线性方程组解的判定_第1页
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文档简介

第四节 线性方程组解的判定从本节开始，讨论含有n个未知量、m个方程的线性方程组的解。 （132）主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作，即方程组（13-2）中的未知量组成一个n行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m行、1列的矩阵(或列向量），记作b，即,由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系=即 AX=b 如果令，则方程组（13-2）的向量形式为定理1 （有解判定定理）方程级（13-2）有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（）推论1 线性方程组（13-2）有惟一的充分必要条件是r(A)=r()=n.推论2 线性方程组（13-2）有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r()n.例1 判断下列方程组是否有解？若有解，是有惟一解还是有无穷多解？（1） （2）（3）解 （1）所以秩()=3，秩(A)=2；秩(A)秩（），故方程组无解。（2） 秩()=秩(A）=2n(=3),故方程组有无穷多解。（3） 秩()=秩(A)=3=n，故方程组有惟一解。方程组（13-2）全为零时，称为齐次线性方程组。即 （13-3） 其矩阵形式为AX=0对齐次线性方程组（13-3）而言，显然，其增广矩阵的秩与系数矩阵A的秩相等，即秩（）=秩（A），由定理1可知它总是有解的。比如就是方程组（13-3）的一个解，常称之为零解。但所关心的是方程组（13-3）在何条件下有非零解。将推论1及推论2应用到齐次线性方程组（13-3）上，得到以下结论。推论3 齐次线性方程组（13-3）只有零解的充分必要条件是r(A)=n.推论4 齐次线性方程组（13-3）有非零解的充分必要条件是r(A)n.例2 试问线性方程组 当取何值时有非零解。解 方程组为齐次线性方程组，对其系数矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵当1=0,即=1时, r(A)=2n(=3),由推论4,该方程组有非零解.学生板演巩固练习：1.
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