分析力学--第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程

.第二章动力学的普遍方程和拉贡日方程是如何确定动摇规律的？ 混沌问题，多轴摆动问题，其加速度为R=P T，ma=R=P T，摆m在接受p，t的同时，提供对应于加载体(重力和绳索)的反作用力，反作用力的合力为R=-R=-ma，该力称为惯性力，这是摆被迫进行非惯性运动时产生的“反作用力”。 图示圆锥振子的长度为l，振子m的质量m，在水平面内进行等速圆周运动，速度为v，振子的顶角为2，振子m受到力。 用Fg表示惯性力时Fg=-ma，质点m的质量为m，受力时的功率f，约束反作用力FN，加速度为a，根据牛顿的第二定律，ma=F FN，Fg=-ma，命令，F FN Fg=0，形式上的平衡方程式，质点系由n质点构成，第I质点的质量为mi，受力时的功率Fi， 若将约束反作用力FNi加速度设为ai，并假想地加上其惯性力Fgi=-miai，则质点的达兰贝尔原理、Fi、FNi和Fgi为形状的平衡系统，即fifnifgi=0(i=1， 2、n )、mo(Fi)mo(FNi)mo(fgi)=0、fifnifgi=0、质点系统的朗贝尔原理，即1 .动力学的普遍方程式由n个质点系统构成，并对第I个质点的质量施加mi、动力fi、约束反作用力fni、加速度施加ai、虚加上惯性力Fgi=-miai 根据达朗贝尔原理，Fi，FNi和Fgi应构成形式的配重系统，即Fi FNi Fgi=0，质点系受到约束作用，则应用虚位移原理，或在动力学的普遍方程中，动力学的普遍方程的坐标分解公式，研究整个系统，解： 假设杠杆的加速度为a，则对，Fg1=m1a，Fg2=m2a，链节施加与斜面平行的向下的假想位移s，与此相对应，两轮具有旋转角的假想位移，如果由动力学普遍方程式得到：则解为，a)(b )， 2 .拉格朗日方程式n个质点的系统受到k个以下形式的完全约束fi，并且系统中质量mj的第j个质点受到能动力Fj时，系统的运动如左所示满足3n个方程式，称为第一类拉格朗日方程式，i称为拉各朗日未定乘数。 没有使用第一类拉格朗日方程式，拉格朗日，17361813，法国籍意大利人，数学家，力学家，天文学家，19岁成为数学教授，与欧拉共同创立变分法的是仅次于18世纪欧拉的伟大数学家。 用、q1、q2、qn表示系统的广义坐标，设第I个质点的质量为mi，矢量径为ri。 ri=ri(q1，q2，qn，t )可写入动力学的普遍方程式以求上式的变化。 在此，根据虚位移原理中广义的力和广义的虚位移的表现形式，系统是完全约束的，由于广义的坐标相互独立，因此广义的坐标的变量qk是任意的，为了使上式恒定地成立，变换(k=1，2，n )、广义的力、广义的惯性力、中广义的惯性力：由于得到了以下两个常数式(关于证明请参照教材P46 )、(广义的速度)，因此代入第一项的括号内，代入第二项的括号内得到的，这是第二类拉格朗日方程式，该方程式的数量等于质点系的自由度数，各方程式都是二次常微分方程式，系统的动能的变化与广义的力之间的函数广义的力Qk可以写质点系电势表示的形式，可以写维护系、拉格朗日方程式，用函数l表示系统的动能t和电势v的差，L=T-V，l称为拉格朗日函数或电动势。 在维护系统中，动态电势表示的拉格朗日方程的形式是1 .拉格朗日方程是解决具有完全约束的质点系统动力学问题的普遍方程，是分析力学的重要方程。 2 .拉格朗日方程是标量方程，以动能作为方程的基本量，是用广义坐标表示的运动微分方程式。 3 .拉格朗日方程式形式简洁，运用时只需计算系统动能的维护力系统，只需计算系统动能和电势即可。、1 .静力学：对于完全约束的多自由度平衡问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的独立平衡方程。 用这种分析方法确立的平衡条件避免了未知的约束反作用力，使非自由质点系统的平衡问题的解决变得简单。 2 .动力学：对于完全约束的多自由度动力学问题，根据能量原理，采用广义坐标，可以推导出与自由度相同的独立运动微分方程. 此类广义坐标表示的动力学普遍方程被称为拉格朗日二类方程，且简称为拉格朗日方程。1.确定系统的自由度(广义坐标数)；2 .选择广义坐标；3 .计算系统的动能t；4 .计算广义速度下表示动能的广义力(可对维护系统计算潜力)。 5 .代入拉格朗日方程得到质点系运动微分方程。 例1是位于水平面内的行星齿轮机构中，质量m-1的均质细棒OA能够绕o轴旋转，另一端安装有质量m-2、半径r的均质小齿轮，小齿轮纯粹沿着半径r的固定大齿轮滚动。 当偶力m作用在细棒上时，求出细棒的角加速度。解：研究整个系统并选择广义坐标时，如果将其设置为2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222，则线的下垂部分的长度为l。 求该摆的运动微分方程。 m、m、系统的动能，选择=0处是系统电势的零电势点，v=mg(lrsin)-(l r)cos，系统的动势为解：该振子是单自由度维护系统，选择广义的坐标，将、式的上式代入维护系统的拉式方程式，得到振子的运动微分方程式例3可知质量m-1的三角柱设置在光滑的水平面上，质量m-2的均质圆柱o从静止沿着三角柱的斜面向下纯粹滚动。 求三角柱的加速度。 令x1和x2为广义坐标(其中r表示圆柱体o的半径)，则以下关于广义坐标x1和x2的广义力分别表示圆柱体的中心速度：系统的动能杆AB为o铰链，两弹簧的刚性系数均为k的杆在水平位置保持平衡。 求出系统微振动的固有频率。解：系统有两个自由度，是一个保守系统。 在1，2为广义坐标的情况下，杆的角速度为圆盘的角速度，因此系统的动能与、l、l、2、r、b、重力和振动方向相同，系统的力为图、铮铮铮铮铮铮铮的铮铮6、 系统的固有频率为，、l、l、l、2、r、b、例5杆OA和AB通过铰链连接，OA=a、AB=b、o悬挂在圆柱铰链上，a、b的质点的质量分别为m1和m2，与各处的摩擦力和两杆的质量无关，系统的微幅摆动的微分方程式、m1、b、a、m2、o、a、b、解系统具有两个自由度，若将1、2设为广义的坐标，则若将系统设为微幅摆动，则cos(2-1)1、系统受力时成为图像。 系统为广义坐标2求广义力：给出1，给出2，系统为广义坐标1求广义力：代入Lagrange方程式：简化：3 .动能的广义速率公式，质点系动能另外，由于r是广义的坐标与时间的函数，因此akj、bk、c也是广义的坐标与时间的函数。 另外，动能t可以表示为重新设定，4 .拉格朗日方程式的初次积分(初次积分)，电势函数v是广义坐标与时间的函数，因此是广义速度的零次函数。如果L2=T2、L1=T1、L0=T0-V，则拉格朗日函数可以表示为L=T-V=T2 T1 T0-V，L2， 已经明确的是，L1和L0分别是广义速度的二次函数、一次函数和零次函数，将L=L2 L1 L0，能动力强的情况下的拉格朗日方程式进行相加，并且将这些n个方程式进行相加而得到，这里，当代入上述公式时，拉格朗日函数不包括时间t (定律)，即时由上式引入：因此：e为积分常数，且根据Euler下式定理(P56 ) :由上式引入：(2L2 L1)-(L2 L1 L0)=E，进一步得到：结果被称为广义能量积分，由拉格朗日变量表示，也被称为雅可比积分。 由于* *约束是非常常规的，系统的机能不保存。 *，广义能量，系统称为广义维护系统。 另外，如果约束是稳定的，则可以知道bk=0，c=0，因此T1=0，T0=0，T=T2，广义的能量积分被称为拉格朗日变量表示的能量积分，上式是保守系统的机械能量保存的法则式。 这就是能量积分的物理含义。 拉格朗日函数一般是广义坐标，广义速度和时间的函数。 如果未包含对应于l中的广义速度的广义坐标，那么这种坐标将被称为循环坐标或者可遗传坐标。 也就是说：那么：所以：这里Cj是积分常数。 上式称为循环积分或遗传积分。 当然，系统有一些循环坐标，有一些循环积分。 由于L=T-V，并且电势v不包含广义的速度，因此在其中被称为广义的动量. 5 .碰撞问题的鼓日方程从拉格朗日方程导出碰撞问题的鼓日方程，将dt乘以式积分碰撞时间t，其中左边的第1项表示碰撞时间内广义的动量变化.左边的第2项是动能相对于广义坐标的变化量，是有限的。 设碰撞时间内的最大值为m，则根据中值定理，碰撞时间极短，因此与第一项相比可以省略。 广义力Qj在碰撞时间内的广义冲击量，即在