2019 03 17 强化练习-数学运算2 戚七

强化练习-数学运算 2 主讲教师：戚七 授课时间：2019.03.17 粉笔公考官方微信 1 强化练习强化练习- -数学运算数学运算 2 2（讲义）（讲义） 1.某商场在出售甲商品时按照 50%的利润定价，后来根据市场需求调研，甲 商品按照定价的 90%出售，得到利润 35 元。甲商品的成本是（ ）。 A.80 元 B.92 元 C.96 元 D.100 元 2.如果按销售价格打九折出售某型手机，可盈利 215 元；如果按八折出售， 就要亏损 125 元，则这种手机的进货价为（ ）。 A.3400 元 B.3060 元 C.2845 元 D.2720 元 3.自来水收费标准为：每户每月用水 5 吨以下为 2.2 元/吨，超过 5 吨时， 超出部分为 3.2 元/吨。某月，张、李两户共交 70 元水费，用水量李是张的 1.5 倍，问张比李少交水费多少元？（ ） A.16 B.15 C.14 D.12 4.8 月份某手机卖场采购了一批某品牌手机，进价为 5000，售价为 7200， 11 月降价销售， 利润率为百分之八， 那么 11 月手机销售价是 8 月份销售价的 （ ） 。 A.6 折 B.6.5 折 C.7 折 D.7.5 折 5.某单位由 2 名领导（1 男 1 女）和 8 名普通职工（6 男 2 女）组成。根据 工作需要选派一个学习小组参加业务培训， 要求学习小组包含 1 名领导和 2 名普 通职工，并要求不能全部为男性，则该学习小组的选派方法有（ ）种。 A.12 B.28 C.41 D.56 2 6.三个三口之家一起观看演出，他们购买了同一排的 9 张连座票，现要求一 家人必须坐在一起，问有多少种不同的坐法？（ ） A.362880 B.1296 C.648 D.216 7.某商场维护电梯需要电梯售后服务商作出 7 天内不连续停电 3 天的方案， 那么共有（ ）种方案。 A.20 B.30 C.35 D.40 8.某市共有 5 个县，其位置如图所示，现用红、黄、绿、蓝 4 种颜色给地图 上色， 要求任意相邻的两个县的颜色不同， 问共有多少种不同的上色方法？ （ ） A.32 B.64 C.96 D.144 9.某单位举行抽奖活动， 在一个箱子里放了 10 个球 （2 个红球， 8 个白球） ， 职工从中同时抽出 2 个球，至少有一红球为中奖，则中奖概率是多少？（ ） A.17/45 B.28/45 C.1/5 D.5/4 10.钥匙掉了， 掉在宿舍里、 掉在教室里、 掉在路上的概率分别是 0.4、 0.35、 0.25，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是 0.6、0.3 和 0.1，则找到钥匙 的概率为（ ）。 3 A.0.32 B.0.37 C.0.63 D.0.72 11.一堆积木（如下图所示）是由 19 块棱长为 1 厘米的小正方体堆成，这个 积木的表面积是（ ）平方厘米。 A.54 B.56 C.58 D.60 12.如下图所示，四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E，F 两点三等分，且四边形 AECF 的面积为 15 平方厘米，则四边形 ABCD 的面积是（ ）平方厘米。 A.30 B.45 C.50 D.60 13.一菱形土地的面积为 平方公里，菱形的最小角为 60 度，如果要将这 一菱形土地向外扩张变成一正方形土地，则正方形土地边长最小为（ ）公里。 4 A. B. C. D.2 14.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四 种， 问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副手套 （一副手套指两只同色的） ？ （ ） A.9 B.10 C.11 D.12 15.某班级共有 48 人， 其中 38 人喜欢数学， 35 人喜欢语文， 42 人喜欢英语， 40 人喜欢物理，那么这个班级中至少有多少人这四门科目都喜欢？（ ） A.11 人 B.9 人 C.7 人 D.5 人 16.双十一期间，供货商小李向全国 14 个城市共发出 5000 箱货物，根据城 市消费能力，每个城市发货数量都不一样，如果排名第 12 的城市需要发出 36 箱货物，那么排名第一的城市最少需要发出货物（ ）。 A.448 箱 B.449 箱 C.450 箱 D.451 箱 17.计算所得结果末尾有（ ）个零。 A.2000 B.3999 C.3998 D.3997 18.某班举行一分钟跳绳比赛，已知男生的平均成绩是 160 个，女生的平均 成绩是 120 个，且男生跳的总个数刚好与女生相同。问该班全体学生的平均成绩 最接近以下哪个选项？（ ） A.136 个 B.137 个 C.138 个 D.139 个 5 19.把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789 2005，这个多位数除以 9 余数是多少？（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 20.产品质量监测站的工作人员小林需要配制某种浓度为 25%的药水，但监 测站只有甲、乙两种浓度分别为 35%、20%的该种药水，则小林配制所需药水所 用甲、乙两种药水的使用量比例为（ ）。 A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4 21.参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要 使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少 33 人。问参加团体操表演的运动 员有（ ）人。 A.269 B.279 C.289 D.296 22.某旅行团乘船出海，船出现一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现 漏洞时已经进了一些水。如果用 12 人舀水，3 小时舀完，如果只有 5 人舀水， 要 10 小时舀完。现在要想 2 小时舀完，需要多少人？（ ） A.15 B.17 C.19 D.21 6 强化练习强化练习- -数学运算数学运算 2 2（笔记）（笔记） 【知识点】经济利润：经济利润问题是考试中比较好拿分，也是非常容易做 的一类题目，经济利润问题考查的是基础公式，所以经济利润问题想要做好，一 定要熟练掌握这些常用公式，比如说题目让求利润，要立刻想到“利润=售价- 成本”；如果题目中问到利润率，要想到“利润率=（售价-成本）/成本”；如 题目中涉及到折扣、数量，要想到“折扣=售价/定价”“总价=单价*个数”。 1.基础公式： （1）特征：“成本、售价、利润、利润率”。 （2）公式： 利润=售价-成本。 利润率=（售价-成本）/成本。 售价=成本*（1+利润率）。 成本=售价/（1+利润率）。 折扣=售价/定价。 总价=单价*个数。 （3）方法：方程法（依托这些基本公式可以找等量关系列方程），赋值法 （如果题目中没有给出具体数值，只是给出一个比例形式，让求比例，对于这类 题目整个题干中全是百分之多少、几比几这样的形式，要想到赋值法这个技巧， 7 赋值的时候要注意往往是在设未知数之前把一个未知量进行赋值， 赋值的一般是 比较基础的进价或原价）。 2.分段计费：分段计费问题很好理解，就是生活中水电费、出租车费、停车 费，这样一些在不同的段，计费标准不一样的一种计费方式。分段计费问题关键 点在于要找到分段点。 （1）特征：每段的收费价格不同。 （2）方法： 根据分段点，分别计算再相加。 未知的设为未知数。 1.某商场在出售甲商品时按照 50%的利润定价，后来根据市场需求调研，甲 商品按照定价的 90%出售，得到利润 35 元。甲商品的成本是（ ）。 A.80 元 B.92 元 C.96 元 D.100 元 【解析】1.读完题目，发现有利润、定价、售价、成本，很明显是经济利润 问题，对于这类问题先去考虑它可能涉及到的公式，涉及到利润、成本、售价， 看到“得到利润 35 元”，立刻想到“售价-成本=利润”，已知利润是 35 元，再 找一找成本和售价，成本是未知的，可以设成本为 x， “按照 50%的利润定价”， 说明原来定价=x*（1+50%）*0.9，“按照定价的 90%出售”，说明实际售价=x* （1+50%）*0.9。x*（1+50%）*0.9-x=35，1.35x-x=35，x=35/0.35=100，对应 D 项。【选 D】 【注意】1.经济利润问题已知具体数值方程法。 2.设成本为 x，则定价为 x*（1+50%）=1.5x，售价为 1.5x*90%=1.35x。根 据售价-成本=利润，可列方程 1.35x-x=35，解得 x=100。 2.如果按销售价格打九折出售某型手机，可盈利 215 元；如果按八折出售， 就要亏损 125 元，则这种手机的进货价为（ ）。 A.3400 元 B.3060 元 C.2845 元 D.2720 元 8 【解析】2.读完题目，发现有售价、利润、成本（进货价），经济利润问题， 还是涉及到售价、进价、利润，核心公式：售价-进价=利润。第一种情况：“如 果按销售价格打九折出售某型手机，可盈利 215 元”，售价是未知的，可以设原 来售价为 y，此时九折出售的售价为 0.9y，进价也是未知的，可以设为 x， 0.9y-x=215；第二种情况：“如果按八折出售，就要亏损 125 元”，八折出售 的售价为 0.8y，进价为 x， “亏损 125 元”说明利润是负数，即利润是-125 元， 0.8y-x=-125。两个方程，两个未知数，x、y 可以求解，-得：0.1y=340， y=3400，把 y=3400 代入或中，解得 x=2845，对应 C 项。【选 C】 【注意】1.经济利润问题已知具体数值方程法。 2.设手机进货价为 x， 售价为 y。 根据售价-成本=利润列方程， 0.9y-x=215， 0.8y-x=-125，解得 y=3400，x=2845。 3.自来水收费标准为：每户每月用水 5 吨以下为 2.2 元/吨，超过 5 吨时， 超出部分为 3.2 元/吨。某月，张、李两户共交 70 元水费，用水量李是张的 1.5 倍，问张比李少交水费多少元？（ ） A.16 B.15 C.14 D.12 【解析】3.5 吨之前是一个收费标准，5 吨之后是一个收费标准，此时 5 吨 就是分段点， 既然出现分段点， 应该是分段计费问题。 5 吨之前， 收费标准为 2.2 元 / 吨 ， 5 吨 之 后 ， 收 费 标 准 为 3.2 元 / 吨 ， 对 于 每 户 来 说 ， 水 费 =5*2.2+n*3.2=11+3.2n。“某月，张、李两户共交 70 元水费”，要先分析一下 张家和李家用水量是否都超过 5 吨，张家用水量较少，假设张家只用 5 吨水，张 家水费=5*2.2=11 元，此时对于李家而言，“用水量李是张的 1.5 倍”，李家用 水量是 7.5 吨，李家水费=5*2.2+2.5*3.2=11+8=19 元，如果张家用水量不超过 5 吨，此时张家和李家水费一共才 30 元，说明张家和李家用水量都超过 5 吨，此 时 对 于 张 家 和 李 家 来 说 ， 水 费 =11+3.2n ， 张 家 和 李 家 水 费 和 ： 11=3.2n1+11+3.2n2=70，n1+n2=（70-22）/3.2=15 吨，说明张家和李家用水量和 =5+5+n1+n2=25 吨，根据“用水量李是张的 1.5 倍”，李家用水量是 15 吨，可知 张家用水量是 10 吨。5 吨以内的水费没有任何区别，都是 11 元，张家和李家水 9 费相差在于超出部分，李家比张家多花 5 吨水的钱，这 5 吨水一定是超出部分， 5*3.2=16 元，对应 A 项。【选 A】 【注意】1.5 吨分段点分段计费问题，方法：先分开算，再加和。 2.先判定两家用水量是否超过 5 吨：若张家用水 5 吨，则李家用水 7.5 吨， 总水费=2.2*5+2.2*5+2.5*3.2=3070，所以两家用水量均超过 5 吨。 3.设张家用水 x 吨，李家用水 y 吨，总水费 2.2*5+3.2*（x-5）+2.2*5+3.2* （1.5x-5）=70，解得 x=10，则张比李少交水费为（15-10）*3.2=16 元。 4.8 月份某手机卖场采购了一批某品牌手机，进价为 5000，售价为 7200， 11 月降价销售， 利润率为百分之八， 那么 11 月手机销售价是 8 月份销售价的 （ ） 。 A.6 折 B.6.5 折 C.7 折 D.7.5 折 【解析】 4.要求折扣， 折扣=11 月售价/8 月售价， 已知 8 月售价为 7200 元， 11 月售价是未知的，需要求出来。“11 月降价销售，利润率为百分之八”，11 月售价=进价*（1+利润率）=5000*（1+8%）=5400 元，折扣=11 月售价/8 月售价 =5400/7200=0.75，对应 D 项。【选 D】 【注意】1.经济利润问题公式法。 2.根据售价=进价*（1+利润率），折扣=折后价/折前价求解即可。 10 【知识点】排列组合：对于排列组合问题，可能是考试中有些同学做起来比 较困难的一类题， 但是其实排列组合问题并不全是难题， 很多题目还是非常基础， 非常好做的， 那种套路题还是应该拿到分数的， 比如说捆绑法、 插空法、 插板法， 所以对于排列组合问题大家不要太害怕， 有些同学排列组合问题在方法课中可能 掌握的不太好，老师在这里会讲的细一点。排列组合问题一般就是问完成一件事 有多少种方法。 1.基础概念： （1）加法、乘法：用连接词进行区分。 分类用加法（一步完成）。比如说要从班级中选两人，要么选一名男生和 一名女生，要么选两名男生，要么选两名女生，选一名男生和一名女生完成选两 人这件事，选两名男生也完成选两人这件事，选两名女生也完成选两人这件事， 完成其中任何一种情况，都已经独立完成选两人这件事，此时发现它们之间只要 独立完成就是分类的关系。分类的连接词是“要么，要么”。 分步用乘法（一步完不成）。比如说现在已经确定要选一名男生和一名女 生，第一件事要选一名男生，第二件事要选一名女生，此时发现如果单独选一名 男生没有完成选一名男生和一名女生这件事， 单独选一名女生也没有完成选一名 男生和一名女生这件事，只有在既选一名男生，又选一名女生时，才能完成选一 名男生和一名女生这件事。 分步的连接词是 “既又” “先再” 。 （2）排列、组合： 11 有序用排列（改变顺序，结果改变）。比如说要从咱班中选出来两人，第 一个人选出来当班长， 第二个人选出来当团支书， 先选甲再选乙和先选乙再选甲， 选择顺序对结果有影响，有序的选择就是排列，用字母 A 表示。 无序用组合（改变顺序，结果不变）。比如说选出来两人组成一个学习小 组， 先选甲再选乙和先选乙再选甲， 都是甲和乙一组， 选择顺序对结果没有影响， 无序的排列就是组合，用字母 C 表示。如果考试的时候区分不清楚是排列还是组 合，可以像老师这样举一个例子，看一下先选谁再选谁对结果是否产生影响，如 果有影响用排列，如果没影响用组合。 （3）逆向公式（当满足条件直接分析不好分析的时候，可以考虑用逆向公 式） ： 满足条件的=总数-不满足条件的。 一般题目中问到 “不都、 不全” ， 往往是根据逆向公式来计算。 2.特定题型：考试中排列组合问题，做题原则是从要求入手，考试中比较常 见的要求有以下几种。 （1）捆绑法： 特征：要求相邻。 方法：先捆绑再排序。 例：粉笔现在要进行大合影，老师是龙哥的小迷妹，非常希望和龙哥站在一 起，此时 5 个人进行站位，老师想和龙哥站在一起就要把老师和龙哥捆在一起。 先把老师和龙哥捆在一起，老师和龙哥两人捆好后，两人之间有顺序，老师站在 左边和龙哥站在左边是不同的站位形式，此时老师和龙哥位置不一样，应该是 A （2,2）；老师和龙哥捆好后，还剩下 3 个同事，要和剩下的 3 个同事再进行排 列， 老师和龙哥捆成 1 个人， 再和另外 3 个人进行排列， 相当于 4 个人进行排列， 4 个人站位还是有区别的，即 A（4,4）。“先再”，是分步计算，分步 用乘法，即 A（2,2）*A（4,4）。 （2）插空法： 特征：要求不相邻。 方法：先排序再插空。 例： 老师希望和龙哥相邻， 但是龙哥比较腼腆， 不好意思和老师站在一起， 龙哥要求不相邻。还是 5 个人进行站位，另外 3 个人可以先站好，有顺序，即 A 12 （3,3）；3 个人站好后形成 4 个空隙，在 4 个空隙中，老师和龙哥挑 2 个空隙 站进去就可以避免挨在一起，选择顺序对结果有影响，即 A（4,2）。“先 再”，是分步计算，分步用乘法，A（3,3）*A（4,2）。 （3）插板法： 特征：n 个相同的物品分给 m 人，每人至少分 1 个。n 个相同的物品会形 成 n-1 个空隙，在 n-1 个空隙中插入 m-1 块板，此时就可以分为 m 份，即 C （n-1,m-1）。 方法：C（n-1,m-1）。 插板法使用前提（非常严格）： a.必须是相同的物品。 b.分给 m 个不同的对象。 c.每个人至少分一个。 如果不是至少分 1 个，比如说 9 张卡片分给 3 个老师，每人至少分 2 张， 可以每个老师先分 1 张， 把题转化为 “6 张卡片分给 3 个老师， 每人至少分 1 张” ， 此时可以直接套公式，即 C（6-1,3-1）。 （4）错位排列：只要记住错位排列数即可。 特征：不回原位。 方法：记数值 0/1/2/9/44。D1=0、D2=1、D3=2、D4=9、D5=44，记到这里 应对考试就足够了，考试中基本只会考查 5 个人以内的错位重排数。 5.某单位由 2 名领导（1 男 1 女）和 8 名普通职工（6 男 2 女）组成。根据 工作需要选派一个学习小组参加业务培训， 要求学习小组包含 1 名领导和 2 名普 通职工，并要求不能全部为男性，则该学习小组的选派方法有（ ）种。 A.12 B.28 C.41 D.56 13 【解析】 5.题目问 “选派方法有多少种” ， 就是问完成这件事有多少种方式， 很明显是排列组合问题，从要求入手。第一个要求“学习小组包含 1 名领导和 2 名普通职工”；第二个要求“不能全部为男性”，如果去分析，可能有 1 名男性 的情况，可能有 2 名男性的情况，可能有没有男性的情况，分类分析比较麻烦， 正面不好想，可也从反面入手，即不全是男性的情况数=总情况数-全是男性情况 数。总情况数：要从 2 名领导和 8 名普通职工中，选出来 1 名领导和 2 名普通职 工去参加培训，先从 2 名领导中选 1 人，即 C（2,1），再从 8 名职工中选 2 人， 选出来甲和乙与选出来乙和甲，都是这两个人去参加培训，选择顺序对结果没有 影响，即 C（8,2），“先再”，分步用相乘，即 C（2,1）*C（8,2）； 全是男性情况数：先从 1 名男领导中选出 1 人，只有 1 种情况，从 6 名男性职工 中选出 2 人，即 C（6,2），“先再”，分步用相乘，即 1*C（6,2）。 不全是男性的情况数=总情况数-全是男性情况数=C（2,1）*C（8,2）-1*C（6,2） =2*（8*7）/（2*1）-1*（6*5）/（2*1）=56-15=41，对应 C 项。【选 C】 【注意】1.排列组合问题“不能全部/都”优先考虑反面。 2.总数-全部为男性，C（2,1）*C（8,2）-1*C（6,2）。 3.分步选人，用乘法；选人没有顺序，用 C。 【答案汇总】1-5：DCADC 6.三个三口之家一起观看演出，他们购买了同一排的 9 张连座票，现要求一 家人必须坐在一起，问有多少种不同的坐法？（） A.362880 B.1296 C.648 D.216 【解析】6.题目问“有多少种不同的坐法”，就是问完成这件事有多少种方 式，排列组合问题，从要求入手。要求“一家人必须坐在一起”，相邻要求，要 用捆绑法，先捆再排。先捆：就是把一家人捆在一起，一共有三个三口之家，第 一个三口之家捆在一起，三个人谁坐前谁坐后是有区别的（爸爸、妈妈、儿子和 妈妈、爸爸、儿子这两种坐法是有区别的），排序对结果有影响，即 A（3,3）， 第二个三口之家捆在一起，同样的道理，即 A（3,3），第三个三口之家捆在一 14 起，也是同样的道理，即 A（3,3），三个三口之家分别捆在一起，然后再相乘， 即 A（3,3）*A（3,3）*A（3,3）=A（3,3）；再排：三个三口之家还要进行排 序，即 A（3,3）。先捆再排，即 A（3,3）*A（3,3）=6 4=36，36尾数肯定是 6， 可以排除 A、C 项，剩下 B、D 项，36900，对应 B 项。【选 B】 【注意】1.排列组合问题“必须坐在一起”捆绑法：注意捆绑内部 有无顺序。 2.先捆再排，先将每家的三口捆绑，再将分别捆好的三家排序。 3.座位有顺序，用 A。 7.某商场维护电梯需要电梯售后服务商作出 7 天内不连续停电 3 天的方案， 那么共有（ ）种方案。 A.20 B.30 C.35 D.40 【解析】7.题目问共有多少种方案数，排列组合问题，从要求入手。要求“7 天内不连续停电 3 天”，注意“不连续停电 3 天”和“3 天互不相邻”不是一个 意思，“3 天互不相邻”是 3 天中任意 2 天都不能相邻，“不连续停电 3 天”可 以连续停电 2 天， 只要不连续停电 3 天即可， “不连续停电 3 天” 不相邻问题。 不连续 3 天停电情况数=总情况数-连续停电 3 天情况数，还是反面思考的情况。 总情况数：就是从 7 天中选出 3 天停电，比如说选出来第一天、第二天、第三天 或者选出来第二天、第一天、第三天，无论先选哪一天，结果都是这三天停电， 选择顺序对结果没有影响，即 C（7,3）；连续停电 3 天情况数：从 7 天中选出 连续 3 天，要么是第一天、第二天、第三天，要么是第二天、第三天、第四天， 要么是第三天、第四天、第五天，要么是第四天、第五天、第六天，要么是第五 天、第六天、第七天，可以枚举出来，一共只有五种情况。不连续 3 天停电情况 数=总情况数-连续停电 3 天情况数=C （7,3） -5= （7*6*5） / （3*2*1） -5=35-5=30， 对应 B 项。【选 B】 【注意】1.排列组合问题“不连续”优先考虑反面。 2.总数-连续三天的情况数。 3.在 7 天中选出 3 天，无序，用组合 C。 15 4.注意：不（都）连续互不相邻。 8.某市共有 5 个县，其位置如图所示，现用红、黄、绿、蓝 4 种颜色给地图 上色， 要求任意相邻的两个县的颜色不同， 问共有多少种不同的上色方法？ （ ） A.32 B.64 C.96 D.144 【解析】8.排列组合问题，从要求入手，要求“任意相邻的两个县的颜色不 同”，总共有 5 个县，要从限制条件最多、最明确的入手，A、B、C、D、E 县， B 县和 A、D、E 县相邻，D 县和 A、B、C、D 县相邻，D 县和其他 4 个县都相邻， 所以本题要从 D 县入手。D 县：从 4 种颜色中选择 1 种先给 D 县涂上，有 4 种选 择；C 县只要和 D 项颜色不同即可，从剩下 3 种颜色中选择 1 种，有 3 种选择； A 县：A 县既不能和 D 县颜色相同，又不能和 C 县颜色相同，从剩下 2 种颜色中 选择 1 种，有 2 种选择；B 县：B 县既不能和 A 县颜色相同，又不能和 D 县颜色 相同，从剩下 2 种颜色中选择 1 种，有 2 种选择；E 县：E 县既不能和 B 县颜色 相同，又不能和 D 县颜色相同，从剩下 2 种颜色中选择 1 种，有 2 种选择。分步 确定 A、B、C、D、E 这 5 个县的情况，分步用乘法，即 4*3*2*2*2=12*8=96，对 应 C 项。【选 C】 【注意】1.梳理： （1）排列组合问题分类分步。 （2）优先从最多限制条件的部分入手。 （3）分步用乘法。 16 2.从任何一个县入手都是可以的，但是如果选择的不合适，分析起来可能会 比较复杂，为了简便计算，建议大家从限制条件最多的部分入手，好分析，不容 易错。 3.先涂 A、B、C、D 这 4 个县，即 A（4,4），这样是不行的，因为 B、C 县 不相邻，是可以涂相同颜色的，如果这样分析，分析出来的情况就会少。 【知识点】概率：其实概率问题和排列组合问题很接近，首先分类和分步的 思想是一样的，正难则反的思想也是一样的，而且当题目中是给情况求概率的时 候，需要先把情况数算出来，概率问题属于排列组合问题的一个小分支题型。 1.给情况数求概率：概率（P）=满足条件的/总情况数。 2.给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。 3.正难则反：逆向：概率=1-不满足条件的概率。 9.某单位举行抽奖活动， 在一个箱子里放了 10 个球 （2 个红球， 8 个白球） ， 职工从中同时抽出 2 个球，至少有一红球为中奖，则中奖概率是多少？（ ） A.17/45 B.28/45 C.1/5 D.5/4 【解析】9.方法一：题目问的是概率，题干中给出的是情况数，没有出现任 何概率，给情况数求概率，P=满足情况数/总情况数。总情况数（比较好求）： 从 10 个球中任意抽出 2 个球，先抽 1 号球再抽 2 号球和先抽 2 号球再抽 1 号球 都是抽出 2 个球，排序对结果没有影响，用组合，即 C（10,2）。满足情况数： 至少 1 个红球，有两种情况。（1）1 红 1 白：先从 2 个红球中抽出 1 个，即 C （2,1），再从 8 个白球中抽出 1 个，即*C（8,1），“先再”，分步用 乘法，即 C（2,1）*C（8,1）；（2）2 红：从 2 个红球中抽出 2 个，只有 1 种情 况，即 C（2,2）。要么抽出 1 红 1 白，要么抽出 2 红，这两件事之间是分类的 17 关系，分类用加法，即 C（2,1）*C（8,1）+C（2,2）。P=满足情况数/总情况数 =C（2,1）*C（8,1）+C（2,2）/C（10,2）=（2*8+1）/（5*9）=17/45，对应 A 项。 方法二：本题也可以从反面来考虑。P=1-P没有抽到红球（抽到 2 个白球）=1-C（8,2）/C （10,2）=（8*7）/（10*9）=1-28/45=17/45，对应 A 项。【选 A】 【注意】1.给情况数求概率P=满足情况数/总情况数。 2.正面做：两种情况，抽到一个红球，抽到两个红球；反面做：1-抽到两个 白球的概率。 3.抽球没有顺序，用 C。 10.钥匙掉了， 掉在宿舍里、 掉在教室里、 掉在路上的概率分别是 0.4、 0.35、 0.25，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是 0.6、0.3 和 0.1，则找到钥匙 的概率为（ ）。 A.0.32 B.0.37 C.0.63 D.0.72 【解析】 10.题干中出现很多小数， 看起来很吓人， 但是题目形式非常简单， 给出多个小概率，题目问找到钥匙的概率为多少，问概率，题干中给概率，即给 概率求概率，分类或分步计算。（1）掉在宿舍里：先确定掉在宿舍，再确定找 到钥匙， 两件事 “先再” ， 是分步的过程， 分步用乘法， 即 0.4*0.6=0.24； （2）掉在掉教室里：同样道理，即 0.35*0.3=0.105；（3）掉在路上：也是同 样道理，即 0.25*0.1=0.025。分类用加法，三个事情最后再加在一起，即 0.24+0.105+0.025=0.37，对应 B 项。【选 B】 【注意】1.给概率求概率分类讨论小概率相加，分步讨论小概率相乘。 2.找到钥匙的情况分为三类：宿舍找到、教室找到、路上找到，把三类情况 概率相加即可。 【答案汇总】6-10：BBCAB 18 【知识点】高频几何：几何问题从近几年考情来看，考查频率呈现爆发式增 长的趋势，几何问题涉及到的知识点也比较多，不可能说为了考试了解所有几何 知识，考试中遇到几何问题的策略是简单题就做，难题就跑，要能够判定出来哪 些题目是简单题。考试中简单几何问题分为两类：一类是公式类，直接通过套公 式解决；一类是计数类，这种问题也是事业单位考试中比较喜欢考查的。 1.几何公式： （1）周长： 正方形：4a；长方形：2（a+b）。 圆形：2 R；弧长：2 R*n/360。 （2）面积： 正方形：a；长方形：ab。 三角形：ah/2；圆形： R；扇形： R*n/360。 梯形：（a+b）/2*h；菱形：对角线乘积/2。 （3）表面积： 正方体：6a；长方体：2（ab+bc+ac）。 19 圆柱体：2 R+2 Rh；球体：4 R。 （4）体积： 正方体：a；长方体：abc。 柱体：sh；椎体：1/3*Sh；球体：4/3* R。 2.公式类： （1）规则：直接用公式。 （2）不规则：转化为规则图形后再用公式。可以通过割、补、等积转化。 3.计数类： （1）平面：按顺序数，不重不漏。 （2）立体（正方体涂色）： 3 面涂色：8 个。 2 面涂色：12*（n-2）个。 1 面涂色：6*（n-2）个。 未涂色：（n-2）个。 【注意】不容易记的公式： 1.扇形：弧长：L/2 r=n/360，L=（n/360）*2 r；面积： r* （n/360）。 2.菱形（对角线垂直）：S=对角线乘积/2；菱形在考试中出现的不多，但是 正方形出现的比较多， 正方形是特殊的菱形， 正方形对角线不仅垂直， 而且相等， S正方形=对角线乘积/2=对角线/2。 20 3.球：S球=4 r；V球=4/3 r。 4.柱体：V圆=Sh。 5.锥体：V锥=（1/3）*Sh。对于同底等高的柱体和椎体，V锥=（1/3）*V柱。 6.涂色类：有一个大正方体，每条棱有 n 个边长为 1 的小正方体，把这个大 正方体外面涂色，问这些小正方体中： 21 （1）三面涂色的有几个？（蓝色） 答：在顶角，有 8 个。 （2）两面涂色的有几个？（黄色） 答：在棱上，有 12*（n-2）个。 （3）一面涂色的有几个？（红色） 答：在面上，有 6*（n-2）个。 （4）未被涂色的有几个？（内部） 答：在芯上，有（n-2）个。 11.一堆积木（如下图所示）是由 19 块棱长为 1 厘米的小正方体堆成，这个 积木的表面积是（ ）平方厘米。 A.54 B.56 C.58 D.60 【解析】11.问的是表面积，小正方体的棱长是 1，则一个面的面积为 1， 求表面积即求表面正方形个数， 不重不漏地数， 如果从前往后把图形拍扁了， 前、 22 后两个面的个数是相同的，只需要看一个面即可。按顺序从上往下数，从前面看 有 10 个面，则从后面也有 10 个面；从左右看，有 8*2 个面；从上下看，有 9*2 个面，所以总共有 10*2+8*2+9*2=27*2=54 个面，对应 A 项。【选 A】 【注意】1.分别考虑上、下、左、右、前、后 6 个视图面积相加即可。 2.上和下、左和右、前和后，面积各自相等。 12.如下图所示，四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E，F 两点三等分，且四边形 AECF 的面积为 15 平方厘米，则四边形 ABCD 的面积是（ ）平方厘米。 A.30 B.45 C.50 D.60 【解析】 12.读完题发现， 四边形 ABCD 是一个不规则图形， 对于不规则图形， 先转化为规则图形进行分析， 阴影部分分割后变成和两个部分， 相加为 15， 即+=15。S=1/2*底*高，对于这三个三角形，底和高相等，则面积相 等；对于这三个三角形，底和高相等，则面积相等，+=15，推出： +=15，+=15，则四边形 ABCD 的面积=15+15+15=45，对应 B 项。【选 B】 23 【注意】三角形面积=底*高/2。 1.高相同，面积之比为底之比。 2.底相同，面积之比为高之比。 3.等底等高，面积相同。 13.一菱形土地的面积为 3 平方公里，菱形的最小角为 60 度，如果要将这一 菱形土地向外扩张变成一正方形土地，则正方形土地边长最小为（ ）公里。 A. B. C. D.2 【解析】13.读完题，要求正方形边长最小，则正方形的面积要尽量小，要 尽量沿着 ABCD 的边拓展，如果切着 A、C 点拓展，其实不是最小的，如果以 AC 为对角线，拓展出一个正方形，就是边长最小的正方形。 24 已知菱形的面积是 ，菱形面积=边长/2，菱形的最小角度为 60，则 BAO=30， 在直角三角形中， 30所对的边是斜边的一半， 所以 BO 是 AO 的一半， 则 BO：AB：AO=1：2： ，BD：AC=BO：AO=1： ，菱形面积= =（BD*AC）/2= （BD* BD）/2，解得：BD= ，则 AC= BD= ，即正方形的对角线是 ，S正 方形=（ ）/2=3=边长，则边长= ，对应 B 项。【选 B】 【注意】1.若要求扩张成的正方形土地边长最小，只需正方形面积最小。 2.面积最小的正方形的对角线为菱形较长的那条对角线。 【知识点】最值问题：套路题，哪怕不理解，也能用方法解题。 1.最不利构造： （1）特征：至少保证。 25 （2）思路：最不利+1。 2.构造数列： （1）特征：某个主体最（最最、排名第几的最）。 （2）思路： 排序定位。 反向构造。 加和求解。 （3）小贴士：注意条件是否提到主体个数各不相同。 3.多集合反向构造： （1）特征：至少都、都至少。 （2）思路： 反向。 加和。 做差。 14.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四 种， 问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副手套 （一副手套指两只同色的） ？ （ ） A.9 B.10 C.11 D.12 【解析】14.出现“最少保证”，判定为最不利问题，找最不利的 情况，最后“+1”即可。3 副手套即 6 只手套，要找到 6 只颜色相同的，或者 4 只颜色相同，另外 2 只颜色相同的也可以，最不利的情况是先拿到 5 只黑色的、 1 只红色的、1 只蓝色的、1 只黄色的，此时再抽出 1 只手套，不管什么颜色， 都可以凑成 3 副手套，所以至少摸出 5+1+1+1+1=9 只手套。【选 A】 26 【注意】1.“最少保证”最不利问题。 2.方法：最不利+1。 15.某班级共有 48 人， 其中 38 人喜欢数学， 35 人喜欢语文， 42 人喜欢英语， 40 人喜欢物理，那么这个班级中至少有多少人这四门科目都喜欢？（ ） A.11 人 B.9 人 C.7 人 D.5 人 【解析】15.出现“至少都”，判定为多集合反向构造问题。三步 走：（1） 反向： 用总数减去喜欢的人数， 就是不喜欢的人数， 48-38=10， 48-35=13， 48-42=6，48-40=8。 （2）加和：10+13+6+8=37； （3）做差：总人数=48，48-37=11 人，对应 A 项。【选 A】 【注意】1.“至少都”多集合反向构造。 2.方法：（1）反向；（2）加和；（3）做差。 16.双十一期间，供货商小李向全国 14 个城市共发出 5000 箱货物，根据城 市消费能力，每个城市发货数量都不一样，如果排名第 12 的城市需要发出 36 箱货物，那么排名第一的城市最少需要发出货物（ ）。 A.448 箱 B.449 箱 C.450 箱 D.451 箱 【解析】16.出现“某个主体最少”，判定为构造数列题型，需要注意 “每个城市发货数量都不一样”，三步走：（1）排序定位：排名第十二的城市 需要发出 36 箱货物，要求排名第一最少，设第一为 x；（2）反向构造：要求第 一尽可能少，则其他要尽可能多，排名第二的城市=x-1，排名第三的城市=x-2， 27 依次排列，排名第十一的城市=x-10，排名第十三名的城市=35，排名第十四名的 城市=34；（3）加和求解：11x-（1+10）/2*10+35*3=5000，解得：x=450，对应 C 项。【选 C】 【注意】1.“排名第一最少”求某个主体最值构造数列。 2.方法：（1）排序定位；（2）反向构造；（3）加和求解。 【知识点】计算问题： 1.基础计算： （1）尾数法： 加、减、乘、乘方。 选项尾数不同。 （2）基础公式： 交换律：a*b*c=a*c*b；a+b+c=a+c+b。 分配律：ac+bc=（a+b）c。 平方差：a-b=（a+b）（a-b）。 完全平方（ab）=a+2ab+b。 （3）定义新运算： 特征：有全新的运算符号。 方法：新符号按照定义进行运算；先括号，再乘除，后。 2.数列与平均数： （1）平均数： 特征：有“平均”。 公式：平均数=总数/个数；总数=平均数*个数。 28 方法：列式子、列方程。 （2）等差数列： 特征：相邻两项差相等。 公式：通项：an=a1+（n-1）*d；求和：Sn=（a1+a2）/2*n=中位数*n。需要 注意如果项数为偶数，则中位数=中间两位之和/2。 17.计算所得结果末尾有（ ）个零。 A.2000 B.3999 C.3998 D.3997 【解析】17.看到末尾，有些同学会考虑尾数法，但是分析不出来，本题必 然有规律，可以用简单的例子尝试找到规律，然后代入式子中。用 3 个 9 代替找 规 律 ， 999*999+1999 ， 将1999拆 成999+1000 ， 则 式 子 变 为 999*999+999*1+1000=999* （ 999+1 ） +1000=999*1000+1000= （ 999+1 ） *1000=1000*1000=1000000，3 个 9 产生 6 个 0，是 2 倍关系，如果是 n 个 9，则 会产生 2n 个 0， 题目中有 1999 个 9， 则有 1999*2=3998 个 0， 对应 C 项。 【选 C】 【注意】1.特大数字，观察数字本身的特征规律。 2.将加号后边的数拆成，再通过乘法分配 律来寻找规律。 3.技巧：通过举例的方式来寻找规律。 4.如果用 1 个 9，会产生 2 个 0；如果用 2 个 9，会产生 4 个 0，存在的规律 比较多，如果用 3 个 9 产生 6 个 0，规律会更明显。 18.某班举行一分钟跳绳比赛，已知男生的平均成绩是 160 个，女生的平均 成绩是 120 个，且男生跳的总个数刚好与女生相同。问该班全体学生的平均成绩 最接近以下哪个选项？（ ） A.136 个 B.137 个 C.138 个 D.139 个 29 【解析】18.平均数问题，核心在于平均数=总数/个数，没有给出男生和女 生的总个数，但是根据条件可以得到：男生总个数=女生总个数，即男生*160= 女生*120，推出人数之比男：女=3：4，可以赋值男生 3 个人，女生 4 个人，则 男生总个数=3*160=女生总个数=4*120=480，则总个数=480+480，人数=3+4，平 均数=（480+480）/（3+4）137，最接近 B 项。【选 B】 【注意】1.平均数问题：平均数=总数/个数。 2.设男生有 x 人，女生有 y 人，根据男生跳的总个数刚好与女生相同可得， 160 x=120y，解得 x/y=3/4，赋值男女生人数求解全班平均成绩。 19.把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789 2005，这个多位数除以 9 余数是多少？（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】19.判断一个数能否被 9 整数，看各位数字之和是否能被 9 整除， 当各位数字之和除以 9 余几，对应的这个数字直接除以 9 余几，所以看这个多位 数除以9余几， 只需要看这个多位数各位数字之和除以9余几。 这么多数字相加， 先看看有没有规律，1+2005，各位数字之和为 8，不能被 9 整数，2+2005，各位 数字之和为 9，能够被 9 整除，可以约掉，即“去九法”，由此可得：3+2004 也能被 9 整除，依次类推，余下的数字两两对应也可以被约掉，中间两个数字是 1003 和 1004，1003+1004 的各位数字之和也能被 9 整数，所以从 2 到 2005 相加 的数字之和可以被 9 整除，只剩下 1，即这个多位数除以 9 余 1，对应 B 项。 【选 B】 【注意】1.总结：一个多位数除以 9 的余数，即各