2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第7章 立体几何―垂直关系

学案5空间中的垂直关系,返回目录,一、直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.根据定义，过一点直线与已知平面垂直；过一点与已知直线垂直.,l,有且只有一条,有且只有一个平面,考点分析,返回目录,2.判定定理和性质定理（1）判定定理：，则该直线与此平面垂直.（2）性质定理：.,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,垂直于同一个平面的两条直线平行,返回目录,3.直线和平面所成的角一条直线PA和一个平面相交，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行,或在平面内，我们说它们所成的角是的角.二、平面与平面垂直1.二面角,返回目录,但不和这个平面垂直,射影所成的锐角,直角,0,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.2.两个平面垂直的定义一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作.3.两个平面垂直的判定与性质（1）判定定理，则这两个平面垂直.,返回目录,分别作垂直于棱的两条射线,直二面角,一个平面过另一个平面的垂线,（2）性质定理两个平面垂直，则一个平面内与另一个平面垂直.,返回目录,垂直于交线的直线,返回目录,返回目录,如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA面ABC,问:图中共有多少个Rt?,【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.,考点一线线垂直问题,题型分析,返回目录,【解析】PA面ABC,PAAC,PABC,PAAB.AB为圆O的直径,ACBC.又ACBC,PABC,PAAC=A,BC面PAC.PC平面PAC,BCPC.故图中有四个直角三角形:PAC,PBC,PAB,ABC.,返回目录,【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.,对应演练,如图,已知矩形ABCD,过A作SA平面AC,再过A作AESB交SB于E,过E作EFSC交SC于F.(1)求证:AFSC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AGSD.,返回目录,证明:(1)SA平面AC,BC平面AC,SABC,四边形ABCD为矩形,ABBC,BC平面SAB,BCAE,又SBAE,AE平面SBC,AESC,又EFSC,SC平面AEF,AFSC.(2)SA平面AC,SADC,又ADDC,DC平面SAD,DCAG,又由(1)有SC平面AEF,AG平面AEF,SCAG,AG平面SDC,AGSD.,返回目录,返回目录,如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MNCD；（2）若PDA=，求证：MN平面PCD.,考点二线面垂直问题,【分析】（1）因M为AB中点，只要证ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MNAB.（2）已知MNCD，只需再证MNPC，易看出PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MNPC.,返回目录,【证明】(1)如图,连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A,BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN=PC.AN=BN,ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,MNAB,又ABCD,MNCD.,(2)连接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD.四边形ABCD为矩形,AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.,返回目录,【评析】垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.,返回目录,返回目录,对应演练,如图所示,RtABC的斜边为AB，过A作AP平面ABC，AEPB于E，AFPC于F.求证：PB平面AEF.,证明：AP平面ABCAPBCBCACAPCA=AAFPCAEPBBCAFAF面PBCAFPBBCPC=CAFAE=A,返回目录,BC面APC,AF面APC,PB面AEF.,返回目录,如图,ABC为正三角形，EC平面ABC，BDEC且EC=CA=2BD,M为EA中点.求证：（1）平面BDM平面ACE；（2）平面DEA平面ECA.,【分析】要证面面垂直，首先想到判定定理，转为证线面垂直，再转换为证线线垂直.,考点三面面垂直的判定和性质的应用,返回目录,【证明】(1)取CA中点N，连结MN,BN，在ACE中，M,N分别为AE,AC中点，MNEC，MN=EC.而BDEC，BD=EC,BDMN,B,D,M,N四点共面.EC平面ABC，BN平面ABC，ECBN.又BNAC，BNEC，ACEC=C,BN面ECA.又BN面BMD，平面BMD平面ACE.,返回目录,【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.,(2)DMBN，BN平面ACE,DM平面ACE.又DM平面DEA，平面DEA平面ACE.,返回目录,对应演练,如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB;（3）求二面角ABCP的大小；（4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD?并证明你的结论.,返回目录,（1）证明：在菱形ABCD中，DAB=60，G为AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BG平面PAD.（2）证明：连结PG.因为PAD为正三角形，G为AD的中点，得PGAD.由（1）知BGAD,PGBG=G,PG平面PGB，BG平面PGB，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.,（3）由（2）得AD平面PGB.在菱形ABCD中，ADBC，BC平面PGB.而PB平面PGB，BG平面PGB，BCPB，BCBG，PBG为二面角ABCP的平面角.在PAD中，PG=a，在菱形ABCD中，BG=a，在RtPGB中，PBG=45,二面角ABCP为45.,返回目录,（4）当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连结DE，EF，DF，则由平面几何知识知，在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE,而FE平面DEF，DE平面DEF，FEDE=E,平面DEF平面PGB.由（1），PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD.平面DEF平面ABCD.,返回目录,返回目录,如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,求A1B与平面A1B1CD所成的角.,【分析】求线面角的关键是确定直线在平面上的射影,及直线与射影所成的锐角.,考点四线面角,返回目录,【解析】连结BC1交B1C于O,连结A1O.在正方体ABCDA1B1C1D1中各个面为正方形,设其棱长为a.A1B1B1C1A1B1平面BCC1B1A1B1B1BBC1平面BCC1B1A1B1BC1BC1B1CA1O为A1B在平面A1B1CD内的射影BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在RtA1BO中，A1B=a，OB=asinBA1O=BA1O为锐角A1B与平面A1B1CD所成的角为30.,BC1平面A1B1CD,BA1O=30,【评析】求直线和平面所成的角时,应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系.(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:构造作出或找到斜线与射影所成的角;设定论证所作或找到的角为所求的角;计算常用解三角形的方法求角;结论点明斜线和平面所成的角的值.,返回目录,对应演练,如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，BC,BAD=90,PA底面,且PA=AD=AB=2BC,M，N分别为，PB的中点.(1)求证：DM;(2)求CD与平面所成的角,返回目录,（1）证明：是的中点，PB,平面，从而平面，DM平面ADMN，.,返回目录,(2)取的中点，连结，则，与平面所成的角和与平面所成的角相等.平面，BGN是与平面所成的角.在tBGN中，sinBGN=.故与平面所成的角是arcsin.,返回目录,考点五二面角,如图,直角三角形ABC的斜边AB在平面内,AC,BC与平面所成的角分别为30和45,求ABC所在平面与平面所成的锐二面角.,【分析】由线面角想到射影,利用三垂线定理作二面角的平面角.,返回目录,【解析】作CC平面,C为垂足,作CDAB于D,连结CD,CDAB,CDC是所求二面角的平面角.由CC可知,CAC=30,CBC=45,设CC=h,在RtCCA和RtCCB中,AC=2h,BC=h,又ACBC,AB=h,CD=(ACBC)AB=h,sinCDC=,且CDC为锐角.CDC=60,ABC所在平面与所成的二面角为60.,返回目录,【评析】求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出AOC为二面角ABDC的平面角,通过解AOC所在的三角形求得AOC.其解题过程为:作AOC证AOC是二面角的平面角计算AOC,简记为“作、证、算”.,返回目录,如图所示，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N分别是AB，PC的中点.（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND平面PCD.,对应演练,返回目录,（1）PA平面ABCD，CDAD,PDCD.故PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD,PDA=45.,返回目录,（2）证明:取PD中点E，连结EN，EA，则ENCDAM,四边形ENMA是平行四边形，EAMN.AEPD,AECD,AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD.,返回目录,返回目录,1.判定直线与直线垂直的方法:(1)计算两直线所成的角为90(包括平面角与异面直线所成的角).(2)根据线面垂直的性质(若a,b,则ab).2.判定直线与平面垂直的方法:(1)若一条直线垂直于平面内的任何直线，则这条直线垂直于平面（定义）.,高考专家助教,(2)若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面(判定定理).(3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(推论).(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面.3.判定平面与平面垂直的方法:(1)若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则两平面垂直(定义).(2)若一个平面通过另一个平面的一