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椭圆焦距公式的四种推导方法及其应用江西省上犹中学刘鹏关键词：椭圆焦点弦长公式的应用直线与椭圆相交时的弦长问题可以用通用弦长公式来解决，也就是说，有一个特殊的弦是过焦点的，它的弦长有一个特殊的公式：如果我们记住这个公式，它可以给我们解决问题带来方便。接下来，我们利用通用弦长公式、余弦定理、焦点半径公式和仿射四种方法推导出椭圆的焦点弦长公式。这些方法涉及许多想法。最后，给出了一个应用实例。解决方案1:根据弦长公式将其直接带入解决方案。问题：假设椭圆方程，左焦点和右焦点分别是，穿过椭圆的直线L的右焦点在两点处与椭圆相交，从而得到弦长。椭圆方程可以简化为.如果直线L通过右焦点，可以假设直线为：(当斜率不存在时)，代入到：排列，(1)如果直线L的倾斜角是和不是，则：,从正切到余弦，最后的焦距公式是(2)如果，那么，引入的路径长度是，这也满足公式(2)。此外，如果且仅当直接斜率不存在时，焦点处的弦长最短，因此路径长度是最短的焦点弦长。总而言之，焦点弦长公式是。解决方案2:根据余弦定理问题：假设椭圆方程，左焦点和右焦点分别是，穿过椭圆的直线L的右焦点在两点处与椭圆相交，从而得到弦长。解决方案：如右图所示，假设直线的倾角为，连接由椭圆定义，in由余弦定理获得，可以减少，在中，通过余弦定理可以用同样的方法得到弦长。解决方案3:使用焦点半径公式来解决问题：假设椭圆方程，左焦点和右焦点分别是，穿过椭圆的直线L的右焦点在两点处与椭圆相交，从而得到弦长。解决方案：从解决方案中，我们知道。从椭圆的第二个定义，我们可以得到焦点半径公式，然后因此.以下分析与解决方案1相同。解决方案4:通过亲和力解决问题问题：假设椭圆方程，左焦点和右焦点分别是，穿过椭圆的直线L的右焦点在两点处与椭圆相交，从而得到弦长。解决方案：使用仿射属性，可以进行以下转换，原始椭圆变成以原点为中心和半径的圆。假设原始直线的斜率为，转换后的斜率为。椭圆中的弦长在变换后改变并引入，变换前后的弦长关系如下然而，我们知道圆的弦长可以通过垂直直径定理得到。如图所示，假设直线为，从圆心到直线的距离为，弦长由毕达哥拉斯定理根据半径得到，结果代入(3 ),由得到，并代入。以上，我们分别用了四种不同的方法，找到了椭圆中过焦点的弦长公式为：记住这个公式可以帮助我们快速解决一些问题，下面我们将给出一个例子。例1给定一个椭圆，一条穿过该椭圆焦点并具有斜率的直线在两点处与该椭圆相交。计算。分析：如果弦长公式直接用来解决问题，因为有根符号，它特别复杂，公式可以用来解决问题。解决方案：由问题带来。例2已知该点在椭圆上：穿过椭圆右焦点的直线在两点处与椭圆相交。(1)寻找椭圆的标准方程；(2)如果椭圆穿过原点的弦，试着判断它是否是一个固定值？如果是固定值，找出固定值；如果没有，解释原因。分析：由于过聚焦，弦长可以用过聚焦弦长公式求解，非常简单。解决方法：(1)
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