线性代数习题

第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）； （2）； （3）； （4）解(1)=0(2) =0(3)=(4)= =5.证明: (1)=; (2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2) (3) (4) =(5) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得， ，证明.证明同理可证 7.计算下列各行列式（）：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2); (3) ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果(4) ;(5);(6),.解(1) () (2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3) 从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5)=(6)8.用克莱姆法则解下列方程组： 解(1) ; (2) ()9.有非零解？解 ， 齐次线性方程组有非零解，则即 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.10. 有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则得 不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算 1. 已知线性变换: , 求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 3. 设, , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 4. 计算下列乘积: (1); 解 . (2); 解 =(13+22+31)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 设, , 问: (1)AB=BA吗? 解 ABBA. 因为, , 所以ABBA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? 解 (A+B)2A2+2AB+B2. 因为, , 但 , 所以(A+B)2A2+2AB+B2. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗? 解 (A+B)(A-B)A2-B2. 因为, , , 而 , 故(A+B)(A-B)A2-B2. 6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A2=0, 则A=0; 解 取, 则A2=0, 但A0. (2)若A2=A, 则A=0或A=E; 解 取, 则A2=A, 但A0且AE. (3)若AX=AY, 且A0, 则X=Y . 解 取 , , , 则AX=AY, 且A0, 但XY . 7. 设, 求A2, A3, , Ak. 解 , , , . 8. 设, 求Ak . 解 首先观察 , , , , , . 用数学归纳法证明: 当k=2时, 显然成立. 假设k时成立，则k+1时， , 由数学归纳法原理知: . 9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵. 证明 因为AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 从而BTAB是对称矩阵. 10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 证明 充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是对称矩阵. 必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为 , 故 . (2); 解 . |A|=10, 故A-1存在. 因为 , 所以 . (3); 解 . |A|=20, 故A-1存在. 因为 , 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由对角矩阵的性质知 . 12. 解下列矩阵方程: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . (2). 解 方程组可表示为 , 故 , 故有 . 14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E, 由定理2推论知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(E-A)+(A-A2)+A2- -Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+ +A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+ +Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+ +Ak-1. 15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 证明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推论知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推论知(A+2E)可逆, 且. 证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A|A-E|=2, 故 |A|0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E, 又由 A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为, 所以 =|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16. 17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*. 证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有 |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-10, 从而A*也可逆. 因为A*=|A|A-1, 所以 (A*)-1=|A|-1A. 又, 所以 (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*. 18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1. 证明 (1)用反证法证明. 假设|A*|0, 则有A*(A*)-1=E, 由此得 A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O, 这与|A*|0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0. (2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到 |A|A*|=|A|n. 若|A|0, 则|A*|=|A|n-1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n-1. 19. 设, AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故 . 20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (A-E)B=A2-E, 即 (A-E)B=(A-E)(A+E). 因为, 所以(A-E)可逆, 从而 . 21. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B. 解 由A*BA=2BA-8E得 (A*-2E)BA=-8E, B=-8(A*-2E)-1A-1 =-8A(A*-2E)-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E-2A)-1 =-8(-2E-2A)-1 =4(E+A)-1 =4diag(2, -1, 2)-1 =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩阵A的伴随阵, 且ABA-1=BA-1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA-1=BA-1+3E得 AB=B+3A, B=3(A-E)-1A=3A(E-A-1)-1A . 23. 设P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 设AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为 A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1, 而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆. (A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(A+B)-1A. 26. 计算. 解 设, , , , 则 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 验证. 解 , 而 , 故 . 28. 设, 求|A8|及A4. 解令, , 则 , 故 , . . 29. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求 (1); 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . (2). 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1); 解 设, , 则 , . 于是 . (2). 解 设, , , 则 . 第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1); (2);(3); (4).解(1) (2) (3) (4) 2.设，求A。解：A=3试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1); (2).解（1）故逆矩阵为(2)故逆矩阵为4(1)设,求使;(2) 设,求使.解(1) (2) 5.设，AX=2X+A,求X。解：由AX=2X+A得：X6在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式?解在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式.例如，. 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.7从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问的秩的关系怎样?解 设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，故而.8求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,解设为五维向量,且,则所求方阵可为 秩为4, 不妨设 取故满足条件的一个方阵为9求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1); (2)； (3).解(1). 二阶子式(2) . 二阶子式(3) 秩为3三阶子式10.设A、B都是矩阵，证明的充分必要条件是。证：必要性即定理3，故需证明充分性，设=r，由矩阵的等价标准型理论知矩阵A、B具有相同的标准型，于是，从而由等价关系的对称性和传递性，知。11.设，问k为何值时，可使：(1) ； (2) ； (3) 。解：对A作初等变换，于是，由定理3，(1) 当k1时，； (2) 当k-2时，； (3) 当时，。12求解下列齐次线性方程组:(1) (2)(3) (4)解(1)对系数矩阵实施行变换:, 即得 . 故方程组的解为 .(2)对系数矩阵实施行变换: 即得故方程组的解为 (3)对系数矩阵实施行变换: 即得 . 故方程组的解为(4)对系数矩阵实施行变换: 即得.故方程组的解为13求解下列非齐次线性方程组:(1) (2) (3) (4) 解(1)对系数的增广矩阵施行行变换,有而,故方程组无解(2)对系数的增广矩阵施行行变换:, 即得. 亦即.(3)对系数的增广矩阵施行行变换:, 即得即(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得即14.写出一个以（*）为通解的齐次线性方程组。解：把(*)式改写为把，得，由此知所求方程组有2个自由未知数，且对应的方程组为，即，它以(*)式为通解。15取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解； (2)无解； (3)有无穷多个解?解(1),即时方程组有唯一解.(2)由, 得时,方程组无解.(3),由, 得时,方程组有无穷多个解.16非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的通解解方程组有解，须得当时,方程组解为当时,方程组解为17设 . 问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解解当,即且时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为 ()18.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使。证：充分性：设，并不妨设，利用矩阵秩的定义，显然，有一个一阶非零子式，任取的一个2阶子式（为确定起见，不妨设取的第i行、第j行及第k列、第l列所得2阶子式）：，于是，。必要性：设因，由等价标准型理论知，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是其中和分别为非零m维列向量及非零n维行向量。19.设A为矩阵，证明：(1)方程有解的充分必要条件是；(2) 方程有解的充分必要条件是；证：（1） 方程有解(定理7) （必要性由不等式得到；充分性由不等式得到）。（2） 方程有解有解。20.设A为矩阵，若，且，则。证：将矩阵X，Y按列分块为，则如果，且；即，且；亦即，且，那么根据齐次线性方程组的理论，当时，齐次线性方程组只有零解，只有零解，即，亦即，故。第四章向量组的线性相关性1设, 求及.解 2设其中, ,求.解 由整理得3. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 证明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示. 由 知R(B)=2. 因为R(B)R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示.4. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 证明A组与B组等价. 证明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)2, 又R(A)R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A组与B组等价. 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1能由a2, a3线性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示. 证明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为 , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为 , 所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由 知, 当a=-1、0、1时, R(A)3, 此时向量组线性相关. 8. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式. 解 因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 设, 则 b=ca1-(1+c)a2, cR. 9. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定. 例如, 当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T时, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的. 10举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2) 若有不全为0的数使 成立, 则线性相关, 亦线性相关.(3) 若只有当全为0时,等式 才能成立,则线性无关, 亦线性无关.(4) 若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立.解 (1) 设, 满足线性相关, 但不能由线性表示.(2) 有不全为零的数使 原式可化为 取 . 其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关.(3) 由 (仅当)线性无关取, 取为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4) 与题设矛盾.11设,证明向量组线性相关.证明 设有使得则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,; ; ; ;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关, 则 由 知此齐次方程存在非零解. 则线性相关.综合得证.12设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故 因为 故方程组只有零解.则. 所以线性无关13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),;(2),.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2) 秩为2,最大线性无关组为.14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ; (2) .解 (1) 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组15. 设向量组(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩为2, 求a, b. 解 设a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因为, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 16设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明 维单位向量线性无关. 不妨设:所以 两边取行列式，得 由 即维向量组所构成矩阵的秩为. 故线性无关.17设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故 两边取行列式，得 由 令 . 由即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由16题知线性无关.18. 设向量组a1, a2, , am线性相关, 且a10, 证明存在某个向量ak (2km), 使ak能由a1, a2, , ak-1线性表示. 证明 因为a1, a2, , am线性相关, 所以存在不全为零的数l1, l2, , lm, 使l1a1+l2a2+ +lmam=0,而且l2, l3, , lm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则l1a1=0, 由a10知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2km), 使lk0, lk+1=lk+2= =lm=0,于是 l1a1+l2a2+ +lkak=0,ak=-(1/lk)(l1a1+l2a2+ +lk-1ak-1),即ak能由a1, a2, , ak-1线性表示.19设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则 综上所述知即若令,其中为实数则有又,则由于线性无关,所以即 （1）由于则(1)式等价于下列方程组: 由于 所以方程组只有零解.所以线性无关, 证毕.20. 设,证明向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn等价. 证明 将已知关系写成,将上式记为B=AK. 因为,所以K可逆, 故有A=BK -1. 由B=AK和A=BK -1可知向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn可相互线性表示. 因此向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn等价.21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x, Ax, A2x线性无关. (1)记P=(x, Ax, A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB; 解 因为 AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3Ax-A2x) , 所以. (2)求|A|. 解 由A3x=3Ax-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因为x, Ax, A2x线性无关, 故3x-Ax-A2x0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)3, |A|=0.22求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2) (3).解(1)所以原方程组等价于 取得 ; 取得.因此基础解系为(2) 所以原方程组等价于取得; 取得.因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以基础解系为23设,求一个矩阵,使,且.解由于,所以可设. 则由 可得, 解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵24求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解显然原方程组的通解为,()即 消去得 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组 I: , II: . 求: (1)方程I与II的基础解系; (2) I与II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, 1)T. 因此方程I的基础解系为 x1=(0, 0, 1, 0)T, x2=(-1, 1, 0, 1)T. 由方程II得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, -1)T. 因此方程II的基础解系为 x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(-1, -1, 0, 1)T. (2) I与II的公共解就是方程 III: 的解. 因为方程组III的系数矩阵 , 所以与方程组III同解的方程组为 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程组III的基础解系为 x=(-1, 1, 2, 1)T. 因此I与II的公共解为x=c(-1, 1, 2, 1)T, cR.26设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明 (提示:利用矩阵性质6和8。)证明所以由21题所证可知又由11题所证可知由此27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随阵, 证明. 证明 当R(A)=n时, |A|0, 故有 |AA*|=|A|E|=|A|0, |A*|0, 所以R(A*)=n. 当R(A)=n-1时, |A|=0, 故有 AA*=|A|E=0,即A*的列向量都是方程组Ax=0的解. 因为R(A)=n-1, 所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R(A*)=1.当R(A)n-2时, A中每个元素的代数余子式都为0, 故A*=O, 从而R(A*)=0.28求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1) (2)解(1)(2) 29设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，30. 设有向量组A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T, 及b=(1, b, -1)T, 问a, b为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示; (2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)当a=-4, b0时, R(A)R(A, b), 此时向量b不能由向量组A线性表示. (2)当a-4时, R(A)=R(A, b)=3, 此时向量组a1, a2, a3线性无关, 而向量组a1, a2, a3, b线性相关, 故向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一. (3)当a=-4, b=0时, R(A)=R(A, b)=2, 此时向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一. 当a=-4, b=0时, 方程组(a3, a2, a1)x=b的解为 , cR. 因此 b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1, 即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, cR.31. 设a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 证明三直线 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi20, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关. 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组, 即有唯一解. 上述方程组可写为xa+yb=-c. 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a, b唯一线性表示, 而c能由a, b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关. 32. 设矩阵A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4线性无关, a1=2a2- a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一个解. 由a1=2a2- a3得a1-2a2+a3=0, 知x=(1, -2, 1, 0)T是Ax=0的一个解. 由a2, a3, a4线性无关知R(A)=3, 故方程Ax=b所对应的齐次方程Ax=0的基础解系中含一个解向量. 因此x=(1, -2, 1, 0)T是方程Ax=0的基础解系. 方程Ax=b的通解为x=c(1, -2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, cR.33设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)线性无关； (2) 线性无关。证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得 故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立: （2）即1) 若,由于是线性无关的一组基础解系,故,由(2)式得此时 与假设矛盾.2) 若由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.34.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明 由于是非齐次线性方程组的个解.故有 而 即 （）从而也是方程的解35设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的解)试证它的任一解可表示为 （其中）.证明设为的任一解由题设知：线性无关且均为的解取，则它的均为的解用反证法证：线性无关反设它们线性相关，则存在不全为零的数：使得即 亦即 由线性无关知矛盾，故假设不对线性无关，为的一组基由于均为的解，所以为的解可由线性表出令则, 证毕36设问是不是向量空间？为什么？证明 集合成为向量空间只需满足条件：若，则若，则是向量空间，因为：. ., 且 故故不是向量空间，因为：故. 故当时，37试证:由所生成的向量空间就是.证明 设 于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.38由所生成的向量空间记作,由所生成的向量空间记作,试证 .证明 设, 任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数 有唯一解同理可证: () 故39验证为的一个基,并把 用这个基线性表示.解 由于即矩阵的秩为3. 故线性无关，则为的一个基.设，则 故设，则 故线性表示为 40. 已知R3的两个基为 a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, -1)T, a3=(1, 0, 1)T, b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T.求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵P. 解 设e1, e2, e3是三维单位坐标向量组, 则 , , 于是 ,由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵为 .第五章 相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化：(1)； (2)解(1)根据施密特正交化方法:令， ， ，故正交化后得: (2) 根据施密特正交化方法:令; , 故正交化后得 2下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:(1); (2)解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3. 设x为n维列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵. 证明 因为 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩阵.4设与都是阶正交阵，证明也是正交阵证明 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵5求下