西北工业大学数值分析(附答案)

西北工业大学数值分析问题集第一章是关于情绪1.将x0、X和X的相对误差设置为，并计算误差。2.将X的相对误差设置为2%，并计算相对误差。3.以下数字均为四舍五入的近似值，即误差限不超过最后一位数字的一半。试着指出它们是几个重要的数字：4.使用等式(3.3)找出以下近似值：的误差极限这些都是问题3中给出的数字。5.要计算球的体积，相对误差极限应为1%。测量半径R时允许的相对误差极限是多少？6.根据递推公式(n=1，2，)根据计算，如果取27.982(五位有效数字)，计算会有多大误差？7.找出方程的两个根，使其至少有四个有效数字(27.982)。8.当N足够大时，如何找到它？9.正方形的边长约为100 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu10.假设G是精确的，T的测量误差为0.1秒，证明了当T增大时，S的绝对误差增大，而相对误差减小。11.序列满足递归关系(n=1，2，)，如果(3位有效数字)，计算中有多少误差？这个计算过程稳定吗？12.用下面的等式来计算，哪一个得到最好的结果？13.求f(30)的值。如果平方是基于一个六位的函数表，那么求对数的误差是多少？如果使用另一个等效公式代替计算对数时有多少误差？14.假设只有三位数的计算，尝试用消元法求解方程，问结果是否可靠？15.已知的三角形面积，其中C是弧度，测量a、b、C和C的误差分别是证明面积满足的误差第二章插值1.根据(2.2)中定义的范德蒙行列式，顺序证明是一个n次多项式，它的根是，并且。2.当x=1，-1，2，f(x)=0，-3，4时，求f(x)的二次插值多项式。3.给出f(x)=ln x的数值表，用线性插值和二次插值计算ln 0.54的近似值。x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444.给出了cos x，0x 90的函数表，步长h=1=(1/60)。如果函数表有5位有效数字，研究了用线性插值求cos x近似的总误差界。5.设k=0，1，2，3，求。6.设置为不同的节点(j=0，1，n)并验证：(I)(二)7.设置并验证8.对于上面给出的等距节点函数表，如果通过二次插值得到的近似值是为了使截断误差不超过，那么使用函数表应该取多少步长？9.如果可以的话。10.如果是次多项式，记住，证明的阶差是次多项式，并且是正整数。11.证据。12.证明13.证明14.如果有不同的真正根源，证明这一点15.证明顺序均值差具有以下属性：(I)如有的话。Ii)如果是。16.拜托。17.证明三次埃尔米特插值的余数是得到了分段三次埃尔米特插值的误差极限。18.求一个次数不大于4的多项式，使其满足，从而求出分段三次Hermite插值的误差极限。19.尝试寻找一个最高次不高于4的函数多项式，以便它能满足以下边界条件，20.假设，将分成相等的部分，尝试构造一个阶梯形的零阶分段插值函数，并证明此时它一致收敛于。21.让我们假设，从上面开始，根据等距节点计算分段线性插值函数，计算每个节点之间中点的和值，并估计误差。22.求上的分段线性插值函数并估计误差。23.求上的分段埃尔米特插值并估计误差。24.给定的数据表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280尝试寻找三次样条插值并满足条件(I)(二)25.如果是三次样条函数，证明；Ii)如果插值节点在哪里，则。26.编制程序框图，计算三次样条函数的系数及其在插值节点中点的值(可使用(8.7)的表达式)。第三章函数逼近和计算1.(1)区间伯恩斯坦多项式是由usi导出的5.选择一个常数使其非常小，并询问这个解是否唯一。6.求上的最佳一次近似多项式，并估计误差。7.求上的最佳一次逼近多项式。8.如何选择最小化与零的偏差？它是独一无二的吗？9.假设三次最佳逼近多项式在。10.请点菜。11.试用证书是一个具有上述权重的正交多项式。12.通过插值最小化得到1的三次近似最佳逼近多项式。13.上的插值最小化逼近最佳逼近多项式集是，如果有界的，证明了对于任何，都有常数，这使得14.放在桌子上，试着把它简化成三次多项式并估计误差。15.通过使用幂级数中的项数获得的三次近似多项式用于使误差小于0.005。16是连续的奇(偶)函数，证明了最佳逼近多项式也是奇(偶)函数，无论是奇还是偶。17.最小化和，并将其与问题1和6的一阶近似多项式的误差进行比较。18.定义询问它们是否构成内部产品。19.用施瓦茨不等式(4.5)估计上界，用积分中值定理估计同一积分的上界和下界，并比较结果。20.选择以使以下点获得最小值33，360。21.建立一个空间，分别在和上找到一个元素，使它成为的最佳平方近似值，并比较结果。22.在世界上，寻找世界上最好的平方近似值。23.这是第二类切比雪夫多项式，证明了它有递推关系。24.根据勒让德多项式和切比雪夫多项式，求解三次最佳平方逼近多项式，绘制误差图，计算均方误差。25.将表格展开成切比雪夫系列。26.使用最小二乘法找到一个类似于以下数据的经验公式，并找到均方误差。192531384419.032.349.073.397.827.观察物体的线性运动，获得以下数据：时间(秒)00.91.93.03.95.0距离(m)010305080110找到运动方程。28.在化学反应中，从实验获得的分解产物的浓度和时间之间的关系如下：时间0510152025303540455055集中01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64最小二乘拟合被用来解决这个问题。29.编制正交多项式最小二乘拟合程序框图。30.编写改进的快速傅立叶变换算法的程序框图。31.给出了一个记录来尝试改进的快速傅里叶变换算法来寻找序列的离散谱。第四章数值积分和数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并指出所构造的求积公式：的代数精度(1)；(2)；(3)；(4)。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分(1)；(2)；(3)；(4)。3.用5个代数精度直接验证科特公式(2.4)。4.辛普森公式用于计算积分和误差。5.导出以下三个矩形求积公式：(1)；(2)；(3)。6.证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)在当时收敛于积分。7.使用复杂的梯形公式计算积分，并询问积分区间应划分多少等份，以确保误差不超过(不包括舍入误差)？8.用菱形法计算积分，误差不应超过。9.卫星轨道是椭圆形的。椭圆周长的计算公式是，这里是椭圆的半长轴以及地球中心和轨道中心(椭圆中心)之间的距离。它被记录为近地点距离，远地点距离，千米是地球的半径。中国第一颗人造卫星的近地点距离为100公里，远地点距离为100公里.试着找出卫星轨道的周长。10.证明方程的基础值和外推算法得到的近似值。11.计算积分，并用以下方法比较结果。(1)菱形法；(2) 3点和5点高斯公式；(3)将积分区间分成四等份，并使用复两点高斯公式。12.使用三点公式和五点公式分别计算1.0、1.1和1.2处的导数值，并进行估计并证明了当时其原值问题的精确解。5.用欧拉法计算积分点的近似值。6.取h=0.2，用四阶经典龙格-库塔法求解下列初值问题：1)2)7.证明了下列龙格-库塔公式对任何参数T都是二阶的：8.以下两种龙格-库塔方法被证明是三阶的：1)2)9.下列初值问题分别用二阶显式亚当斯法和二阶隐式亚当斯法求解：进行计算，并将其与精确解进行比较。10.证明以下解的差分公式它是二阶的，并且找到了截断误差的第一项。11.导出了具有以下形式的三阶方法：12.将下列方程转换为一阶方程：1)2)3)13.取h=0.25，用差分法求解边值问题14.可以为该方程建立一个差分公式试试这个公式来解决初值问题验证计算的解总是等于精确解15.取h=0.2，用差分法求解边值问题第6章寻找方程的根1.要通过二分法找到方程的正根，误差要求为0.05。2.使用比例根方法计算区间0，1中的根，直到近似根满足精度。3.为了找到方程的邻近根，假设将方程改写成以下等价形式，并建