数极限,由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。,复合函数极限,定理（复合函数极限运算法则变量代换法则）,证,由极限定义得,此定理表明：,则可作代换,极限过程的转化,注,可得类似的定理,例11,解,例12：,1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么,(3)又加条件：,是否一定不存在？,思考题及练习,答：一定不存在,由极限运算法则可知：,必存在，,这与已知矛盾，,故假设错误,思考题解答,1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么,答：,不一定.,反例：,1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么,答：,一定不存在.（可用反证法证明）,(3)又加条件：,是否一定不存在？,1.在自变量的某个极限过程中，若存在，不存在，那么,练习题,解：原式=,=5,解：原式=,=3,解：原式=,=2,解：原式=,解：原式=,当x0时,有界，,x2为无穷小,解：,则原式=0,解：原式=,解：原式=,=2,解：原式=,=2