2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章 函数与导数―指数函数

学案6指数函数,返回目录,1.指数幂的概念(1)根式一般地,如果xn=a(aR,n1,且nN*),那么x叫做.式子叫做,这里n叫做,a叫做.(2)根式的性质,a的n次方根,根式,根指数,被开方数,考点分析,返回目录,当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示.当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示.正负两个n次方根可以合写为(a0).()n=.当n为奇数时,=;当n为偶数时,=|a|=负数没有偶次方根.零的任何次方根都是零.,a,a,a(a0)-a(a0,m,nN*,且n1).正数的负分数指数幂是0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.2)有理指数幂的运算性质:aras=(a0,r,sQ).(ar)s=(a0,r,sQ).(ab)r=(a0,b0,rQ).,=(a0,m,nN*,且n1).,ars,3.指数函数的图象与性质,返回目录,R,(0,+),(0,1),y1,0y1,0b0,求的值.,题型分析,返回目录,【解析】(1)指数幂运算性质的核心是“同底”.原式=(2)原式=,【分析】(1)当化简的式子中既有根式又有分数指数时,要化为分数指数以便于运算,是根式的最后的结果再化为根式.(2)条件求值,可据已知条件直接代入求值,但较繁,也可考虑先将式子化简(变形)再求值.,(3)原式=,返回目录,(4)方法一:a,b是方程x2-6x+4=0的两根,a+b=6ab=4.,ab0,返回目录,返回目录,方法二:a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且ab,而由x2-6x+4=0,得x1=3+,x2=3-,a=3+,b=3-,【评析】(1)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题.(2)对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示;如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.(3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.(4)在条件求值问题中,一般先化简变形,创造条件简化运算,而后再代入求值.,返回目录,对应演练,化简下列各式(其中各字母均为正数):,返回目录,(1)原式=(2)原式=,返回目录,返回目录,考点二指数函数的图象,已知函数（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；（3）由图象指出，当x取什么值时有最值.,【分析】先去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再画出其图象，然后根据图象判断其单调性、最值.,【解析】（1）由函数解析式可得(x-2)(x-2),其图象分成两部分:一部分是y=(x-2)的图象，由下列变换可得到:y=y=;,返回目录,向左平移2个单位,另一部分是y=2x+2(x-2)的图象，由下列变换可得到:y=2xy=2x+2,如图,实线部分为函数的图象.(2)由图象观察知,函数在(-,-2上是增函数，在(-2,+)上是减函数.(3)由图象观察知,当x=-2时，函数有最大值，最大值为1，没有最小值.,返回目录,向左平移2个单位,返回目录,【评析】（1）根据函数与基本函数关系，利用图象变换（平移、伸缩、对称）作图是作函数图象的常用方法.(2)本例也可以不考虑去掉绝对值符号，而是直接用图象变换作出，作法如下:,保留x0部分，将它沿y轴翻折得x0的部分,向左平移2个单位,返回目录,对应演练,画出函数y=2|x-1|的图象，并根据图象指出此函数的一些重要性质.,2x-1,x1,x1.其图象由两部分对接而成，一是把y=2x向右平移1个单位后取x1的部分；二是把y=的图象向右平移1个单位后取x1的部分，对接处的公共点是(1,1),图象如图，作法略.,y=2|x-1|=,返回目录,考点三指数函数的性质,求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=;（2）g(x)=-()x+4()x+5.,【分析】(1)定义域是使函数有意义的x的取值范围,单调区间利用复合函数的单调性求解.(2)利用换元法,同时利用复合函数单调性判断方法进而求得值域.,返回目录,【解析】(1)依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f(x)的定义域是(-,14,+).令u=,x(-,14,+),u0,即0,而f(x)=30=1,函数f(x)的值域是1,+).u=,当x(-,1时,u是减函数;当x4,+)时,u是增函数.,返回目录,返回目录,而31,由复合函数的单调性可知,f(x)=在(-,1上是减函数,在4,+)上是增函数.故f(x)的增区间是4,+),减区间是(-,1.,(2)g(x)=-()x+4()x+5=-()2x+4()x+5.函数的定义域为R，令t=()x(t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,即g(x)9,等号成立的条件是()x=2,即x=-1,g(x)的值域是(-,9.,由g(t)=-(t-2)2+9(t0)，而t=()x是减函数，要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.g(t)在(0,2上递增,在2,+)上递减,由0 x1,则f(x2)-f(x1)当x2x1时,0.又0,0,故当x2x1时,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),f(x)是增函数.,返回目录,证法二:考虑复合函数的增减性.f(x)=y1=10 x为增函数,y2=102x+1为增函数,y3=为减函数,y4=-为增函数,f(x)=为增函数.f(x)=在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=,解得102x=,102x0,-10,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,1)上单调递减.,在区间-1,1上,有f(x)=,返回目录,1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线.当01时