2012年高考数学理科二轮复习课件 2.2 导数及其应用

第2讲导数及其应用重点知识回顾1导数的定义：f(x0)2导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地切线方程为yy0f(x0)(xx0)3常见函数的导数公式(c)0(c为常数)；(xn)nxn1(nQ)；(sinx)cosx;(cosx)sin_x;(logax)logae;(ex)ex；(ax)axln_a；(lnx),4导数的应用(1)设函数yf(x)在某个区间可导，如果f(x)0(不恒为0)，则f(x)为增函数；如果f(x)0(不恒为0)，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；(3)在区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值求函数f(x)在(a，b)内的极值；求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b)；将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值,主要考点剖析考点一导数的基本应用命题规律以选择题、填空题等主观题目的形式考察导数的基本概念、运算、导数的物理意义、几何意义及利用导数与不等式研究函数的单调性例1(1)若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()(A)1，)(B)(1，)(C)(，1(D)(，1)(2)（2011年唐山一模）曲线yex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()(A)e2(B)4e2(C)2e2(D)e2,【解析】(1)f(x)x，则问题即为x0在(1，)上恒成立,可化为b(x2)xx22x在(1，)上恒成立，而x22x在(1，)上大于1，则b1(2)y(ex)ex,曲线在点(4，e2)处的切线斜率为e2，因此切线方程为ye2e2(x4)，则切线与坐标轴交点为A(2,0)，B(0，e2)，所以SAOB|e2|2e2答案(1)C(2)D【点评】(1)本题考查了化归与转化的思想，将函数的单调性问题转化为不等式恒成立的问题；(2)本题考查复合函数的导数求导法则和导数的几何意义,互动变式1(1)设aR，若函数yeax3x,xR有大于零的极值点，则()(A)a3(B)a(D)a(2)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()(A)1或(B)1或(C)或(D)或7,【解析】(1)y3aeax，函数yeax3x在xR上有大于零的极值点，即y3aeax0有正根当有y3aeax0成立时，显然有a0我们马上就能得到参数a的范围为a0，如果过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，证明：abf(a)【分析】要求切线方程，关键是确定切线的斜率从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程；要使过点可作三条切线即求切线方程有三个不同的实数解,【解析】(1)f(x)3x21，曲线yf(x)在点M(t，f(t)处的切线方程为：yf(t)f(t)(xt)，即y(3t21)x2t3(2)过点P(1，m)的切线方程为m2t33t21，由已知，直线ym与g(t)2t33t21的图象有三个不同的交点，又g(t)6t(t1)，g(t)在(，0)，(1，)上单调递减，在(0,1)上单调递增要使ym与g(t)的图象有三个不同的交点，则m必在g(t)的两个极值之间g(0)1，g(1)0，所以m(1,0)(3)如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b(3t21)a2t3于是，若过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程2t33at2ab0有三个相异的实数根记g(t)2t33at2ab，则g(t)6t26at6t(ta),当t变化时，g(t)，g(t)变化情况如下表：由g(t)的单调性，当极大值ab0时，方程g(t)0最多有一个实数根；当ab0时，解方程g(t)0得t0，t，即方程g(t)0只有两个相异的实数根；,当bf(a)0时，解方程g(t)0得t，ta，即方程g(t)0只有两个相异的实数根综上，如果过(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，即g(t)0有三个相异的实数根，则即abf(a)【点评】本题考查导数的几何意义求曲线切线的斜率是导数的重要应用之一，在教学中要把握“点在曲线上”和“点在曲线外”这二种求切线方程的方法,互动变式2已知函数f(x)ax3bx2(xR)的图象过点P(1,2)，且在P点处的切线恰好与直线x3y0垂直(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间m，m1上单调递增，求实数m的取值范围【解析】(1)f(x)3ax22bx，由题意有f(x)x33x2(2)令f(x)3x26x0，得x2或x0，f(x)在区间(，2和0，)上都是增函数，由题意，有m，m1(，2或m，m10，)，m12或m0，m(，30，),考点三导数与极值、最值命题规律利用导数求函数的极值与最值是高考常见题型，要注意极值与最值的区别，本内容也常用于实际问题例3设aR，函数f(x)ax33x2(1)若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若函数g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0处取得最大值，求a的取值范围【分析】(1)极值点即f(2)0，解方程即得a；(2)g(x)的最大值为g(0)，即g(x)g(0)在x0,2上恒成立，转化为求分式函数的最小值问题【解析】(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因为x2是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1经验证，当a1时，x2是函数yf(x)的极值点,(2)由题设，g(x)ax33x23ax26x，g(x)g(0)恒成立即ax2(x3)3x(x2)对x0,2恒成立当x0时，上式恒成立；当x(0,2时，a恒成立下面求函数h(x)，x(0,2的最小值h(x)0，h(x)在(0,2上是减函数.h(x)minh(2)，所以a【点评】本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识，考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力,互动变式3已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值【解析】(1)f(x)3x22ax，因为f(1)32a3，所以a0又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20(2)令f(x)0，即3x0，解得x10，x2,当0，即a0时，如图(1)f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a当02，即0a3时，如图(2)，f(x)在上单调递