2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第17讲导数在函数中的应用

1,2,第三单元导数及其应用,3,第17讲,导数在函数中的应用,4,1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）.2.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上的函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).,5,1.已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中,正确的是(),C,A.导数为零的点一定是极值点B.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值,由极值的定义知C正确.,6,2.函数y=的单调递增区间为(),B,A.(-,-1)B.(-1,1)C.(1,+)D.(-,2),因为y=,所以由y0得1-x20,所以x21,所以-1x0y=f(x)在(a,b)内单调递增f(x)0在(a,b)内恒成立，其中(a,b)为f(x)的单调递增区间；(2)对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f(x),由f(x)0.f(x)0在(a,b)内恒成立，其中区间(a,b)为f(x)的单调递减区间.,y=f(x)在(a,b),内单调递减,11,2.函数的极值与其导数的关系(1)极值与极值点：设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的异于x0的所有点x,都有,则称f(x0)为f(x)的极大值,记作y极大值=f(x0),x0为极大值点.反之,若,则称f(x0)为f(x)的极小值，记作y极小值=f(x0),x0为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.(2)若x0为可导函数f(x)的极值点，则有，不一定成立.,f(x)f(x0),f(x0)=0,12,3.函数的最值与其导数的关系(1)函数的最值：如果在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得对任意的xI，都有,则称f(x0)为函数的最大值,记作ymax=f(x0);反之,若有,则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).最大值和最小值统称为最值；(2)如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是的曲线,则该函数在闭区间a,b上一定能够取得最大值与最小值.,f(x)f(x0),f(x)f(x0),一条连续不间断,13,4.极值与最值的区别与联系极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质.极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，极大值不一定比极小值大.但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.,14,题型一函数的单调性与导数,例1,已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.,15,（1）由已知f(x)=3x2-a.因为f(x)在R上是单调增函数，所以f(x)=3x2-a0在R上恒成立，即a3x2对xR恒成立.又因为3x20，所以只需a0.又因为当a=0时，f(x)=3x20,即f(x)=x3-1在R上是增函数，所以a0.,16,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1，1)上恒成立,得a3x2，x(-1,1)恒成立.因为-1x1,所以3x23,所以只需证明a3.当a=3时，f(x)=3(x2-1),在x(-1,1)上，f(x)0（或f(x)-1).此时，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：,由上表知函数f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9.,22,(3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+)上单调递增，且当x=1或x=3时,f(x)=0，所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21.若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)bf(1).因此，b的取值范围为(32ln2-21，16ln2-9).,23,若上例(3)变为:方程f(x)=b有一解、两个不同解、三个不同解，那么实数b的取值范围将如何？,由上表不难解得b16ln2-9时有一解，b=16ln2-9或b=32ln2-21时，有两个不同的实数解；32ln2-210,f(x)有单调递增区间0,+)；若a0，令f(x)=0，得x=，当0时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为0,单调递增区间为,+).,31,(2)若a0,f(x)在0,2上单调递增,所以g(a)=f(0)=0，若0a6,f(x)在0,上单调递减，在,2上单调递增，所以g(a)=f()=-=-.若a6，f(x)在0,2上单调递减，所以g(a)=f(2)=2(2-a).0(a0)-(01，即a2，同理可得f(x)在(1,a-1)单调减少，在(0,1),(a-1,+)单调增加.(2)证明:考虑函数g(x)=f(x)+x=x2-ax+(a-1)lnx+x.则g(x)=x-(a-1)+-