2011年高考数学二轮复习专题课件20：概率及随机变量及其分布列

4.(2009广东)已知离散型随机变量X的分布列如下表,若EX=0,DX=1,则a=_,b=_.解析由题意知解得,离散型随机变量的分布列、期望及方差【例1】A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为服用B有效的概率为(1)求一个试验组为甲类组的概率;(2)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望.,解(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.依题意有,所求的概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)(2)的可能值为0,1,2,3,且,的分布列为【探究拓展】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识,考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.,变式训练1从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中,等可能地取出一个.(1)记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为,求的分布列和数学期望解(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数事件A包含的基本事件是1,4,5、2,3,5、1,2,3,4.事件A包含的基本事件数m=3，所以,(2)依题意,的所有可能取值为1,2,3,4,5.故的分布列为,【例2】(2009湖南)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望.,解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i、j、k=1,2,3且i,j、k互不相同)相互独立,且P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知,故的分布列是,变式训练2(2009重庆)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树的成活率分别为且各株大树的成活互不影响.求移栽的4株大树中:(1)两种大树各成活1株的概率;(2)成活的株数的分布列与期望.解设Ak表示事件甲种大树成活k株,k=0,1,2,Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2,则Ak,Bl独立,由独立重复试验中事件发生的概率公式有,(1)所求概率为P(A1B1)=P(A1)P(B1)=(2)方法一的所有可能值为0,1,2,3,4,且P(=0)=P(A0B0)=P(A0)P(B0)=P(=1)=P(A0B1)+P(A1B0)P(=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)P(=3)=P(A1B2)+P(A2B1),P(=4)=P(A2B2)=综上知的分布列为从而的期望为方法二分布列的求法同前,令分别表示甲、乙两种大树成活的株数,则故有从而知,【考题再现】(2009山东)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次.某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为q2,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为,(1)q2的值；(2)求随机变量的数学期望(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.【解题示范】解(1)由题设知,“=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,由对立事件和相互独立事件性质可知P(=0)=(1-q1)(1-q2)2=0.03，2分解得q2=0.8.4分,(2)根据题意p1=P(=2)=(1-q1)q2(1-q2)=0.7520.80.2=0.24.6分p2=P(=3)=q1(1-q2)2=0.25(1-0.8)2=0.01.p3=P(=4)=(1-q1)=0.750.82=0.48.p4=P(=5)=q1q2+q1(1-q2)q2=0.250.8+0.250.20.8=0.24.因此=00.03+20.24+30.01+40.48+50.24=3.63.9分,(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投,以后都在B处投,得分超过3分”,用D表示事件“该同学选择都在B处投,得分超过3分”,则P(C)=P(=4)+P(=5)=p3+p4=0.48+0.24=0.72.P(D)=0.82+20.80.20.8=0.896.10分故P(D)P(C).即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率.12分,1.古典概型:利用古典概型求解事件概率问题,应明确是否满足古典概型的两个特征,计算的关键是分清基本事件的个数n与事件A包含的结果m.2.互斥事件、独立事件概率:(1)求事件和的概率必须分清事件是否互斥,求事件积的概率必须注意事件的独立性.(2)要注意恰有k次发生和某指定的k次发生,的差异,对独立重复试验来说,前者的概率为pk(1-p)n-k,后者的概率为pk(1-p)n-k.（3）解题过程中,要明确“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”等词语的含义,已知事件A、B,它们发生的概率分别为P(A)、P(B),那么A、B中至少有一个发生为A+B;A、B都发生为AB;A、B都不发生为;A、B恰有一个发生为;A、B中至多有一个发生为3.随机变量的分布列、期望、方差:(1)分布列的计算是概率部分的延伸,重要的基础是概率计算,如古典概型、互斥事件的概率,相互独立事件同时发生的概,率,n次独立重复试验恰有k次发生的概率等.(2)任一离散型随机变量的概率分布列都有两条性质:pi0(i=1,2,3),p1+p2+p3+=1,利用此性质可检验分布列的正确性及求出其中含有的参数.(3)对于离散型随机变量的期望应注意:是一个实数,由的分布列唯一确定,随机变量是可变的,但是不变的,描述了取值的平均水平.的计算方法:=x1p1+x2p2+xnpn+,即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后相加.(4)对离散型随机变量的方差应注意:表示随机变量对的平均偏离程度,越大,表明平均偏离程度越大,说明的取值越分散;反之,越小,的取值越集中.,一、选择题1.(2009上海)若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(EF)的值等于()A.0B.C.D.解析因为事件E与事件F相互独立,故P(EF)=P(E)P(F)=,B,2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.解析从4张卡片中取2张共有种取法,数字之和为奇数是指所取两个数分别是一个奇数和一个偶数,共有(种),则满足条件的概率是,C,3.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A.B.C.D.解析从30名同学中选3人的选法有种,其中全是男同学的选法有种,全是女同学的选法有种;故所求概率为,D,4.(2009湖北)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)(i为虚数单位)为实数的概率为()A.B.C.D.解析复数(m+ni)(n-mi)=mn-m2i+n2i+mn=2mn+(n2-m2)i.该复数为实数的条件为m=n,投掷两颗骰子共有点数66=36(种),满足m=n的有6种,因此使(m+ni)(n-mi)为实数的概率为P=,C,5.(2009重庆)锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为()A.B.C.D.解析从15个汤圆中选出4个汤圆共有种情况,每种汤圆至少有1个的情况有=720种情况,所以各种汤圆至少有1个的概率为P=,C,6.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的情况有（）A.18种B.11种C.17种D.19种解析方程有实根即为：，分别对b的取值进行分类计数，当b分别取2，3，4，5，6时，c的取值分别有：1种，2种，4种，6种，6种，共19种.,D,二、填空题7.将7个人(含甲、乙)分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为P,则a、P的值分别为a=_,P=_.解析甲、乙分到三人组为事件A,P(A)=甲、乙分到二人组为事件B,P(B)=事件A、B互斥,P=P(A+B)=,105,8.设离散型随机变量可能取的值为1,2,3,4,P(=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又的数学期望则a+b=_.解析设离散型随机变量可能取的值为1,2,3,4,P(=k)=ak+b(k=1,2,3,4),所以(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,又的数学期望则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3,a=,b=0,a+b=,9.在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.解析A（0，0），C（1，1），E（2，2），F（3，3）在直线y=x上，B（2，0）,C（1，1），D（0，2）在直线x+y=2上，A、C、E、F四点共线，B、C、D三点共线.任取三点共有=20（种）取法，三点共线的取法有1+=5（种），取三点能构成三角形的概率为.,10.甲有1只放有x个红球,y个白球,z个黄球的箱子(x0,y0,z0,x+y+z=6),乙有1只放有3个红球,2个白球,1个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取1球,规定当两球同色时甲胜,异色时乙胜,并规定甲取红、白、黄色球而胜的得分依次为1，2，3分，则甲得分的期望的最大值是.,三、解答题11.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.现从甲、乙两袋中各任取2个球.(1)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为求n.解(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A.,(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B,“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.由题意,得P(B)=所以P(B)=P(B1)+P(B2)化简,得7n2-11n-6=0,解得n=2或n=(舍去),故n=2.,12.甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.(1)求随机变量分布列和数学期望;(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P