线性变换习题

第四章 线性变换习题精解1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2） 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3） 在P中，A；4） 在P中，A；5） 在P中，A6） 在P中，A其中P是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8） 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.解 1)当时,是;当时,不是.2)当时,是;当时,不是.3)不是.例如当,时,A, A,A A(.4)是.因取,有A= A = = = A+ AA A = A故A是P上的线性变换.5) 是.因任取,并令则A= A=A+ A 再令则A AA故A为上的线性变换.6)是.因任取则.A=AAAA7)不是.例如取a=1,k=I,则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)kA(a)8)是.因任取二矩阵,则A(A+AA(k)=A故A是上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换.证明:A=B=C=E,ABBA,AB=BA并检验(AB)=AB是否成立.解 任取一向量a=(x,y,z),则有1) 因为Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)Aa=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)Ba=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)Ca=(y,-x,z), Ca=(x,y,z)所以A=B=C=E2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)所以ABBA3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以AB=BA3) 因为(AB)(a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x)AB(a)=(-x,-y,z)所以(AB)AB3.在Px 中,AB证明:AB-BA=E证 任取Px,则有(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=所以 AB-BA=E4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:AB-BA=A (k1)证 采用数学归纳法.当k=2时AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A结论成立.归纳假设时结论成立,即AB-BA=A.则当时,有AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A即时结论成立.故对一切结论成立.5.证明:可逆变换是双射.证 设A是可逆变换,它的逆变换为A. 若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令Ab=a即可.因此,A是一个双射.6.设,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,A线性无关.证 因A(,)=(A,A,A)=(,)A故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A,A,A线性无关.故A可逆的充要条件是A,A,A线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;2) o; ,是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影,求A,B,AB在基,下的矩阵;3) 在空间Px中,设变换A为试求A在基= (I=1,2,n-1)下的矩阵A;4) 六个函数 =ecos,=esin=ecos,=esin=ecos,=esin的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基(i=1,2,6)下的矩阵;5) 已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;6) 在P中,A定义如下:其中求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;7) 同上,求A在,下的矩阵.解 1) A=(2,0,1)=2+A=(-1,1,0)=-+A=(0,1,0)= 故在基,，下的矩阵为2）取=（1，0），=（0，1）则A=+，A=+故A在基，下的矩阵为A=又因为B=0，B=所以B在基，下的矩阵为B=，另外，（AB）=A（B）=A=+所以AB在基，下的矩阵为AB=，3）因为 ，所以AAA=，所以A在基,下的矩阵为A=，4）因为 D=a-b,D=b-a,D=+a-b,D=+b+a,D=+a-b,D=+b+a，所以D在给定基下的矩阵为D=，5）因为(,)=(,，)，所以(,，)=(,)=(,)X，故A在基,，下的矩阵为B=XAX=.6）因为(,)=(,，)，所以A(,)=A(,，),但已知A(,)=(,，)故A(,，)=(,，)=(,，)=(,，)7）因为(,，)=(,)所以A(,)=(,)=(,)。8在P中定义线性变换A(X)=X, A(X)=X, A(X)= X, 求A, A, A在基E, E, E, E下的矩阵。解 因 AE=a E+cE, AE=a E+c E,AE=bE+dE, AE= bE+d E,故A在基E, E, E, E下的矩阵为A=又因AE=a E+b E, AE= cE+dE,AE= aE+bE, AE= cE+d E,故A在基E, E, E, E下的矩阵为A=又因AE= aE+abE+acE+bcEAE= acE+adE+cE+cdEAE= abE+bE+adE+bdEAE = bcE+bdE+cdE+dE故A在基E, E, E, E下的矩阵为 9.设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为A=1) 求A在基下的矩阵;2) 求A在基下的矩阵,其中且;3) 求A在基下的矩阵.解 1)因 A=+a A= A=故A在基下的矩阵为 2)因 A=+ A(k)=+ A=+()+故A在下的矩阵为 3)因 A()=()()+()+()A=()+()+A=()+()+故A基下的矩阵为10. 设A是线性空间V上的线性变换,如果A0,但A=0,求证,A, A(0)线性无关. 证 设有线性关系 用A作用于上式,得 A=0(因A对一切n均成立)又因为A0,所以,于是有再用A作用之,得 A=0.再由,可得=0.同理,继续作用下去,便可得 即证,A, A(0)线性无关.11.在n维线性空间中,设有线性变换A与向量使得A但,求证A在某组下的矩阵是 证 由上题知, ,A,A, A线性无关,故,A,A, A为线性空间V的一组基.又因为A A+ AA(A)=+ A+ A+ AA（A）=+ A+ A + A 故A在这组基下的矩阵为 12 设V是数域P上的维线性空间，证明：V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换. 证 因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.证设A在基下的矩阵为A=(),只要证明A为数量矩阵即可.设X为任一非退化方阵,且 ()=()X则也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是,从而即有AX=XA,这说明A与一切非退化矩阵可交换.若取则由A=A知=0(ij),即得A=再取=由A=A,可得 故A为数量矩阵,从而A为数乘变换.14.设,是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为1) 求A在基,下 的矩阵;2) 求A的核与值域;3) 在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;4) 在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵.解 1)由题设,知 ()=(,)故A在基下的矩阵为B=2) 先求A(0).设 A(0),它在,下的坐标为(,),且在A在,下的坐标为(0,0,0,0,),则=因rank(A)=2,故由 可求得基础解系为X=,X=若令a=(,)X,a=(,)X则a, a即为A(0)的一组基,所以 A(0)=L(a, a)再求A的值域AV.因为A=A=A=A=因rank(A)=2,故A ,A, A, A发秩也为2,且A ,A线性无关,故A ,A可组成AV的基,从而 AV=L(A ,A)4) 由2)知a, a是A(0)的一组基,且知, a, a是V的一组基,又(, a, a)=(,)故A在基, a, a下的矩阵为B= =4) 由2)知A=, A=易知A, A,是V的一组基,且(A, A,)=(,)故A在基A, A,下的矩阵为C=15. 给定P的两组基 定义线性变换A: A=(=1,2,3)1) 写出由基到基的过度矩阵;2) 写出在基下的矩阵;3) 写出在基下的矩阵.解 1)由()=()X引入P的一组基=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1),则()=(,)=(,)A所以 ()=(,)=(,)B=(,)AB故由基到基的过度矩阵为X= AB=2)因 A()=()=()故A在基下的矩阵为A=4) 因A()=A()X=()X故A在基下的矩阵仍为X.16.证明与相似,其中()是1,2,的一个排列.证 设有线性变换A,使 A=D则A(,)=(,)=(,)D于是D与D为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故与相似.17.如果A可逆,证明AB与BA相似. 证 因A可逆,故A存在,从而A(AB)A=( AA)BA=BA所以AB与BA相似.18.如果A与B相似,C与D相似,证明:证 由已知,可设B=XAX, D=YCY, 则=这里=故与相似.19设A,B是线性变换, A= A, B=B证明:1) 如果(A+B) =A+B那么AB=0; 2) 如果, AB=BA那么(A+B-AB)=A+B-AB.证 1)因为A= A, B=B, (A+B) =A+B由(A+B) =(A+B) (A+B)= A +AB+BA+ B,故A+B= A +AB+BA+ B,即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA= AB+ABA= A (AB+BA)= A0=0所以AB=0.2) 因为A= A, B=B, AB=BA所以(A+B-AB)= (A+B-AB) (A+B-AB)= A+BA- AB A+ AB+ B- AB-AB-BAB +ABAB= A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB= A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB= A+B- AB20. 设V是数域P上维线性空间,证明:由V的全体变换组成的线性空间是维的.证 所以V的全体线性变换与同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是维的.21. 设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:3) 在中有一次数的多项式,使;4) 如果,那么,这里5) A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式证 1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是维的,所以+1个线性变换A,A,、,A,E一定线性相关,即存在一组不全为零的数使A+A+A+E=0令,且这就是说,在中存在一次数的多项式,使.即证.2)由题设知因为所以=03)必要性.由1)知,在中存在一次数的多项式,使.即A+A+A+E=0若即为所求.若A+A+A+E=0 A可逆，故存在，得A+A+E=0令+，即为所求. 充分性.设有一常数项不为零的多项式使即所以于是又故A可逆.22. 如果是线性空间V的个两两不同的线性变换,那么在V中必存在向量,使也两两不同.证 令V ()因为故非空.又因为两两不同,所以对于每两个而言,总存在一个向量,使故是V的非空真子集设于是即又 于是故是V的真子空间.1)如果都是V的非平凡子空间,在V中至少有一个向量不属于所有的,设则()即证: 存在向量,使两两不同.2)如果中有的平凡子空间,则只能是零空