总结向量组的有关结论

1,总结:向量组的有关结论,一、理解A=BC,二、S的极大无关组,(1)定义,(2) S,则 可被极大无关组线表,且表法唯一,(3) S与极大无关组;,极大无关组极大无关组,(4) S的各极大无关组含向量个数相等,-秩,三、重要结论,Pr(5),Th4.4,组(I)可被(II)线表示,r s,组(I)与(II)等价,r = s,推1,推3,组(I)可被(II)线表,秩(I) 秩 (II),组(I)与(II)等价,秩(I) = 秩 (II),四、秩、极大无关组、表示系数的求法,Th4.5,2,秩等;,极大无关组的位置对应相同;,表示系数对应相同,当 时,n维列向量组S:,则向量组 与,初等变换法,极大无关组和秩的求法,3,求矩阵A列向量组的一个极大无关组和秩, 并把其余列向量用所求出的极大无关组线性表示.,解 通过初等行变换把A化为行最简形,例4,4,为一个极大无关组,5,解法1,是该向量组的一个极大无关组.,例5,6,解法2,(2) 是该向量组的一个极大无关组,( 和 也是).,(1)秩 =3;,7,例题选讲,8,判断下列命题是否正确？(1) 若向量组线性相关, 则其中每一向量都 是其余向量的线性组合.解 不正确. 如e1,e2,2e2线性相关, e1不能用 e2, 2e2线性表示 (ei是第i个单位向量).(2) 若 不能表为1,2线性组合,则 ,1,2 线性无关.解 不正确.上例.,例1,9,(3) 若一个向量组线性无关, 则其中每一向 量都不是其余向量的线性组合. 解 正确. 用反证法:若存在一向量是其余 向量的线性组合, 则线性相关.(4) 若1,2线性相关, 1,2线性相关, 则 1+1, 2+2也线性相关.解 不正确.如(1,0), (2,0)线性相关, (0,1),(0,3) 线性相关, 但(1,1), (2,3) 线性无关;,10,(5) 若1,2,3线性相关, 则1+2, 2+3, 3+1也线性相关.解 正确. 不妨设1可由2,3线性表示, 则 1+2,2+3,3+1可由2,3线性表示.(6) 1, 2, m线性无关 1, 2, m 中任何两个都线性无关.,解 不正确.只是必要条件,非充分.,反例,两两无关, 但,线性相关.,11,设向量组, , 线性无关, , , 线性相关, 以下命题正确的是( ). (A) 可以由, , 线性表示; (B) 不可由, , 线性表示. (C) 可以由, , 线性表示; (D) 不可由, , 线性表示.,例2,12,重要结论,设 线性无关,且,= Kmt,特别地,当m= t 时,线性无关,线性相关,例3,则 线性无关,线性相关,13,证,故 线性无关,线性相关,14,设1,2,n线(n2)性无关,讨论向量 组1+2, 2+3, , n+1的线性相关性.解 (1+ 2, 2+3, , n+1) = (1,2,n)K 其中K 是如下的n阶矩阵:,例4,15,根据前面我们得到的结论1+2, 2+3, , n+1的线性相关|K|=0.计算|K|, 按第一行展开, |K|=1+(-1)1+n故 当n为奇数时,|K|=20，K 可逆, 1+2, 2+3, n+1线性无关; 当n为偶数时, |K|=0，K 不可逆, 1+2,2+3, ,n+1线性相关.,16,例5,R(I)= R(II)=r,不妨设1, 2,r是(I)的极大无关组,由(I)与(II)等秩知, 1, 2,r 也是(II)的极大无关组,所以 能由 1, 2,r线性表示,即 也能由(I)线性表示.所以(I)与(II)等价.,显然(I)能由(II)线性表示,只须证 能由(I)线性表示即可.,17,例6,设向量组1, 2,m 与1,2,s 的秩相等,且1, 2,m可由1,2,s线性表示,证明两向量组等价.,证法1,因为(I)能由(II)线性表示,所以(I) 能由(II)线性表示,(I):1, 2,r为(I)的极大无关组;,(II):1,2,r为(II)的极大无关组.,18,即,所以,即(II)能由(I)线性表示,证法2 见习题解答.,19,设向量组1, 2, m的秩为r, 证明其中任意选取s个向量所构成的向量组的秩r+s-m.证法1 从原向量组中任意删去一个向量, 秩最多减少1, 这样去掉没有被选取的m-s个向量,秩最多减少m-s. 因此, 剩下的s个向量的秩r-(m-s)=r+s-m.证法2 设取出的向量组为(I), 剩下的向量组为(II), 则 rr(I)+r(II) r(I)+m-sr(I) r+s-m,例7,20,例8,解,=BC,线性无关,唯一.,21,例9,n 维列向量组1, 2,n 线性无关,证,设 A=(1,2,n),故1, 2,n线性无关,22,1.定义 数域F上的n维向量构成的非空集 合V,且对向量的线性运算封闭,即,4.3.2 线性空间,(加法封闭),(数乘封闭),如 0,V,都是向量空间.,则称V为数域F上的线性空间.,是线性空间.,不是线性空间.,例1,23,V1,V2是同一数域F上的线性空间,若V1 V2,则称V1是V2的子空间.,0和R3 都是R3 的子空间,称为平凡子空间.,例2,即V对加法不封闭, 从而不构成子空间.,V=(1,0,-z)T | zR不是R3的子空间.,2.子空间,24,由线性空间的封闭性知,除0空间外都 含有无穷多个向量,所以有必要研究线 性空间的结构.,1.定义 设V是线性空间, 称V的极大无关组 为V的基. V的基所含向量的个数为 V的维数. 若V的维数为r,则称V为r 维线性空间,记作 dimV=r. 规定:dim 0 =0.,4.5 基、维数与坐标,4.5.1 线性空间的基、维数与坐标,25,本书只讨论有限维线性空间,2.有限维向量空间: 0维与r维的线性空间.,设e1,e2,en是n维线性空间Rn 的一组基.,基的概念是坐标系概念的推广,例3,26,设 是F上n维线性空间,使,称x1, x2, ,xn为在基 下的坐标.,3.坐标:, 由基 线性表示,且表法唯一 .,的一个基,对,27,4.线性空间的构成,与其等价的线性无关组,是,则,可看成由基生成的线性空间.,(2)若 是 的基,也是 的基.,28,(3)对应,设,这个基下的坐标.,例4,29,解 由,是 的一个基.,则,知,30,问题:同一个向量在不同基下的坐标有什么关系? 或者说基改变影响坐标如何改变?这就是基变换与坐标变换的问题.,4.5.2 坐标变换,31,及 是V的两个基,且,即,称为基变换公式.,1.基变换公式,32,称可逆阵,为由基,的过渡矩阵.,到基,2.过渡矩阵,为了得到n维向量空间V中一个向量在不同基下坐标之间的关系, 先证明下面定理.,33,3.坐标变换公式,X=( x1, x2, , xn )T和Y=( y1, y2, ,yn )T,定理4.6,设向量空间V的基,如果向量 在两组基下的坐标分别是,则有坐标变换公式,34,证,35,比较两式右端, 可以得到,由P可逆,得到:,X=PY或Y=P-1X,36,对于向量空间,要掌握解决下面基本 问题的方法: 1. 判断给定的集合关于所定义的运算 是不是向量空间. 2. 求给定向量空间的基和维数. 3. 求不同基之间的过渡矩阵. 4. 求向量在指定基下的坐标.,内容总结与方法提示,37,方法:,初等变换法:,求不同基之间的过渡矩阵,38,方法:,方法1